Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 13, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 13. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, les variations de la fonction, les calculs.
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[ Dijon juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

SoitDunedroite fixe,Ounpoint fixe de cette droite etα lamesure d’un angle orienté (définie modulo 2π). On désigne par S la symétrie par rapport à D et par R la rotation de centre O et d’angle α. En décomposant R en le produit de deux symétries convenables, étudier les transformations R S et S R.

EXERCICE 2

Soit le nombre complexe

Z = 10−4i p 6.

Trouver les nombres complexes z de la forme x + iy tels que z2 = Z .

EXERCICE 3

1. Étudier les variations de la fonction qui, à x, associe

y = 1

2

(

x + a2

x

)

,

a est un nombre réel positif. On désigne par C(a) la représentation gra- phique, dans un repère orthonormé, de la fonction correspondant à une va- leur a positive déterminée.

Construire C(a), correspondant à la valeur a = 1 (on prendra 2 cm pour unité).

2. On considère l’homothétie de centre O, de rapport k, qui transforme un point M de coordonnées (x ; y) en le point M ′ de coordonnées (x′ ; y ′).

Calculer x′ et y ′ en fonction de x et y .

Montrer que la courbe C(a) est homothétique de C(1).

3. Dans cette question, on désigne par x et y les coordonnées d’un point M quel- conque de C(1) distinct du point de coordonnées (+1 ; +1).

On pose x = 1+ 1

u , y = 1+

1

v . Calculer v en fonction de u.

Montrer que les coordonnées de ce point M sont rationnelles si, et seulement si, u est rationnel.

4. On désigne par f la fonction

y = f (x)= 1

2

(

x + 1

x

)

.

On considère la suite

x0 = 2, x1 = f (x0) , . . . ,xn = f (xn−1) .

Montrer que xn > 1.

Soit un le nombre défini par xn = 1+ 1

un .

Montrer que un+1 = 2un (1+un ) .

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

Montrer par récurrence que les nombres un sont entiers positifs et que un est, pour n > 1, divisible par 2n+1 sans l’être par 2n+2.

Démontrer que le reste de la division par 3 de un est 1 et que, pour u > 2, un est divisible par 5 sans l’être par 25.

Déterminer la limite de xn quand n tend vers l’infini.

Dijon 2 juin 1967

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