Exercices de géométrie 5, Exercices de Géométrie analytique et calcul

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Exercices de géométrie 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction f de la variable réelle x, les entiers relatifs, les vecteurs vitesse et accélération.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Rouen septembre 1971 \

EXERCICE 1

Soit la fonction f de la variable réelle x définie par

f (x)= x+Log

x−3

x+ 32

où le symbole Log est celui des logarithmes népériens.

1. Étudier les variations de f .

2. Construire, dans un plan rapporté à un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes

x′Ox, y ′Oy , la courbe (C ), représentative de f . On montrera l’existence d’une asymptote oblique (D) et l’on précisera la position de (C ) par rapport à (D).

(La recherche des symétries n’est pas demandée.)

EXERCICE 2

Déterminer l’ensemble (E) des entiers relatifs n pour lesquels le reste de la division euclidienne par 5 de 2n2−3n+4 est égal à 3. En déduire quel peut être le chiffre des unités de l’écriture en base cinq, puis en base dix, des entiers naturels de (E).

PROBLÈME

Un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, d’axes xx et y y , étant adopté sur le plan, on

désigne par F l’ensemble des courbes (Cm ) ayant pour équation

x2+ y2− m+3 p 3

x+ (m+1)y +m = 0,

m étant un paramètre réel.

1. Démontrer que, quel que soitm, (Cm) contient deux points fixes, dont l’un, A, a son abscisse nulle et l’autre, B, son ordonnée nulle. Préciser A et B. Quelle est la nature de F ?

2. On désigne par (∆) la droite perpendiculaire en A à AB, par M le second point commun de (∆) avec (Cm ) et parM ′ le second point commun de l’axe y y avec (Cm).

Chercher en fonction dem les coordonnées deM et deM ′.

Démontrer que, quel que soit m, la longueur de MM ′ est égale au rayon de (Cm).

3. On désigne par Z , Z ′ et Z0 les affixes complexes deM , M ′ et B.

Démontrer que Z ′−Z0 Z Z0

est un nombre complexe indépendant dem.

Préciser son module et son argument. En déduire que M ′ est l’image de M dans une similitude plane directe S, dont on précisera le centre, le rapport et l’angle.

4. Soit T le point de la droiteMM ′ d’ordonnée (−2m).

Montrer que l’ensemble (P ) des points T est une parabole, dont on précisera le foyer et la directrice et montrer que la droiteMM ′ est tangente à (P ) en T .

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

5. Une origine des instants étant adoptée, on suppose que le paramètrem est lié aux instants t par la relation

m = 1− t2

Déterminer les vecteurs vitesse et accélération deM ,M ′ et T .

Étudier le mouvement de chacun des points M et M ′ quand t décrit R.

Rouen 2 septembre 1971

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