Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 4, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’expression, la transformation, les cordonnées des points.
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[ Baccalauréat Amérique du Sud novembre 1967 \

SÉRIE MATHÉMATIQUES ÉLÉMENTAIRES

Exercice 1

Quelle est la limite, quand x tend vers l’infini, de l’expression

1

x

(

x + √

x2+1 )

?

Exercice 2

Déterminer les couples (a ; b) d’entiers naturels qui admettent 15 pour P. G. C. D. et 360 pour P. P. C. M.

Exercice 3

Dans un plan (P) rapporté à un repère orthonormé x′Ox, y O y , on désigne par E l’ensemble complémentaire de la droite d’équation x = −1 dans (P). On donne le point A(−1 ; 0) et un point M quelconque, qui se projette en I sur xx et en J sur y y . Soit M1 l’intersection de I M et AJ . On désigne par (T ) la transformation ponctuelle qui, à M , fait correspondre M1.

1. Déterminer les coordonnées, X et Y , de M1 en fonction des coordonnées, x et y , de M .

Démontrer que, sur E, la transformation (T ) est biunivoque.

Écrire les formules définissant la transformation réciproque de (T ).

Quel est l’ensemble des points doubles ?

2. Le point M étant donné, soit M1 son transformé par (T ), M2 le transformé de M1 par (T ), M3 le transformé de M2 par (T ), . . . , Mn le transformé de Mn−1 par (T ).

Montrer que les cordonnées des points M ,M1,M2, . . . ,Mn sont en progression géométrique.

Déterminer la somme, Sn des termes de cette progression.

En déduire l’ensemble, E1, inclus dans E, des points M tels que Sn ait une limite finie quand n tend vers l’infini. Quelle est la valeur de cette limite ?

3. Montrer que l’ensemble des droites parallèles à x′Ox est transformé par (T ) en un ensemble de droites passant par un point fixe.

Quelle est la transformée d’une droite quelconque passant par O et distincte de x′Ox et y ′Oy ?

4. Soit (C1) et (C2) les courbes d’équations

y1 = x +4

x et y2 =

x +5

x +1

et soit (

C ′1 )

et (

C ′2 )

leurs transformées par (T ).

Représenter ces quatre courbes sur unmême graphique.

On désigne par A1 l’aire de la surface limitée par (C1), (C2) et les droites x = 2 et x = λ > 2 et par A ′1 l’aire de la surface limitée par

(

C ′1 )

, (

C ′2 )

et les droites x = 2 et x =λ.

Déterminer λ pour que A ′1−A1 =λ.

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