Exercices complets sur les principes de mathématique, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Exercices complets sur les principes de mathématique, Exercices de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Exercices complets de mathématique sur les principes de mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Ensembles - Applications, Equations diff´erentielles, Fonctions de plusieurs variables, Algèbre liné...
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Exercices de Mathématiques

pour les Travaux Dirigés

1ère année

SOMMAIRE

1er Semestre

1. Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. Géométrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.1 Barycentre et produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.2 Produit vectoriel et produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4.3 Géométrie analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5. Applications de R dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.1 Limite - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 5.2 Applications dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 5.3 Applications réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6. Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 7. Formule de Taylor-Lagrange et développements limités . . 20 8. Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9. Intégrales simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

9.1 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 9.2 Calcul de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2nd Semestre

10. Equations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 11. Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11.1 Topologie générale - limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 11.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 11.3 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 11.4 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

12. Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.1 Matrices - Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12.2 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 12.3 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 12.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 12.5 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13. Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1. Ensembles - Applications

Ex. 1 Dans chacun des cas suivants mettre dans l’espace ... le symbole ap- proprié parmi ∈, 6∈, ⊂, 6⊂ : a) 1 ... C; b) {2} ... R; c) {3, 1− 2i} ... Z; d)

√ 2 ... Q;

e) R \Q ... C \ Z; f) π ... R; g) {π} ... R.

Ex. 2 On désigne par I l’intervalle [0, 4] et on considère les fonctions de I dans R définies de la façon suivante : f1(x) =

x 2 + 3,

f2(x) = x+ 1, f3(x) = −x2 + 4 x+ 2. a) Tracer sur une même figure les courbes représentatives de f1, f2 et f3. b) Etudier chacune des assertions suivantes et dire si elle est vraie ou fausse. On justifiera sa réponse par un argument d’une à deux lignes au plus. (A1) ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ I f1(x) ≤ M ; (A2) ∀x ∈ I, ∃x′ ∈ I tel que f1(x) = f2(x′) ; (A3) ∃x ∈ I tel que ∀x′ ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A4) ∃x′ ∈ I tel que ∀x ∈ I f1(x′) ≤ f3(x) ; (A5) ∀x ∈ I, f2(x) ≤ f1(x).

Ex. 3 Dans chacun des cas suivants, dire si l’application f : R → R est injective, surjective ou bijective : a) f(x) = x2; b) f(x) = x3; c) f(x) = x(x2 − 1); d) f(x) = exp x; e) f(x) = sin x.

Ex. 4 Soit A = {a1, ..., an} un ensemble fini. 1. Soit f : A → A. Montrer que f est injective si, et seulement si, f est surjective. Le résultat persiste-t-il si A est infini ?

1

2. Combien y a-t-il de bijections de A sur A ?

Ex. 5 Trouver un majorant du nombre de chiffres d’un entier n.

Ex. 6 Supposons qu’un plan d’épargne soit rémunéré 5% par an, et que les intérêts acquis à la fin de chaque année viennent s’ajouter au capital. Au bout de combien d’années le capital aura-t-il doublé ?

2

2. Nombres complexes

Ex. 1 Ecrire sous forme cartésienne (z = x+ iy, avec x, y ∈ R) les nombres complexes

z1 = 5e iπ 4 , z2 = 3e

iπ 3 − 2eiπ6 , z3 =

2 + i

1 + 3i et z4 =

(

1 + i

1− i

)3

.

Ex. 2 Donner le module et l’argument des nombres complexes suivants

1 + i; −1 + i √ 3;

1 + i

−1 + i √ 3 ·

Ex. 3 Résoudre dans C les équation suivantes : a) z + z − 2 = 0; b) (1− 2i)z − (3− i) = 0; c) Im

(

5z − 2 z − 1

)

= 0.

Ex. 4 Module et argument de la somme de deux nombres com- plexes

Soient z1 = ρ1e iθ1 et z2 = ρ2e

iθ2 deux nombres complexes. On veut déterminer analytiquement le module et l’argument de z = z1 + z2 (resp. de z

′ = z1z2). 1. Représenter les points M1, M2 et M du plan d’affixes respectifs z1, z2 et z. 2. On note z = ρeiθ. Montrer que

ρ = (

ρ21 + ρ 2 2 + 2ρ1ρ2 cos(θ1 − θ2)

) 1 2 .

(Indication : développer zz̄.) 3. On suppose que M est dans le demi-plan situé à droite de l’axe des imagi- naires. Utilisant la représentation géométrique de z1 et z, montrer que

sin θ = ρ1 sin θ1 + ρ2 sin θ2

ρ ·

4. On pose z′ = z1z2 = ρ ′eiθ

. Donner les expressions de ρ′ et θ′, et représenter le point M ′ d’affixe z′.

3

Ex. 5 Nombres complexes et trigonométrie 1. Utilisant le nombre complexe ei(x+y), retrouver rapidement les formules de trigonométrie donnant cos(x + y) et sin(x + y), puis celles donnant cos(2x) et sin(2x) ; 2. En déduire les formules donnant cos x cos y, sin x sin y, sin x cos y. 3. En déduire les formules donnant sin p+ sin q, sin p− sin q, cos p+ cos q et cos p− cos q.

Ex. 6 En exprimant de deux façons différentes (1 + i)5, calculer C05 −C25 +C45 et C15 −C35 +C55 . Calculer plus généralement C0n−C2n+C4n− . . . (n ≥ 1).

Ex. 7 Exprimer cos(5θ) et sin(5θ) à l’aide de cos θ et de sin θ.

Ex. 8 Linéariser les expressions : cos4(θ), cos θ · sin3 θ et cos(2θ) cos2 θ.

Ex. 9 Trouver les solutions z1, z2 de z 2 − (4 + i)z + 5− i = 0.

Ex. 10 Calculer une racine carrée z de 2− 3i.

Ex. 11 Calculer les racines 6ème de −3 + 3i.

Ex. 12 Résoudre z3 − iz2 = −2z3 + (2 + i)z2 − 4z.

Ex. 13 Résoudre z4 − (2 + i)z2 + 3 + i = 0.

Ex. 14 Soit z = ei 2π 5 . Que vaut 1 + z + z2 + z3 + z4 ? Exprimer z + z4 et

z2 + z3 en fonction de cos(2π/5), et en déduire les valeurs de cos(2π/5) et de cos(π/5).

Ex. 15 Identité du parallélogramme Prouver l’identité

|z + z′|2 + |z − z′|2 = 2(|z|2 + |z′|2), ∀z, z′ ∈ C.

En donner une interprétation géométrique. (Indication : construire le par- allélogramme dont les sommets ont pour affixes 0, z, z + z′, z′.)

4

3. Suites numériques

Ex. 1 Montrer que la suite définie par u0 = 1 et un+1 = √ 3 + 2un est

convergente.

Ex. 2 Que signifie pour la suite (un) : ∀A ∈ R, ∃N ∈ N, ∀n ∈ N (n ≥ N ⇒ un < A) ?

Ex. 3 On suppose un → l. Est-il vrai que l ≥ 0 lorsque i) un ≥ 0 pour 0 ≤ n ≤ 1000 ? ii) un2 ≥ 0 pour tout n ∈ N ?

Ex. 4 Etudier les limites des suites définies par

un = 32n

(6n)2 , vn = sin(n !)− n2, wn =

n3 − n2 + 2 2n3 + 1− n−2 ·

Ex. 5 On considère les suites (un)n∈N et (vn)n∈N, définies par un = 3n − n! 2n − n3

pour tout n ≥ 0, v0 = 0 et vn+1 = (vn+12 ) 1 3 . Etudier la convergence de cha-

cune de ces suites en précisant la limite lorsqu’elle existe.

Ex. 6 On pose pour tout n ≥ 1

un =

n ∑

k=0

1

k! et vn = un +

1

n · n! ·

Montrer que les suites (un)n≥1 et (vn)n≥1 sont adjacentes. Que peut-on dire de la suite (un) ?

Ex. 7 Soient an = n

n+1 et bn =

n+1 n+2

. Les suites (an) et (bn) sont-elles

adjacentes ?

Ex. 8 Soit (un)n≥0 la suite définie par u0 = 2, u1 = 1 et la relation de récurrence un = −32un−1 + un−2 pour n ≥ 2. Donner l’expression de un pour tout n ≥ 0, et la limite de un lorsque n → +∞.

5

Ex. 9 ∗ Modèles de population. On s’intéresse à des modèles discrets s’appliquant à des populations présentant des phénomènes de synchronisation (par exemple, les insectes se reproduisent à une même période de l’année). On choisit une unité de temps et on note Pn le nombre d’individus au bout de n unités de temps, P0 (> 0) désignant la population initiale. La quantité Tn = Pn+1 − Pn

Pn est le taux d’accroissement de la population entre les instants n

et n+ 1. 1. On suppose que Tn = T pour tout n (loi de Malthus), où T ∈] − 1,+∞[ est une constante. Ecrire l’équation liant Pn+1 et Pn et reconnâıtre le type de la suite (Pn). Etudier sa limite. 2. On suppose que pour tout n

Tn = k(1− Pn P ∗

) (loi de Verhulst),

où k > 0 et P ∗ > 0 sont des constantes. a) On pose

xn = k

k + 1

Pn P ∗

·

Montrer que xn+1 = (k + 1)xn(1− xn), ∀n ≥ 0.

A partir de maintenant on suppose que k = 1/2 et que 0 < P0 < 3P ∗.

b) Montrer que xn → 13 . (On distinguera les cas suivants (i) 0 < x0 < 1/3, (ii) x0 = 1/3, (iii) 1/3 < x0 < 2/3 et (iv) 2/3 ≤ x0 < 1 et on établira dans les cas (i) et (iii) la monotonie de la suite (xn) à partir d’un certain rang.) c) Conclure.

Ex. 10 ∗ Développement décimal illimité Le but de cet exercice est de définir le développement décimal illimité de tout nombre réel l ∈ [0, 10]. 1. Soit (un)n≥0 une suite réelle vérifiant un ∈ {0, 1, 2, ..., 9} pour tout n ≥ 0. On définit deux suites (sn)n≥0 et (s

′ n)n≥0 par

sn = n ∑

k=0

uk · 10−k = u0, u1u2 · · ·un, s′n = sn + 10−n ∀n ≥ 0.

Montrer que les suites (sn) et (s ′ n) sont adjacentes. En déduire qu’elles con-

vergent vers une nombre l ∈ [0, 10]. On écrira l = u0, u1u2 · · · et on dira

6

que u0, u1u2 · · · est un développement décimal illimité du réel l. Que vaut l lorsque un = 9 pour tout n ? 2. Inversement, on se donne un réel quelconque l ∈ [0, 10[ et on cherche à construire un développement décimal illimité de l. On pose u0 = [l] (partie entière de l). Si u0, ..., un sont construits, on pose un+1 = [10

n+1(l− sn)], où sn = u0, u1 · · ·un. Montrer par récurrence sur n que

{

0 ≤ un ≤ 9 sn ≤ l < sn + 10−n

∀n ≥ 0.

En déduire que l = u0, u1u2 · · · 3. Cette question vise à montrer qu’un nombre réel l ∈]0, 10] admet un unique dévelop- pement décimal illimité si et seulement si l n’est pas un nombre décimal. Soit l ∈]0, 10] un réel possédant deux développements décimaux illimités distincts :

l = u0, u1u2 · · · = v0, v1v2 · · · Soit N le premier entier pour lequel un 6= vn. On peut supposer par exemple que uN < vN . a) Montrer que vN = uN + 1. b) Montrer que un = 9 et vn = 0 pour tout n ≥ N + 1. En déduire que l est un nombre décimal. c) Inversement, montrer que tout nombre décimal l ∈]0, 10] admet deux développements décimaux illimités. 4. On dit qu’un développement décimal illimité est périodique (à partir d’un certain rang) s’il existe deux entiers N (le rang) et T (la période) tels que un+T = un pour tout n ≥ N . Le but de cette question est de montrer que les rationnels sont les seuls réels à posséder un développement décimal illimité périodique. a) Déterminer le développement décimal illimité de l = 131/7. (Indication : faire la division de l’école primaire). b) Supposons que le nombre l ∈ [0, 10] soit rationnel : l = p/q, avec p, q ∈ N. Montrer que le développement décimal illimité de l s’obtient en divisant indéfiniment p par q, et que ce développement décimal illimité est périodique. c) Réciproquement, soit l ∈ [0, 10] un réel admettant un développement décimal illimité périodique. Montrer que l est rationnel.

7

4. Géométrie affine et euclidienne

4.1 Barycentre et produit scalaire

Ex. 1 Soient A,B,C,D quatre points du plan euclidien E2. Montrer que ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, [AC] et [BD] ont mêmes milieux.

Ex. 2 Orthonormalisation de Gram-Schmidt On note (~u,~v) le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v de R3. Soit (~ui)1≤i≤3 une base quelconque de R3. On définit les vecteurs ~e1, ~e2 et ~e3 par

~e1 = ~u1 ‖~u1‖

~e2 = ~u2 − (~u2, ~e1)~e1 ‖~u2 − (~u2, ~e1)~e1‖

~e3 = ~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2 ‖~u3 − (~u3, ~e1)~e1 − (~u3, ~e2)~e2‖

Montrer que (~e1, ~e2, ~e3) est une base orthonormée de R 3. Faire les calculs

pour ~u1 = (1, 1, 1), ~u2 = (1, 1, 0), ~u3 = (1, 0, 0).

4.2 Produit vectoriel et produit mixte

Ex. 1 Dans E3 rapporté à un repère orthonormé direct (O,~i,~j,~k), on con- sidère le point A de coordonnées (1, 1, 1), le vecteur ~u de composantes (2, 0, 1), la droite D = D(A, ~u) et le plan P d’équation x+y+2z−1 = 0. Déterminer D ∩ P , dist(O,D) et dist(A,P).

8

Ex. 2 Soient ~u = (1, 0,−1), ~v = (1, 2, 2) et ~w = (−3, 2, 5). Calculer les produits vectoriels ~u ∧ ~v, ~u ∧ ~w, ~v ∧ ~w et le produit mixte (~u,~v, ~w).

Ex. 3 Soient P le plan d’équation x+y−2z+1 = 0, D1(A1, ~u1) et D2(A2, ~u2) les droites définies par les points A1 = (1, 1, 1), A2 = (2, 0,−1) et les vecteurs ~u1 = (0,−1, 1), ~u2 = (1,−1, 0). Déterminer dist(A1, D2), dist(A1, P ), dist(D1, D2) et dist(D2, P ).

4.3 Géométrie analytique

Ex. 1 Soit la droite D = D(A, ~u) de l’espace R3, où A est le point de coor- données (2, 0, 1) et ~u le vecteur de composantes (1, 1, 3) dans la base canon- ique. Donner une représentation paramétrique de D, puis une représen- tation cartésienne de D.

Ex. 2 Déterminer le centre et le rayon de la sphère d’équation x2 + y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0.

Ex. 3 Déterminer l’intersection des deux sphères d’équations respectives x2+ y2 + z2 − x+ 2y − 2 = 0 et x2 + y2 + z2 − x+ y − z − 4 = 0.

Ex. 4 Déterminer l’intersection du plan P d’équation x− y + 2z − 3 = 0 et de la droite D d’équations

{

−x+ y − z + 2 = 0, x+ y + 3 = 0.

Ex. 5 Soit S la sphère x2 + y2 + z2 − 2x + y − 2z − 7 = 0, et D la droite ayant pour représentation cartésienne

{

x+ y − 2z + 2 = 0, x− y + 4 = 0.

Donner une représentation paramétrique de D, et déterminer S ∩D.

9

Ex. 6 Coniques Dans un plan affine euclidien orienté P, soient F un point et D une droite affine ne contenant pas F . Pour tout point M de P on note H la projection orthogonale de M sur D. Soit e un nombre positif. On appelle conique de foyer F , de directrice D et d’excentricité e, l’ensemble

C = {M ∈ P; MF = eMH }.

Si 0 < e < 1, on dit que C est une ellipse; Si e = 1, on dit que C est une parabole; Si e > 1, on dit que C est une hyperbole. On note K la projection orthogonale de F sur D. On pose α = FK et p = α e.

1. Etude d’une ellipse (0 < e < 1)

Soient ~i = 1 FK

−−→ FK.

a) Montrer que dans le repère orthonormé direct R = (F,~i,~j), l’ellipse C a pour équation

x2 + y2 = e2(x− α)2, ou encore

(

x+ αe2/(1− e2) αe/(1− e2)

)2

+ y2

(αe/ √ 1− e2)2

= 1.

On pose a = p 1−e2 , b =

p√ 1−e2 , c = ea, et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i,~j) est

x′2

a2 +

y′2

b2 = 1.

Dessiner l’ellipse C. (On dit que a (resp. b) est le demi grand axe (resp. demi petit axe), et que O est le centre de C.) b) Soit le point F ′ défini par

−−→ F ′O =

−→ OF . Montrer que

C = {M ∈ P; MF +MF ′ = 2a}.

(Indication: soit s la symétrie orthogonale par rapport à l’axe des ordonnées. Remarquer que s(C) = C, et introduire M ′ = s(M), H ′ = s(H) et D′ = s(D).)

10

2. Etude d’une parabole (e = 1)

Soient S le milieu de [F,K] et ~i = 1 SF

−→ SF .

a) Montrer que dans le repère R = (S,~i,~j) la parabole C admet pour équation

y2 − 2px = 0.

Dessiner la parabole C. b) Montrer que la tangente en un point M de C est la bissectrice de F̂MH. (Indication : remarquant que l’application t 7→ ( t2

2p , t) est une paramétrisation

de C, dériver par rapport à t dans l’équation ‖−−→FM‖2 = ‖−−→HM‖2). En déduire que tout rayon lumineux parallèle à l’axe des abscisses se réfléchit sur la parabole en direction du foyer.

3. Etude d’une hyperbole (e > 1)

a) Soient ~i = − 1 FK

−−→ FK. Montrer que dans le repère orthonormé direct

R = (F,~i,~j), l’hyperbole C admet pour équation

x2 + y2 = e2(x+ α)2,

ou encore (

x+ αe2/(e2 − 1) αe/(e2 − 1)

)2

− y 2

(αe/ √ e2 − 1)2

= 1.

On pose a = p e2−1 , b =

p√ e2−1 , c = ea et on introduit le point O défini par−→

FO = −c~i. Montrer que dans le repère R′ = (O,~i,~j) C a pour équation

x′2

a2 − y

′2

b2 = 1.

Dessiner l’hyperbole C. b) Soit la fonction f(x) = k

x , où k > 0 est une constante positive. Montrer

que la courbe représentative C de f est une hyperbole, dont on précisera les caractéristiques (foyer, directrice, excentricité). (Indication : écrire l’équation de C dans le repère R′ = (O,~i′, ~j′), avec ~i′ = 1√

2 (~i + ~j), ~j′ = 1√

2 (−~i + ~j) et

utiliser le fait que c = √ a2 + b2.)

Ex. 7 Intersection cylindre-plan et cône-plan Soit E3 rapporté à un repère orthonormé R = (O,~e1, ~e2, ~e3). Soit θ un an- gle compris entre 0 et π/2. Soit (~f1, ~f2, ~f3) la base (orthonormée) définie

11

par ~f1 = ~e1, ~f2 = cos(θ)~e2 + sin(θ)~e3, ~f3 = − sin(θ)~e2 + cos(θ)~e3. Soit R′ = (O, ~f1, ~f2, ~f3) le nouveau repère. On note (x, y, z) (resp. (x′, y′, z′)) les coordonnées d’un point M dans R (resp. R′). i) Représenter les demi-axes Ox, Oy, Oz, Ox′, Oy′ et Oz′. Montrer que

x = x′

y = cos(θ)y′ − sin(θ)z′ z = sin(θ)y′ + cos(θ)z′.

Dans tout ce qui suit on note P le plan d’équation z′ = 0, et on fait varier la valeur de l’angle θ. ii) Soit D le cylindre d’équation x2 + y2 = 1. Montrer que D ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/2 et la réunion de 2 droites pour θ = π/2. iii) Soit C le cône d’équation x2 + y2 = (z + 1)2. Montrer que C ∩ P est un cercle pour θ = 0, une ellipse pour 0 < θ < π/4, une parabole pour θ = π/4, une hyperbole pour π/4 < θ < π/2, et la réunion de 2 droites pour θ = π/2.

Ex. 8 Projection orthogonale d’un cercle sur un plan (Extrait de la colle de Mai 2004) On se propose de montrer que la projection orthogonale d’un cercle sur un plan est une ellipse. On suppose donné dans R3 un plan P d’équation λy+z = 1 (λ étant un paramètre réel), un cercle C sur P de centre A = (0, 0, 1) et de rayon R > 0, et l’on étudie la projection orthogonale de C sur le plan d’équation z = 0. 1. Donner un système d’équations cartésiennes pour C. 2. Soit p : (x, y, z) 7→ (x, y, 0) la projection orthogonale sur le plan z = 0. Exprimer l’équation reliant x et y pour tout point (x, y, z) de C, puis donner le système d’équations cartésiennes définissant p(C). 3. Montrer que p(C) est une ellipse. Préciser son demi-grand axe a et son demi-petit axe b.

12

5. Applications de R dans R

5.1 Limite - Continuité

Ex. 1 Simplifier x 1

ln(x2) . Etudier les limites de x 1 x , (x3 − x + 2)

1 ln(x2) et de√

x2 + x− x lorsque x → +∞.

Ex. 2 Etudier les limites quand x → 0+ de f(x) = (x+ sin x)(1− cosx) (x+ sin(x

2 ))(1− cos(2x)) ,

g(x) =

√ x+ x2 −√x√ 3x ln(1 + x)

, h(x) = (x−2 + 1) √ x

Ex. 3 Soit f : R → R une fonction telle qu’en tout point x les limites f(x+0) et f(x− 0) existent et sont égales. f est-elle nécessairement continue ? Ex. 4 Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application continue. Montrer qu’il existe (au moins) un nombre x ∈ [0, 1] tel que f(x) = x. Ex. 5 Soit f : R → R une application continue, vérifiant lim|x|→∞ f(x) = +∞. Montrer que f admet un minimum sur R (i.e., il existe x̄ ∈ R tel que f(x̄) ≤ f(x) pour tout x ∈ R). Ex. 6 Soit f : R → R une application continue. Montrer l’équivalence des deux assertions suivantes : (a) lim

|x|→+∞ |f(x)| = +∞ ;

(b) pour tout m > 0, l’image réciproque de [−m,m] est bornée. Ex. 7 Pour chacune des fonctions suivantes, dire si elle est ou non uni- formément continue sur son ensemble de définition : a) x 7→ ln x ; b) x 7→ x2 ; c) x 7→ √x ; d) x 7→ sin x. Ex. 8 ∗ Soit f : R → R une application uniformément continue. Montrer qu’il existe deux constantes a ≥ 0 et b ≥ 0 telles que

|f(x)| ≤ a|x|+ b, ∀x ∈ R.

13

5.2 Applications dérivables

Ex. 1 Soit f une fonction dérivable sur R. On définit

g(x) = f(sin2 x) et h(x) = sin2 (

f(x) )

.

Exprimer les dérivées de g et de h en fonction de f et f ′.

Ex. 2 Montrer, en utilisant la définition de la dérivée en 0, que

lim x→0

sin x

x = 1, lim

x→0

cosx− 1 x

= 0, lim x→0

ex − 1 x

= 1, lim x→0

ln(1 + x)

x = 1.

Ex. 3 Calculer la dérivée logarithmique, puis la dérivée usuelle de

f(x) = x5 cos3 x sin4 x

(1 + x2)ex ·

Ex. 4 Soit f : R → R dérivable telle que f ′(x) → 0 lorsque x → +∞. Montrer que f(x+ 1)− f(x) → 0 lorsque x → +∞.

Ex. 5 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soient f et g deux fonctions dérivables sur R. On note F (x) =

∫ x

0 f(t) dt (resp. G(x) =

∫ x

0 g(t) dt) la

primitive de f (resp. de g) s’annulant en 0. Etudier la validité de chacune des assertions suivantes. On justifiera sa réponse en donnant une preuve courte lorsque l’assertion est vraie, et un contre-exemple lorsqu’elle est fausse. (A1) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ F (x) ∼ G(x) lorsque x → 0. (On supposera en outre que f et g sont positives ou nulles, pour simplifier.) (A2) f(x) ∼ g(x) lorsque x → 0 ⇒ f ′(x) ∼ g′(x) lorsque x → 0. (A3) f(x) ∼ g(x) lorsque x → +∞ ⇒ ef(x) ∼ eg(x) lorsque x → +∞.

Ex. 6 ∗ On dit qu’une application f : I → R est höldérienne d’exposant α > 0 s’il existe une constante C > 0 telle que

∀x, y ∈ I |f(x)− f(y)| ≤ C|x− y|α.

i) Montrer que x → √x est höldérienne d’exposant 1/2 sur I = [0, 1]. ii) Montrer que si f : I → R est höldérienne d’exposant α > 1, alors f est constante. (Indication : montrer que f est dérivable et que sa dérivée est nulle sur I.)

14

Ex. 7 ∗ Soit f :]a, b[→ R une fonction dérivable et telle que f ′(x) a une limite (finie) l′ lorsque x → a. i) Montrer que f(x) a aussi une limite finie lorsque x → a. (Indication : vérifier que le critère de Cauchy est satisfait.) ii) On prolonge f par continuité en a. Montrer que f est dérivable en a et que f ′(a) = l′. iii) Application : Soit la fonction f(x) = Argthx + Argth x2 définie et dérivable sur ] − 1, 1[. Montrer que f se prolonge en −1 en une fonction dérivable. (On rappelle que Argth ′(x) = 1

1−x2 .)

Ex. 8 (Extrait de la colle de Novembre 2002) Soit f une fonction de classe C1 sur R. On s’intéresse à la réflexion sur la courbe C = {(x, f(x)), x ∈ R} d’un rayon lumineux arrivant de l’infini en décrivant la demi-droite {(x, y) ∈ R2, x = x0 et y > f(x0)}. 1. Soient ~v, ~n et ~r des vecteurs directeurs respectivement du rayon incident (vertical), de la normale à la courbe en (x0, f(x0)) et du rayon réfléchi. On choisit ~v, ~n et ~r de telle sorte qu’ils pointent vers la partie de R2 au dessus de la courbe C, et que ~v et ~r soient de norme 1. On rappelle que dans ces conditions les lois de l’optique géométrique se traduisent par la relation

~v · ~n = ~n · ~r.

Exprimer ~r en fonction de f ′(x0). 2. Calculer l’ordonnée (notée g(x0)) du point situé à l’intersection du rayon réfléchi et de l’axe des ordonnées. 3. Montrer que la fonction g est constante lorsque f(x) = 1

2 x2.

4. Est-ce encore vrai lorsque f(x) = 1− √ 1− x2 ? Que se passe-t-il lorsque

x0 → 0 ? 5. Donner l’interprétation physique des résultats obtenus aux questions 3 et 4.

15

5.3 Applications réciproques

Ex. 1 a. Montrer que arctan(x) + arctan( 1 x ) = π

2 sgn(x) pour tout x ∈ R∗.

b. Montrer que arccos(x) + arcsin(x) = π 2 pour tout x ∈ [−1, 1].

Ex. 2 Soient x ∈ R \ {π 2 + kπ, k ∈ Z} et n =

[

x π + 1

2

]

. Montrer que arctan(tan(x)) = x− nπ.

Ex. 3 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Calculer A = cos(arccos(1 3 ) +

arcsin(1 2 )), B = sin(arccos(1

4 ) + π

3 ), C = cos(1

2 arctan 1), D = arctan(tan 2).

5.4 Fonctions convexes

Ex. 1 Montrer que |ab| ≤ (a2 + b2)/2 pour tout a, b ∈ R, puis que a2 + ab+ b2 > 0 pour tout (a, b) 6= (0, 0). Montrer que |ab| ≤ εa2 + 1

4ε b2 pour tous

ε > 0, a, b ∈ R. Application : Montrer que pour tous x, y ∈ R,

1

3 x2 + x sin y − 3

4 cos2 y ≥ −3

4 ·

Ex. 2 Inégalité de Young : Soient p et p′ deux nombres dans [1,+∞[ et tels que 1/p+ 1/p′ = 1. Montrer, en utilisant la concavité du logarithme, que

ab ≤ a p

p +

bp ′

p′ ∀a, b ≥ 0.

Ex. 3 Montrer que ( √ x+

√ y)/

√ 2 ≤ √x+ y ≤ √x+√y pour tous x, y ≥ 0.

Ex. 4 Montrer

xp + yp ≤ (x+ y)p ≤ 2p−1(xp + yp) ∀x, y ≥ 0, ∀p ≥ 1.

16

Ex. 5 Prouver 2

π x ≤ sin x ≤ x ∀x ∈ [0, π

2 ].

Ex. 6 Soit f : I → R une fonction de classe C1 et telle que f ′ est convexe, et soit a ∈ I. On introduit la fonction taux d’accroissement en a

τa(x) =

f(x)− f(a) x− a si x ∈ I, x 6= a,

f ′(a) si x = a.

Montrer que

τa(x) =

∫ 1

0

f ′(a+ t(x− a)) dt ∀x ∈ I.

En déduire que τa est convexe sur I. Application : Vérifier que la fonction lnx

x−1 est concave sur ]0,+∞[.

Ex. 7 Soit f : [a, b] → R une application dérivable et convexe. Montrer que le maximum de f est atteint en a ou en b.

17

6. Polynômes

Ex. 1 Effectuer la division euclidienne de A = x5−3x2+1 par B = x2+x+2, puis la division suivant les puissances croissantes jusqu’à l’ordre 2 de A par B.

Ex. 2 Utilisant l’algorithme d’Euclide, montrer que les polynômes A = x3+1 et B = −2x2+1 sont premiers entre eux, et donner un couple (U, V ) ∈ R[x]2 satisfaisant l’identité de Bezout AU +BV = 1.

Ex. 3 Déterminer le PGCD de A = x4 − 1 et de B = x3 − 3x2 + x− 3.

Ex. 4 Soit A = x3− 7x2+16x− 12. Déterminer le PGCD de A et de A′, et trouver ses racines (qui sont les racines multiples de A). Déterminer toutes les racines de A.

Ex. 5 Soient P = x4 + x2 + 1 et Q = x3 + 1. Donner le PGCD de P et de Q et la décomposition de P en facteurs irréductibles sur R, puis celle en facteurs irréductibles sur C.

Ex. 6 On étudie le système

a2 + b2 + c2 = 14 (1) a+ b+ c = −2 (2)

a−1 + b−1 + c−1 = −5 6

(3)

Montrer que le système est équivalent à

ab+ bc+ ca = −5 (1′) a+ b+ c = −2 (2)

abc = 6, (3′)

et résoudre le second système.

Ex. 7 Polynômes de Tchebychev Pour tout n ≥ 0, on pose

Tn(x) = cos(n arccosx), ∀x ∈ [−1, 1].

18

i) Exprimer cosny en fonction de cos y. Montrer que Tn est un polynôme de degré n pour tout n ≥ 0. Calculer T0, T1, T2. ii) Montrer que cos(n + 1)y + cos(n − 1)y = 2 cosny cos y pour tout y. En déduire que

Tn+1 = 2xTn − Tn−1. Calculer T3, T4 et tracer le graphe de T4. iii) On pose xk = cos(

2k−1 2n

π) pour 1 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn n’a que des racines simples, qui sont les xk. iv) On pose x′k = cos(

kπ n ) pour 0 ≤ k ≤ n. Montrer que Tn atteint ses

extrema sur [−1, 1] en les x′k.

19

7. Formule de Taylor-Lagrange et développements limités

Ex. 1 En appliquant la formule de Taylor-Lagrange, montrer qu’on a

1− x 2

2 ! ≤ cosx ≤ 1− x

2

2 ! +

x4

4 !

pour tout x ∈ [

−π 2 , π 2

]

.

Ex. 2 Soit f(x) = x3 sin(x−2). Montrer que f a un développement limité à l’ordre 2 en 0 et que f n’a cependant pas de dérivée seconde en 0.

Ex. 3 Donner les développements limités à l’ordre 5 en 0 des fonctions sin(3x),

√ 1− x2, cosx− ch x, 1+2x

1−x .

Ex. 4 Donner un développement limité à l’ordre 2 en 0 de √ 1+x

coshx en utilisant

la division suivant les puissances croissantes des polynômes.

Ex. 5 Donner les développements limités à l’ordre 2 en 0 de f(x) = √ 1 + 2x

et de g(x) = x−1 ln(1 + 2x), puis le développement limité à l’ordre 2 en 0 de f(x)/g(x) en effectuant une division suivant les puissances croissantes.

Ex. 6 a. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

g(x) = ln 1 + x

1− x b. Calculer le développement limité à l’ordre 2 en 0 de la fonction

f(x) = (

1 + g(x) )

1 3 .

Ex. 7 Donner un développement limité à l’ordre 5 en 0 de la fonction arcsin.

Ex. 8 Etudier les limites suivantes :

lim x→0

cosh x− cosx x2

, lim x→+∞

(1− x−2)x2, lim x→0

2 + ln(1 + x 4 )−

√ 4 + x

x2 .

20

Ex. 9 a. Ecrire un développement limité à l’ordre 2 en 0 de ln(1+h) 2+h

· b. Soit f :]0, 1[∪]1,+∞[→ R définie par f(x) = lnx

x2−1 . Montrer que f peut être prolongée en une fonction continue sur ]0,+∞[ (que l’on désigne encore par f). Montrer que f est dérivable en 1, et calculer f(1) et f ′(1).

Ex. 10 (Extrait de l’examen de Janvier 2003) Soit a un réel non nul et soit

f :]− 1|a| , 0 [ ∪ ] 0, 1

|a| [→ R définie par f(x) = (1 + ax) 1

sin(ax)−x .

1. On suppose a 6= 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner la valeur de f(0). b) Montrer que f est dérivable en x = 0, et donner f ′(0). (On donnera un DL1 de f en 0.) 2. On suppose a = 1. a) Montrer que f se prolonge par continuité en x = 0, et donner f(0). b) f est-elle dérivable en 0 ? Si c’est le cas, donner f ′(0).

Ex. 11 Montrer que le graphe de f(x) = √ 4 + x2 − 1 + x

2

1 + 2x a une asymp-

tote oblique pour x → +∞, et préciser la position du graphe par rapport à l’asymptote.

Ex. 12 (Extrait de l’examen de Janvier 2003)

Montrer que le graphe de la fonction f(x) = x √ 4x2 + 5

x+ 3 admet une asymptote

lorsque x → +∞, et donner la position de la courbe y = f(x) par rapport à l’asymptote au voisinage de l’infini.

Ex. 13 Soit fa(x) = (x 3 + x2 + ax)

1 3 , où a ∈ R est un paramètre.

1. Montrer que la courbe y = fa(x) a une asymptote oblique lorsque x → +∞. 2. Préciser la position de la courbe par rapport à l’asymptote en fonction de la valeur de a. (Indication : pour la valeur critique de a, on prendra un

développement limité de (1 + v) 1 3 à l’ordre 3 au voisinage de 0.)

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