Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 10, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 10. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la longueur égale, l'équation, le graphique de la fonction.
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[ Clermont-Ferrand juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Un point M parcourt l’arc de cercle fixe AB. Trouver l’ensemble des points P obtenus en portant sur la demi-droite BM , à partir de B, une longueur égale à AM .

EXERCICE 2

On donne l’équation

p 3cos3x + sin3x = m.

Résoudre cette équation pour m = 1. Pour quelles valeurs de m cette équation a-t-elle des solutions ?

EXERCICE 3

Soit (P) la parabole, graphique de la fonction y = −x2, dans un plan rapporté à un repère orthonormé direct xOy .

1. Étudier succinctement cette fonction (une représentation graphique réalisée avec soin permettra d’illustrer de figures quelques-unes des solutions deman- dées ; prendre 2 cm pour unité de longueur).

Soit M0,M1,M2 les points de (P) d’abscisses respectives x0,x1,x2. Déterminer, en fonction de x1 et x2, l’équation de la droite M1M2 ; déterminer, en fonction de x0, celle de la tangente à (P) en M0.

Soit H le point de coordonnées a et b. Montrer que, si les racines de l’équation

(1) x2−2ax b = 0,

sont réelles, cette équation est l’équation aux abscisses des points de contact des tangentes à (P) issues du point H .

Dans quelle régionduplan le point H doit-il se trouver pour qu’il en soit ainsi ?

Interpréter le cas où l’équation (1) admet une racine double.

2. a. Des expressions de a et de b en fonction des racines, x1 et x2, de l’équa- tion (1), supposées réelles et distinctes, déduire que le lieu des points H d’où sont issues deux tangentes à (P) perpendiculaires entre elles est une droite parallèle à Ox, dont on précisera l’ordonnée.

b. En supposant toujours réelles et distinctes les racines de (1), détermi- ner, en fonction de a et b, l’équation de la droite qui joint les points de contact des tangentes à (P) issues de H .

3. Soit (E) l’ensemble des points H tels que les points de contact des tangentes à (P) issues de ces points aient pour coordonnées des nombres entiers relatifs.

a. Montrer qu’il y a des points de (E) sur une droite d’équation x = m, si, et seulement si, 2m est un nombre entier relatif.

On remarquera que la différence des abscisses des points de contact doit aussi être un nombre entier relatif ; décrire, en utilisant ce dernier para- mètre, l’ensemble des valeurs prises par les ordonnées des points de (E) situés sur la droite x = m (deux cas, selon les valeurs de m).

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

b. Définir, par leurs coordonnées, les points de (E) situés sur les droites x = 1

2 et x =−1 et dont l’ordonnée est à la fois aumoins égale à−1 et au plus

égale à +6.

4. a. Soit (D) la droite d’équation y = px +q .

Quel est l’ensemble, (D ′), des points H de (D) d’où l’on peut mener à (P) deux tangentes distinctes ? Les points de contact en seront nommés M1 et M2.

Montrer que, lorsque H parcourt (D ′), la droite M1M2 passe par un point fixe, dont on déterminera les coordonnées en fonction de p et q .

b. Qu’arrive-t-il si, au lieu d’une droite non parallèle à Oy comme dans le cas a., on prend pour (D) une droite parallèle à Oy , d’équation x = r ?

N. B. - Les questions 3 et 4 sont indépendantes et peuvent être traitées dans n’im- porte quel ordre.

Clermont-Ferrand 2 juin 1967

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