Exercices de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

Exercices de géométrie 6, Exercices de Géométrie analytique et calcul

PDF (35 KB)
2 pages
186Numéro de visites
Description
Exercices de géométrie 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le plan rapporté à un repère orthonormé, l'équation cartésienne.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu2 pages / 2
Télécharger le document
StrasbourgCjuin1971*.dvi

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1971 \

EXERCICE 1

Soit le plan rapporté à un repère orthonormé, les axes de coordonnées étant dési- gnés par x′Ox et y ′Oy . On appelle (∆) la droite d’équation x = 6, H la projection orthogonale du point M sur la droite (∆).

1. Soit l’ellipse (E) de foyer O de directrice (∆), ensemble des points M du plan tels que

(1) 2OM=MH.

Former son équation cartésienne.

2. Un axe t ′Ot du plan, repéré par son angle polaire (−−→ Ox ,

−→ Ot

)

= θ (modulo 2π),

coupe la droite (∆) en P et la courbe (E) en deux points M et M′) dont les abs- cisses sur l’axe Ot sont OM et OM’.

On choisit OM> 0>OM′ et l’on sait que

−−→ OM +

−−→ MH =

−−→ OH ;

en utilisant une projection sur l’axe x′Ox et la relation (1), calculer OM en fonction de θ.

Sans nouveaux calculs, démontrer que

OM′ = −6

2−cosθ .

3. Démontrer que

1

OM +

1

OM′ =

2

OP ,

que peut-on en conclure ?

EXERCICE 2

On définit la suite de terme général vn de la façon suivante :

{

v0 = 1, vn+1 =

p 12+ vn ,pour tout entier natureln.

1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, vn est un nombre réel strictement positif et strictement inférieur à 4.

2. On pose 4− vn = wn . Démontrer que

wn+1 < 1

4 wn ;

en déduire la limite de wn , puis celle de vn lorsque n tend vers l’infini.

Le baccalauréat de 1971 A. P. M. E. P.

N. B. - On attachera une importance particulière à la clarté de la rédaction du rai- sonnement par récurrence.

PROBLÈME

Dans tout le problème, x désigne un nombre réel strictement positif et Log x le lo- garithme népérien de x (on rappelle que Log e = 1). À tout nombre réel k on associe l’application de l’ensemble des nombres réels stric- tement positifs dans l’ensemble des nombres réels, définie par

fk (x)= Log x

x

k

x .

On appelle (Ck ) la courbe représentative de fk dans un repère orthonormé, les axes de coordonnées étant désignés par x′Ox et y ′Oy .

1. a. Étudier les variations de f1 et tracer la courbe (C1), correspondant à k = 1.

b. Étudier les variations de fk ; déterminer la limite de fk (x) lorsque x tend vers zéro par valeurs positives et la limite de fk (x), lorsque x tend vers +∞.

L’application fk est-elle injective ; est-elle surjective ?

2. a. On appelle Tk le point de contact de (Ck ) et de la tangente à (Ck ) issue de O. Calculer, en fonction de k, l’abscisse tk de Tk ?

Quel est l’ensemble des points Tk lorsque k varie dans l’ensemble des nombres réels ?

b. Onappelle Pk le point de (Ck ) d’ordonnée nulle, Mk le point de (Ck ) où la tangente à (Ck ) est parallèle à x

′Ox et Ik le point de (Ck ) dont l’abscisse annule la dérivée seconde de fk . Calculer, en fonction de k, les abscisses respectives pk ,mk et ik de Pk ,Mk et Ik .

Montrer que pk ,mk , ik sont les quatre premiers termes d’une suite géo- métrique ; on notera un (k) le terme de rang (n+1) de cette suite.

c. Calculer la somme des n premiers termes de cette suite géométrique. Cette somme a-t-elle une limite lorsque n tend vers +∞ ?

3. Déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie par

g (x)= (Log x)2.

En déduire une primitive de fk et calculer l’aire An de la surface comprise entre l’axe x′Ox, la courbe (Ck ) et les droites d’équations respectives x = un (k) et x = un+1(k), où un (k) a la même signification qu’au 2. b.

Constater que An ne dépend pas de k et que la suite qui, à tout entier naturel n, fait correspondre An est arithmétique.

4. Montrer, en utilisant le théorème des accroissements finis pour une primitive de f1 sur l’intervalle [e ; x] et l’étude des variations de f1, que, pour tout x strictement supérieur à e, on a

(eLog x −e)2 < 2(x −e).

Strasbourg 2 juin 1971

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Télécharger le document