Exercices d'algèbre - mathématiques élémentaires 9, Exercices de Méthodes mathématiques pour l'analyse numérique et l'optimisation

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Exercices d'algèbre sur les mathématiques élémentaires 9. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système binaire, le repère orthonormé, l’ensemble des cercles.
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[ Caen juin 1967 \ Baccalauréat mathématiques élémentaires et

mathématiques et technique

EXERCICE 1

Un nombre s’écrit 1 101010011 dans le système binaire. Écrire ce nombre dans le système de base 8.

EXERCICE 2

1. Soit f une fonction définie et continue dans l’intervalle [0 ; +∞[. On désigne par f1 la primitive de f telle que f1(0) = 0, par f2 la primitive de f1 telle que f2(0)= 0, par f3 la primitive de f2 telle que f3(0)= 0.

On suppose f (x) positive pour x positif. Montrer que f1(x), f2(x) et f3(x) sont positives pour x positif.

2. Si f (x)= 1−e−x , calculer f1(x), f2(x), f3(x).

Établir, pour x positif, la double inégalité

1− x+ x2

2! −

x3

3! < e−x < 1− x+

x2

2! .

EXERCICE 3

On donne un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, la droite ∆ d’équation x y = 0 et le

cercle (O) de centre O et de rayon a p 2, a étant une longueur donnée.

Soit T la transformation plane qui, à un pointM , associe le pointM ′, intersection de la polaire deM par rapport à (O) et de la droite Ou symétrique de OM par rapport à ∆.

1. Étudier géométriquement les questions suivantes :

a. Quels sont les points du plan qui n’ont pas de transformés par T ?

b. Quels sont les points invariants de T ? T est-elle involutive ?

2. On désigne par x et y les coordonnées de M , par x′ et y ′ celles de M ′. Établir les relations

xx′ = a2, y y ′ = a2.

(On pourra utiliser le produit scalaire −−−→ OM ·

−−−→ OM ′ .)

Retrouver les résultats précédents.

3. Déterminer l’ensemble, E, des points M tels que la droite MM ′ passe par le point A(−a ; 0) ou que les points M et M ′ soient confondus.

E est la réunion d’une droite D et d’une courbe C. Montrer que D et C son invariantes dans T .

4. Déterminer l’ensemble, E′, des points M tels que la droite MM ′ soit perpen- diculaire à ∆ ou que les points M etM ′ soient confondus. E′ est la réunion d’une droite D′ et d’une courbe C′.

Montrer que D′ et C′ sont invariantes dans T .

Montrer que l’ensemble des cercles dediamètreMM ′ est un faisceau, F1 lorsque M décrit D′ et un faisceau, F2 lorsque M décrit C′. Définir F1 et F2 avec préci- sion.

N. B. - Les questions 1. et 2. sont indépendantes.

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