Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 1, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la solution de l’équation, la construction de deux cercles, la fonction définie, la signification géométrique.
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[ Aix-Marseille juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires

EXERCICE 1

Déterminer le module et l’argument de chaque solution de l’équation

z4− z2 p 2+1= 0,

z appartient au corps des nombres complexes.

EXERCICE 2

Étant donné deux cercles, (C ) et (C ′), de rayons R et R′, tangents extérieurement en A, déterminer l’inversion (pôle et puissance) qui transforme le cercle (C ) en une droite (d) tangente à (C ′) et le cercle (C ′) en une droite (d ′) tangente à (C ). En déduire une construction de deux cercles, (Γ) et (Γ′), orthogonaux, tangents tous deux aux cercles (C ) et (C ′).

PROBLÈME

1. Soit m un paramètre réel strictement positif.

a. On considère les polynômes

P (x)= x2+mx −2 et Q(x)= mx −1.

Pour quelle valeur de m le polynôme P (x) est-il divisible par Q(x) ?

b. On suppose, dans toute la suite du problème, que m, qui reste stricte- ment positif, est différent de 1.

Soit f la fonction définie, pour tout réel x différent de 1

m , par

f (x)= x2+mx −2

mx −1 .

On désigne par Cm la courbe représentative par rapport à un repère or- thonormé xOy , de la fonction f correspondant à la valeur m du para- mètre.

Pour quelles valeurs de m la fonction f admet-elle un maximum (rela- tif) ?

Construire C2 et C1.

(On ne demande pas la construction de Cm dans le cas général).

Montrer que les courbes Cm passent par trois points fixes.

2. Soit y = kx l’équation d’une droite Dk passant par O. Établir une équation dont les racines sont les abscisses des points d’intersection de Cm et Dk .

Comment faut-il choisir m pour que toutes les droites Dk coupent Cm ?

3. On se donne un point M distinct de O, de coordonnées x1 et y1 et l’on écrit les équations paramétriques de la droite OM1 sous la forme

x = x1

1+λ , y =

y1

1+λ .

Donner une signification géométrique du paramètre λ.

Montrer que, pour que le point de paramètre λ appartienne à Cm , il faut et il suffit que λ soit solution d’une équation du second degré, qu’on établira.

Quelle inégalité m doit-il vérifier pour qu’un des points d’intersection, et un seul, appartienne au segment OM1 ?

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

4. On se donne un nombre réel, a, et l’on considère une courbe Cm correspon- dant à une valeur m < 1.

Quel est l’ensemble ∆m des points M1 tels que la droite OM1 coupe Cm en deux points M ′ et M ′′ et que

M M1

M ′O +

M ′′M1

M ′′O = a ?

Montrer que, si m varie et si a reste fixe, ∆m passe par un point fixe.

Centres Outre-Mer 2 juin 1967

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