Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 6, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’inéquation, la mesure algébrique,, Les questions 2 et 3.
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[ Antilles–Guyane juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Résoudre dans R l’inéquation

2(x −1)6 √

x2−4x +3.

EXERCICE 2

Trouver l’ensemble des points du plan qui sont images des nombres complexes z

tels que

|z| = 2|z − i|.

EXERCICE 3

Soit un cercle (O), de centre O, de rayon R, une droite (D) et son pôle, S, par rapport

à ce cercle.

On pose SO = d . On supposera :

– d’une part que (D) n’est pas tangente à (O) ;

– d’autre part que (D) n’est pas un diamètre de (O).

Soit M un point du plan, supposé non situé sur la perpendiculaire en S à SO.

On définit sa position par la mesure algébrique, x, de la projection orthogonale sur

l’axe SO du vecteur −−→ SM et par l’angle

(

−−→ SO ,

−−→ SM

)

= θ (mod.2π).

La droite SM coupe (D) en Q .

1. Calculer, en utilisant les données R, d ,x et θ :

a. la puissance, P , de M par rapport à (O) ;

b. la distance MQ ;

c. l’expression y =P −MQ2. [Onmettra en facteur l’expression (

2x d2−R2

d

)

.

2. Déterminer l’ensemble des points M tels que y = 0 (suivant les cas, on trou-

vera une ou trois droites).

3. On suppose d = 2R et, de plus, on impose au point M de décrire le cercle de

diamètre SO.

Quelle relation existe-t-il entre x, R et θ ?

Calculer y en fonction de R et x.

Variations de y = f (x). Représentation graphique pour R = 1.

N. B. - Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

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