Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 5, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre réel a, les deux autres racines, les variations, les formules.
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[ Montpellier juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Déterminer le nombre réel a pour que l’équation

z3−az2+3az +37= 0

admette pour racine −1. Calculer alors les deux autres racines, z1 et z2 dans l’ensemble, C, des nombres com- plexes. Représenter les points A, M1, M2 d’affixes respectives −1, z1 et z2 Quelle est la nature du triangle AM1M2 ?

EXERCICE 2

1. Étudier les variations et tracer la courbe représentative (axes orthonormés) de la fonction qui, à la variable réelle x, fait correspondre

y = x3−2x2− x +1

x2 .

2. Calculer l’aire du domaine limité par la courbe, les droites d’équations x = 1, x = 3 et la droite d’équation y = x −2.

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orLhonormé, x′Ox, y ′Oy . On considère la transfor- mation plane T qui, à un point m, de coordonnées x et y , fait correspondre, lorsqu’il existe, le point M , de coordonnées X et Y définies par les formules x2

(1)

X = x2

x + y

Y = y2

x + y

On désigne par P et Q les projections orthogonales de m sur xx et y y respective- ment.

1. Quels sont les points qui n’ont pas de transformé par T ?

Quels sont les points doubles de la transformation T ?

Quel est le barycentre des points P et Q affectés des coefficients respectifs x et y ?

Montrer que les formules (1) entraînent les formules suivantes :

(2)

{

(x X )2 = X Y , X Y = x y.

Montrer que la droite Mm est parallèle à la droite d’équation y = x.

Indiquer une construction géométrique de M , connaissant m.

Réciproquement, les formules (2) entraînent-elles les formules (1) ?

Le baccalauréat de 1967 A. P. M. E. P.

2. Où faut-il choisir le point M pour que ce point puisse être considéré comme le transformé par T de deux points, m1 et m2, distincts ?

Montrer que M est alors le milieu du segment [m1m2] et que les droites Om1 et Om2 sont symétriques par rapport aux axes.

On désigne par R et S les points. d’intersection (autres que O) du cercle, (O), circonscrit au triangle Om1m2 avec les axes. Montrer que RS est la média- trice du segment [m1m2]. En déduire une construction des points m1 et m2, connaissant M .

Montrer que les cercles (O) obtenus en faisant varier M forment un faisceau, dont on précisera la nature.

3. m décrit maintenant la droite d’équation x = 1. Montrer que M décrit alors la courbe (Γ) d’équation

Y = (X −1)2

X .

Étudier les variations de la fonction f définie par .

f (X )= (X −1)2

X .

et construire (Γ).

N. B. - La question 3 peut être traitée indépendamment des deux premières.

Centres Outre-Mer 2 juin 1967

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