Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 2, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les nombres complexes, l’équation, Le plan, les sommets d’une courbe.
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[ Baccalauréat algérien 1 septembre 1967 \

SÉRIES MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES ET MATHÉMATIQUES ET TECHNIQUES

Exercice 1

Résoudre, dans le corps, C, des nombres complexes, l’équation

z4− z3+3z −3= 0.

(On commencera par déterminer une racine réelle simple de cette équation.)

Exercice 1

Étudier la fonction définie par

y = x

2 + sinx pour −π6 x 6π.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, x′Ox, y ′Oy , on prend pour unité de longueur 2 centimètres. Tracer la courbe représentative de cette fonction après avoir déterminé les tangentes parallèles à la première bissectrice, ainsi que les tangentes aux points d’abscisses x = 0 et x =π. Calculer l’aire du domaine limité par l’axe xx, la courbe et la droite d’équation x π

2 = 0.

Exercice 3

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy , on considère la famille de courbes (Em) d’équation

x2−2mx +4y2−4= 0.

1. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme

(x m)2

P +

y2

Q = 1.

En déduire la nature des courbes (Em) ; montrer que toutes les courbes (Em) ont lamêmeexcentricité. Prouver que les courbes (Em) passent par deuxpoints fixes, A et B.

2. Soit M’et Mil les sommets d’une courbe (Em) qui n’appartiennent pas à x’Ox. Calculer en fonctiondem les coordonnées deM’etMil. Endéduire l’ensemble, (H), des points M’et MU lorsque m varie. Tracer la courbe (H).

3. Soit (Cm) le cercle principal de (Em). Trouver l’équation de (Cm ) Montrer que les cercles (Cm ) appartiennent à un faisceau, (F).

1. Le programme de ce baccalauréat et la nature des épreuves ne sont pas nécessairement les mêmes que ceux du baccalauréat français.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Par quelle transformation ponctuelle peut-on passer d’un cercle (Cm) à la courbe (Em) correspondante ?

Soit I un point donné de y y et J le point de y y tel que OI

OJ =

1

2 .

Construire les tangentes issues de I à une courbe (Em).

Quel est l’ensemble des points de contact de ces tangentes lorsque m varie ?

Algérie 2 septembre 1967

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