Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 3, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les équations, les couples d’entiers positifs, les variations de la fonction.
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[ Amérique du Nord juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques

EXERCICE 1

Résoudre les équations

Z 2 = 1+ i et (1+ z)2

(1− z) = 1+ i.

Les solutions sont des nombres complexes, qu’on écrira sous la forme a+ ib, où a et b sont des nombres réels.

EXERCICE 2

Déterminer les couples d’entiers positifs x et y solutions de l’équation

4x −3y = 5.

EXERCICE 3

1. a. Étudier les variations de la fonction définie par

f (x)= 2x +5+ 4

x −2

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy), construire la courbe (C ) qui a pour équation y = f (x).

b. Utiliser cette courbe pour discuter, suivant les valeurs du paramètre réel h, le nombre des racines réelles de l’équation

2x2+ (1−h)x +2(h−3)= 0.

2. La courbe (C) se compose de deux branches, dont l’une, (C1), rencontre l’axe xx en deux points, A et B.

a. Comment faut-il choisir le nombre réel h pour que la droite d’équation y = h rencontre (C1) en deux points, M et N ?

h décrit alors un sous-ensemble de l’ensemble des nombres réels, qu’on notera ∆.

Calculer, en fonction de h, les coordonnées dumilieu, I, du segmentMN.

Quel est l’ensemble décrit par I quand h décrit∆ ?

b. Calculer, en fonction de h (h ∈∆), la longueur du segment MN.

Former l’équation du cercle (Γ) de diamètre MN.

Montrer que cette équation peut s’écrire

2x2+ x −6−h(x −2)+2(y h)2 = 0.

3. Pour h ∈ ∆0 (∆0 ⊂ ∆), le cercle (Γ) rencontre (C1) en deux points, P et Q, dis- tincts de M et N. On se propose de déterminer ∆0.

a. Montrer que l’ensemble des points communs à (C1) et (Γ) est l’ensemble des points communs à (Γ) et à deux droites, dont l’une est la droite y = h

et dont l’autre a pour equation y =− x

2 +1+h.

On remarquera que l’équation de (C ) peut se mettre sous la forme

y(x −2)= 2x2+ x −6.

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

b. Utiliser ce résultat pour former l’équation aux abscisses des points P et Q.

En déduire ∆0.

Pour quelle valeur de h les points P et Q sont-ils confondus en un point, P0 ?

Calculer les coordonnées de P0.

4. a. Calculer, en fonction de h (h ∈∆0), les coordonnées du milieu, J, du seg- ment PQ.

Quel est l’ensemble décrit par J quand h décrit∆0 ?

b. Montrer que les droites qui ont pour équations

y = 2x +5, y = 4x +1, y = 9x

2 , x = 2

forment deux couples de droites isogonales (couples de droites ayant les mêmes bissectrices).

Amérique du Nord 2 juin 1967

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