Exercices de géométrie algébrique, Exercices de Méthodes Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez29 janvier 2014

Exercices de géométrie algébrique, Exercices de Méthodes Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Exercices de mathématiques concernant la géométrie algébrique.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:corrections des exercices.
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M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Christian Peskine 2007-2008

TD - Feuille 5

Corrigé ex. 1 On notera parfois X = Ank et A = k[x1, . . . , xn]. (1) Comme Ank est affine, L est de la forme M̃ pour un certain A-module M . Clairement M 6= 0, donc il existe m 6= 0 dans M , qui donne une section non nulle σ de L. (2) Il existe un recouvrement de Ank par n ouverts Ui = D(fi) tels que L|Ui est engendré par une section ti, donc L∗|Ui est engendré par une section : la forme δi telle que δi(ti) = 1. Donc I|Ui est engendré par evσ(δi). La propriété de faisceau pour I pour ce recouvrement peut s’écrire :

I(X) → ∏ i

I(Ui) ⇒ ∏ i,j

I(Ui ∩ Uj)

et I(X) = I, I(Ui) = IA[1/fi]. Comme tous les IA[1/fi] sont inclus dans le corps de fractions de A, on obtient finalement :

I = IA[1/f1] ∩ · · · ∩ IA[1/fn] . On utilise maintenant le fait que A est factoriel et que donc une intersection d’idéaux principaux est un idéal principal. Plus précisément on choisit un générateur gi de IA[1/fi] qui soit dans A, non divisible par fi. On note g le ppcm des gi. Alors

I = IA[1/f1] ∩ · · · ∩ IA[1/fn] = (IA[1/f1] ∩A) ∩ · · · ∩ (IA[1/fn] ∩A) = g1A ∩ · · · ∩ gnA = gA .

(3) Par définition de l’image d’un morphisme de faisceaux, le morphisme evσ : L∗ → OX se factorise par POX (1). Donc il existe un morphisme t : L∗ → OX , tel que evσ = Pt. Par bidualité ((L∗)∗ ' L), ce morphisme définit une section τ de L telle que t = evτ . Il est clair que Pτ = σ. De plus, en tout point x ∈ X, l’image de (evσ) ⊗ OX,x est PxOX,x, donc l’image de (evτ ) ⊗ OX,x est OX,x, donc l’image de (evτ )⊗ k(x) est k(x). En particulier τ ⊗ k(x) 6= 0. (4) On définit un morphisme a : OX → L par 1 7→ τ . Comme τ ⊗ k(x) est surjectif pour tout x ∈ X, par Nakayama a ⊗ OX,x est surjectif donc un isomorphisme (morphisme surjectif entre deux modules libres de même rang), donc a est un isomorphisme.

Corrigé ex. 2 (1) Ui ' Ank donc il existe un isomorphisme ci : L|Ui ∼−→ OUi .

(2) L’anneau de fonctions de Ui ∩ Uj est k [ x0, . . . , xn,

1 xi , 1xj

] (0)

, anneau des éléments de degré 0 dans

k[x0, . . . , xn, 1xi , 1 xj

]. Ses unités sont donc les fractions rationnelles de degré 0 dont le numérateur et le dénominateur ont pour seuls facteurs xi et xj . D’où le résultat. (3) Posons Uij = Ui ∩Uj et Uijk = Ui ∩Uj ∩Uk. On reprend les trivialisations ci : L|Ui → OUi et on note les changements de cartes

ϕij = (cj|Uij ) ◦ (ci|Uij ) −1 : OUi|Uij

∼−→ OUj |Uij . On note qu’un tel isomorphisme est simplement donné par une section inversible de OUij , donc d’après la question (2) on a ϕij = αij(xi/xj)lij . La condition de cocycle est la compatibilité ϕik = ϕjkϕij sur les intersections triples Uijk, ce qui donne

αik(xi/xk)lik = αjk(xj/xk)ljkαij(xi/xj)lij = αjkαij(xj/xk)ljk(xi/xj)lij . 1Attention : je rappelle que pour un morphisme de faisceaux f : F → G, le préfaisceau H défini par H(U) = im(f(U)) n’est

pas un faisceau en général. Le faisceau image de f est le faisceau associé : im(f) := H+. On a une factorisation de f par H+ mais il n’est pas vrai en général que F(U) → H+(U) est surjectif. En revanche l’inclusion H ⊗OX,x ' H+ ⊗ OX,x pour tout x ∈ X, donc F ⊗OX,x → H+ ⊗OX,x est surjectif pour tout x ∈ X.

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L’égalité des degrés en xi impose lik = lij donc lij est indépendant de j. L’égalité des degrés en xk impose lik = ljk donc lij est indépendant de i. Finalement lij = l indépendant de i et j. Enfin, comme H1(Pnk , k∗) = 0 (ceci provient du fait que la cohomologie de Zariski des faisceaux constants est nulle), il existe des constantes βi ∈ k∗ telles que αij = βi/βj . Alors on voit que si on pose c′i = ci/βi on a des changements de cartes ϕ′ij = α

−1 ij ϕij = (xi/xj)

lij . (4) Le faisceau inversible O(l) est celui qui est déterminé par les fonctions de transition (xi/xj)l sur Ui ∩Uj . L’application Z → Pic(Pnk) donnée par l 7→ O(l) envoie 0 sur O(0) = OPnk , et c’est un morphisme de groupes car il est facile de voir que quand on prend le produit tensoriel de faisceaux inversibles, les fonctions de transition se multiplient. On a montré dans les questions précédentes que ce morphisme est surjectif. Calculons son noyau. Si l > 0 le faisceau O(l) possède une section non constante définie par s|Ui = (x0/xi)l, donc O(l) n’est pas trivial (car les seules sections globales de OPnk sont les constantes). Si l < 0 le faisceau O(−l) possède une section non constante, donc O(−l) n’est pas trivial. Donc O(l) trivial implique l = 0. En conséquence le morphisme Z → Pic(Pnk) est injectif, donc un isomorphisme.

Corrigé ex. 3 Les morphismes canoniques α, γ proviennent du fait que f 6∈ p, et les morphismes β, δ sont les morphismes de réduction modulo l’idéal maximal pAp. (Notez que de manière générale, pour M un A-module et I ⊂ A un idéal, on a M ⊗A A/I 'M/IM .) Fixons une fois pour toutes une base e1, . . . , en du A[ 1f ]-module libre A[

1 f ]

n. Les images des ei dans (Ap)n et k(p)n donnent des bases dans ces modules libres ; on les notera encore ei quand il n’y aura pas de confusion possible. (1) Le morphisme Mp → M ⊗ k(p) ' Mp/pMp est surjectif. On peut donc choisir un relevé xi ∈ Mp de chaque ϕ(ei) (il faudrait écrire (ϕβα)(ei)...). Ceci définit un morphisme ψ : (Ap)n → Mp par ψ(ei) = xi. Soit K = coker(ψ). Comme le produit tensoriel est exact à droite (i.e. il préserve les coker), on a K⊗k(p) ' coker(ψ ⊗ k(p)) = coker(ϕ) = 0. Par Nakayama, K = 0 donc ψ est surjectif. (2) On a xi = misi avec mi ∈ M et si ∈ A, si 6∈ p. Posons f = s1 . . . sn, il est clair que xi provient d’un élément yi ∈ M [ 1f ] (qui s’écrit encore yi =

mi si , avec les abus de notations évidents). Donc on peut

définir χ : A[ 1f ] n → M [ 1f ] par χ(ei) = yi. Il reste à faire en sorte que χ soit surjectif. Soient µ1, . . . , µr des

générateurs de M , alors leurs images dans M [ 1f ] engendrent ce dernier. On note encore µk (au lieu de µk/1) les images dans M [ 1f ] (et dans Mp). Il suffira que µi soit dans l’image de χ pour que χ soit surjectif. Or, comme ψ est surjectif, on peut écrire dans Mp

µk = ψ

( n∑ i=1

ak,i tk,i

ei

)

pour des éléments ak,i ∈ A et tk,i 6∈ p. Il est clair que si on multiplie f par le produit des tk,i (1 ≤ k ≤ r, 1 ≤ i ≤ n) alors toutes les égalités écrites ont un sens dans les localisés par rapport à f , à la place des localisés par rapport à A \ p. En d’autres termes, µk = χ

(∑n i=1

ak,i tk,i

ei

) dans M [ 1f ].

Concluons : pour tout q dans l’ouvert U = D(f), en tensorisant par le corps résiduel k(q) on voit que χ ⊗ k(q) est surjectif, donc d(q) = dimk(q)(M ⊗A k(q)) ≤ n. Par conséquent {p ∈ Spec(A) ; d(p) ≤ n} est ouvert, donc {p ∈ Spec(A) ; d(p) ≥ n+ 1} est fermé, ce qu’on voulait.

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