Exercices d'Intégration et probabilités, Exercices de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez29 janvier 2014

Exercices d'Intégration et probabilités, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques concernant l'Intégration et probabilités. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices de 1 à 7.
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UFR Mathématiques Université Rennes 1 Licence 3ème année Année 2006/2007

Intégration et probabilités - TD 6

Exercice 1. Soit f la fonction définie sur l’espace produit R+ × [0, 1] par f(x, y) = 2e−2xy − e−xy.

1. Montrer que f est B(R+)⊗ B([0, 1])-mesurable.

2. Calculer ∫ [0,1]

(∫ R+

f(x, y) dx ) dy et

∫ R+

(∫ [0,1]

f(x, y) dy

) dx. Conclure.

Exercice 2. ♣ Soit f : R → R+ une fonction borélienne positive.

1. Montrer que l’ensemble Af = { (x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ y ≤ f(x)

} est un borélien de R2 et calculer λ2(Af ). On

pourra procéder en trois étapes (si f est une indicatrice... ).

2. Même question pour le graphe de f défini par Gf = {(x, f(x)) ; x ∈ R}. 3. En déduire que λ({x ∈ R ; f(x) = y}) = 0 λ(dy)-p.p.

Exercice 3. Soit (R,A, µ) un espace probabilisé (µ(R) = 1). Soit f et g deux fonctions positives de L1(µ) telles que fg ∈ L1(µ) et f, g soient monotones dans le même sens. Montrer que

∫ R fg dµ ≥

∫ R f dµ

∫ R g dµ.

Exercice 4.

1. Montrer que l’intégrale I = ∫ +∞ 0

lnx x2 − 1

dx est bien définie et qu’elle vaut encore I = −2 ∫ 1 0

lnx 1− x2

dx.

2. Calculer de deux façons différentes l’intégrale ∫

R2+

dx dy

(1 + y)(1 + x2y) et en déduire la valeur de I.

3. Déduire de la question précédente et d’un développement en série entière de 1/(1− x2) les égalités

∑ n≥0

1 (2n+ 1)2

= π2

8 , puis

∑ n≥1

1 n2

= π2

6 .

Exercice 5. Soit (E,A, µ) un espace mesuré. Soit f et g deux fonctions mesurables positives sur (E,A).

1. Montrer que A = {(x, t) ∈ E × R+ ; f(x) ≥ t} ∈ A ⊗ B(R+).

2. Montrer que ∫

E f dµ =

∫ R+

µ({f ≥ t})λ(dt).

3. En déduire que, pour tout p ≥ 1, ∫

E gp dµ =

∫ R+

ptp−1µ({g ≥ t})λ(dt).

4. Que dire de ∫

E ϕ ◦ f dµ si ϕ est une fonction croissante de classe C1 sur R+ nulle en 0 ?

5. En considérant l’application de E×R+×R+ dans R+, F : (x, s, t) 7→ 1[s,+∞[(f(x))1[t,+∞[(g(x)), montrer que ∫

E fg dµ =

∫ R2+

µ({f ≥ s} ∩ {g ≥ t})λ(ds)λ(dt).

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Exercice 6. Soit f une fonction de R2 dans R. Soit I un intervalle de R. Dans chacun des cas suivants, déterminer si f est L.I. sur R2 et calculer, si elles existent les intégrales itérées

∫ I

∫ I f(x, y)λ(dx)λ(dy) et

∫ I

∫ I f(x, y)λ(dy)λ(dx).

f(x, y) = x2 − y2

(x2 + y2)2 avec I = [0, 1] et f(x, y) =

 −1 si x > 0 et 0 < y − x ≤ 1, 2 si x > 0 et 1 < y − x ≤ 2, −1 si x > 0 et 2 < y − x ≤ 3, 0 sinon.

avec I = R.

Exercice 7. Soit f et g les fonctions définies sur R+ par

f(t) = ∫ +∞ 0

sinx x

e−tx dx et g(t) = ∫ +∞ 0

( sinx x

)2 e−tx dx.

1. Montrer que f est continue sur R∗+ et g sur R+.

2. Calculer f(t) pour tout t > 0 en partant de l’égalité sinx x

= ∫ 1 0 cos(xy) dy.

3. Calculer g(t) pour tout t > 0 en partant de l’égalité ( sinx x

)2 = ∫ 1 0

sin(2xy) x

dy.

4. En déduire la valeur de g(0).

Exercice 8. ♣ Une formule d’intégration par parties généralisée

1. Soit µ et ν des mesures finies sur B(R). On désigne par F et G leurs fonctions de répartition respectives ; c’est-à-dire que

∀x ∈ R, F (x) = µ(]−∞, x]) et G(x) = ν(]−∞, x]). Pour des réels fixés a et b, avec a < b, on définit A =

{ (x, y) ∈ R2 ; a < y ≤ x ≤ b

} . En calculant de deux

façons différentes µ⊗ ν(A), montrer que∫ ]a,b]

F (t−) ν(dt) + ∫ ]a,b]

G(t)µ(dt) = F (b)G(b)− F (a)G(a).

2. Soit f et g sont des fonctions positives, λ-intégrables sur R et

∀x ∈ R, F (x) = ∫ x −∞

f dλ, et G(x) = ∫ x −∞

g dλ.

Montrer que F et G sont les fonctions de répartition de deux mesures finies sur B(R). En déduire que

∀a, b ∈ R, a < b, ∫ [a,b]

F (x)g(x)λ(dx) + ∫ [a,b]

f(x)G(x)λ(dx) = F (b)G(b)− F (a)G(a).

Exercice 9. Un tout petit peu de convolution Soit f et g deux fonctions de L1R(λ). On définit la fonction convolée de f et g notée f ∗ g sur R par

∀x ∈ R, (f ∗ g)(x) = ∫

R f(x− t)g(t) dt.

1. Montrer que f ∗ g est bien définie et que f ∗ g = g ∗ f . 2. Montrer que si f et g sont positives et d’intégrale 1 (pour λ), il en est de même pour f ∗ g. 3. Montrer que f̂ ∗ g = f̂ ĝ.

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