Exercices de algèbre commutative et géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercices de algèbre commutative et géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématiques sur les algèbre commutative et géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: k designe un corps suppose algebriquement clos, exercices de 1 à 19.
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ACGA 2012-2013

Algèbre commutative et géométrie algébrique

TD Chapitre 2

Dans tous les exercices, k désigne un corps supposé algébriquement clos.

Exercice 1. Soit f, g deux polynômes dans k[X] de degrés respectifs n et m. Si n ≥ m et si r est le reste de la division de f par g. Montrer que

Res(f, g) = (−1)nmbn−dm Res(g, r),

où d = deg r et bm est le coefficient dominant de g. Expliquer comment calculer le résultant en utilisant l’algorithme d’Euclide. Calculer le résultant de

f = 2X5 + 3X4 + 3X2 + 2X − 5, g = X3 + 2X2 − 1.

Exercice 2. Calculer le résultant resY (f, g) des polynômes

f = X2 −XY + Y 2 − 1, g = 2X2 + Y 2 − Y − 2

par rapport à la variable Y . Déterminer l’ensemble algébrique V(〈f, g〉).

Exercice 3. Soient f et g deux polynômes de k[X]. Fabriquer un polynôme dont les racines sont les sommes d’une racine de f et d’une racine de g. Frabriquer un polynôme à coefficients dans Z qui a

√ 2 + 3 √

7 pour racine.

Exercice 4. Soient f et g deux polynômes de degrés n et m respectivement, à coefficients dans k de la forme

f = an(X − α1) · · · (X − αn), g = bm(X − β1) · · · (X − βm).

On pose

Ψ(f, g) := amn b n m

∏ 1≤i≤n

∏ 1≤j≤m

(αi − βj).

Montrer: (i) Ψ(g, f) = (−1)mnΨ(f, g); (ii) si le reste de la division euclidienne de f par g est le polynôme r de degré d, Ψ(f, g) = (−1)nmbn−dm Ψ(g, r); (iii) Si b est une constante, Ψ(f, b) = bn.

En déduire Res(f, g) = Ψ(f, g).

Exercice 5. Soit V la courbe de R2 donnée par la paramétrisation {(t3 + t, t2), t ∈ R}. Trouver son équation algébrique, c’est-à-dire, trouver un polynôme f ∈ R[X,Y ] tel que V(f) = V . Même question pour la courbe {( t2

1+t2 , t

3

1+t2 ), t ∈ R}.

Exercice 6. Soit f, g ∈ C[X,Y ]. Montrer que V(〈f, g〉) est de cardinal fini si et seulement si f et g sont premiers entre eux.

Exercice 7. Considérons le polynôme f = 2X2Y 2 −X2 + Y 2 et l’idéal I de k[X,Y ] engendré par les polynômes f1 = X

2Y + Y et f2 = Y 2 − 1. On prend l’ordre lex sur N2 avec X > Y .

a) Effectuer la division de f par l’ensemble ordoné {f1, f2}.

b) Effectuer la division de f par {f2, f1}.

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c) Montrer que f ∈ I.

d) Montrer que le polynôme g = X2 + 1 appartient à I et que I est engendré par f2 et g.

e) Effectuer la division de f par {f2, g}.

f) Effectuer la division de f par {g, f2}.

Exercice 8. Calculer le reste de f par F = {fi} pour chacun des cas suivants en utilisant respectivement les ordres lex, grlex et grevlex. Le corps de base est Q.

a) f = X7Y 2 +X3Y 2 − Y + 1, f1 = XY −X2, f2 = X − Y 3

b) f = XY 3Z +XY 2Z2 +X2Z3, f1 = X − Y 2, f2 = Y − Z2, f3 = Z2 − 1.

Exercice 9. (Intersection des idéaux monomiaux)

a) Soientm1 etm2 deux monômes de k[X1, · · · , Xn]. Montrer que 〈m1〉∩〈m2〉 = 〈ppcm(m1,m2)〉.

b) Soient I1, I2, I3 des idéaux monomiaux de k[X1, · · · , Xn]. Montrer que (I1 + I2) ∩ I3 = (I1 ∩ I3) + (I2 ∩ I3).

c) Calculer 〈X3, XY Z2, Y 2Z〉 ∩ 〈Z2, XY 2〉 dans k[X,Y, Z].

Exercice 10. (Quotient des idéaux monomiaux)

a) Soient m1 et m2 deux monômes de k[X1, · · · , Xn]. Montrer que

〈m1〉 : 〈m2〉 = 〈 m1

pgcd(m1,m2)

〉 .

b) Soient m,m1, ...,ms des monômes. Montrer que

〈m1, ...,ms〉 : 〈m〉 = 〈m1〉 : 〈m〉+ · · ·+ 〈ms〉 : 〈m〉.

c) Calculer 〈X3, XY Z2, Y 2Z〉 : 〈Z2, XY 2〉 dans k[X,Y, Z]. (Rappelons qu’on a toujours (I :

∑ i Ji) = ∩i(I : Ji) pour des idéaux I, Ji d’un anneau A.)

Exercice 11. Déterminer si les familles suivantes forment une base de Gröbner de l’idéal qu’elle engendre (dans Q[X,Y, Z]):

a) G = {X2 − Y,Z −X3} pour l’ordre lex avec X > Y > Z;

b) G = {X2 − Y,Z −X3} pour l’ordre grlex;

c) G = {X2 − Y,Z −X3} pour l’ordre grevlex.

Si la réponse est négative, trouver une base de Gröbner pour l’ordre en question.

Exercice 12. Soit I l’idéal de k[X,Y, Z] engendré par f1 = X 2 − Y Z et f2 = XY − Z2. On

prend l’ordre lex avec X > Y > Z.

a) Trouver une base réduite de Gröbner de I.

b) Le polynôme h = X4 +XY 3 − 2XZ3 appartient-il à I?

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c) Déterminer l’ensemble algébrique V(I) ainsi que V(I1) où I1 = I ∩ k[Y,Z].

Exercice 13. Considérons l’idéal I de C[X,Y, Z] engendré par les polynômes

f1 = X − Z, f2 = Y − Z2, f3 = Z4 + 2Z2 − 1.

a) Montrer que l’ensemble {f1, f2, f3} est une base de Gröbner de I.

b) Montrer que cette base est réduite.

c) Les polynômes g1 = X 2 + Y 2 + Z2 − 1 et g2 = X2 − Y + Z2 appartiennent-ils à I?

d) Déterminer l’ensemble algébrique V(I).

Exercice 14. Soit I l’idéal de k[X,Y ] engendré par

f = XY − 1, g = XY 2 +X2 − 4.

Calculer ResY (f, g) le résultant par rapport à Y ; engendre-t-il l’idéal I ∩ k[X]? Même question pour f = XY − 1 et g = X2 + Y 2 − 4.

Exercice 15. Supposons que I = 〈X2 − Y Z,XY −Z2〉 dans k[X,Y, Z]. Déterminer I ∩ k[Y, Z] et I ∩ k[X,Y ].

Exercice 16. (Intersection des idéaux de k[X1, · · · , Xn]) Soient I = 〈f1, ..., fr〉 et J = 〈g1, ..., gs〉 deux idéaux de k[X1, · · · , Xn].

a) Si X0 est une nouvelle variable, montrer que

I ∩ J = 〈X0f1, ..., X0fr, (1−X0)g1, ..., (1−X0)gs〉 ∩ k[X1, · · · , Xn],

où l’intersection de droite est prise dans k[X0, X1, · · · , Xn].

b) Soit I = 〈X21 +X1, X2 + 1〉 et J = 〈X1X22 〉 des idéaux de k[X1, X2]. Déterminer I ∩ J .

Exercice 17. (Quotient) Soit I un idéal de k[X1, · · · , Xn] et g ∈ k[X1, · · · , Xn].

a) Supposons que {h1, · · · , hr} engendrent l’idéal I ∩ 〈g〉. Montrer que {h1/g, · · · , hr/g} en- gendrent l’idéal I : 〈g〉.

b) Calculer 〈XZ − Y 2, X3 − Y Z〉 : 〈X,Y 〉 dans k[X,Y, Z].

Exercice 18. Soit V = {(t4, t3, t2), t ∈ k} ⊂ A3k. Déterminer l’idéal I(V ) de k[X,Y, Z]. Même question pour W = {(t5, t4, t3), t ∈ k}.

Exercice 19. (Radical) Soit I = 〈f1, . . . , fr〉 ⊂ k[X1, · · · , Xn] un idéal et f ∈ k[X1, · · · , Xn]. Montrer que f ∈

√ I si et seulement si

1 ∈ Ĩ := 〈f1, . . . , fr, 1−Xn+1f〉 ⊂ k[X1, · · · , Xn, Xn+1],

ou de même, Ĩ = k[X1, · · · , Xn, Xn+1]. Déterminer si f ∈

√ I pour f = Y −X2 + 1 et I = 〈XY 2 + 2Y 2, X4 − 2X2 + 1〉.

Exercice 20. Considérons l’idéal I = 〈X6 −X3Y + 1, X2 −XZ + 1〉 de C[X,Y, Z].

a) Déterminer I1 := I ∩ k[Y, Z] et I2 := I ∩ k[Z].

b) Déterminer les solutions (y, z) ∈ V(I1) qui s’étendent en une solution (x, y, z) ∈ V(I). Même question pour z ∈ V(I2).

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