Exercices de géométrie 2, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 2. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre réel, les valeurs de l’entier naturel n, l’ensemble des cercles du plan.
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[ Baccalauréat C Rennes juin 1971 \

EXERCICE 1

Soit f la fonction qui associe, à tout nombre réel x, le nombre réel

f (x)= ∣

∣e2x −ex

∣−2.

1. Étudier les variations de f .

La fonction f est-elle continue, dérivable pour la valeur 0 de la variable x ?

Construire la représentation graphique (Γ) de f dans un plan rapporté à un re- père orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy (on prendra 2 centimètres comme unité de longueur).

2. (Γ) coupe l’axe y ′Oy en A. Soit λ un nombre réel négatif et () la droite d’équation x =λ.

Exprimer, en centimètres carrés et en fonction de λ, l’aire de l’ensemble des points dont l’abscisse est comprise entre λ et 0 et qui sont situés entre (Γ) et la parallèle à x′Ox menée par A.

EXERCICE 2

Donner, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste de la division euclidienne de 4n par 7. Un entier A s’écrit 13321 dans le système de numération de base quatre. Quel est le reste de la division de A par 7 ?

PROBLÈME

L’univers du problème est un plan euclidien (Π) rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox, y ′Oy . a étant un nombre réel strictement positif, soit (C ) le cercle de centre O et de rayon a. Soit G l’ensemble des cercles du plan (Π) orthogonaux à (C ) et de rayon non nul. (Γ) étant un élément de G , on appelle ω son centre et (D) la polaire de O par rapport à (Γ) ; si P désigne un point de (C ), la polaire de P par rapport à (Γ) est notée (∆).

Partie A

Dans cette première partie, que l’on demande de traiter géométriquement, sans faire appel aux coordonnées, le point P est un point fixe de (C ) et le cercle (Γ) un élément variable.

1. Quelle est l’imageΩ deG par l’application deG dans (Π) qui à (Γ), élément de G , fait correspondre son centreω ? Cette application est-elle injective ?

2. Montrer qu’il existe un point fixe P′ de (Π) tel que, quel que soit le cercle (Γ), élément de G , (∆) passe par P′.

3. Si R est la relation définie sur G par (Γ) R (Γ′) si, et seulement si, la polaire de P par rapport à (Γ′) est la droite (∆), polaire de P par rapport à (Γ), montrer que R est une relation d’équivalence.

Caractériser, géométriquement, les classes d’équivalence définies dans G par R. [En d’autres termes, il est demandé, dans cette fin de question, de caracté- riser géométriquement un ensemble de cercles de (Π) orthogonaux à (C ) et de rayon non nul tels que P ait même polaire par rapport à tous ces cercles.]

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

4. Soit (L) une droite de (Π) passant par P et recoupant (C ) en un point B dis- tinct de P. Ω étant la partie de (Π) définie au 1., à tout ω ∈ (L)∩Ω correspond un cercle (Γ) de centre ω ; soit M l’intersection de (D) avec (∆) et H l’intersec- tion de (D) avec la droite (Oω). [On rappelle que (D) et (∆) sont les polaires respectives de O et de P par rapport à (Γ).]

a. Quelle est la polaire de M par rapport à (Γ) ?

Quel est l’axe radical de (Γ) et du cercle circonscrit au triangleωBM?

Montrer que le cercle circonscrit au triangle ωBM est un cercle (Γ′) élé- ment de G .

À tout ω ∈ (L) ∩ Ω correspond ainsi un point ω′ de (Π), centre du cercle (Γ′) circonscrit à ωBM; quel est l’ensemble des points ω′ correspondant aux points ω de (L) ∩ Ω ?

b. À l’aide d’une inversion de centre O, déterminer l’ensemble des points H lorsque ω décrit (L) ∩ Ω.

c. Montrer que, quel que soit ω ∈ (L) ∩ Ω, il existe un point fixe, K, de (Π) tel que (D) passe par K.

Comment peut-on définir et construire simplement K à partir de (C ) et de (L) ?

Partie B

Dans cette seconde partie, le point P est variable sur (C ), mais le cercle (Γ) est le cercle fixe de G dont le centre ω a pour coordonnées (2a ; 0).

1. Soit E et E′ les points d’intersection de (C ) avec (Γ), E désignant celui qui a une ordonnée positive. Montrer que les droites (OE) et (OE′) ont pour équations respectives

y = p 3x et y =−

p 3x.

2. Soit F et F′ les points d’intersection de la polaire (∆) de P par rapport à (Γ) et des droites (OE) et (OE′) respectivement.

Montrer, géométriquement, que la droite (ωF) est perpendiculaire à (PE) et (ωF′) à (PE′).

Calculer la mesure de l’angle (ωF, ωF′) et établir les égalités

(wO, wF′)= (FO, Fw) et OF · OF′ = 4a2.

3. Si θ désigne l’angle du vecteur unitaire de Ox et de −−→ OP (06 θ < 2π) et si

r = OP, les coordonnées de P s’écrivent x = r cosθ et y = sinθ.

Calculer en fonction de θ les coordonnées de F et de F′, puis celles du milieu, I, du segment FF′.

Montrer que, lorsque P décrit (Γ), l’ensemble des points I correspondant, est une hyperbole, dont on précisera les éléments.

Rennes 2 juin 1971

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