Exercices de géométrie algorithmique – 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 1, Exercices de Géométrie Algorithmique. Université Bordeaux I

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Exercices de géométrie algorithmique – 1 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’ensemble des points M du plan, Construire l’ensemble E.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amérique du Nord 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ u ,

−→ v

)

(unité 3 cm).

1. Soit (H ) l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées (x ; y) véri- fient l’équation :

3x2− y2+2x+1= 0.

Montrer que (H ) est une hyperbole dont on déterminera le centre, les som- mets et les asymptotes.

2. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe Z tels que les points A, M et M ′ d’affixes respectives 1, Z et Z 4 soient alignés. (On pourra poser Z = x+ iy et exprimer le nombre complexe 1+Z +Z 2+Z 4 en fonction de x et y .)

Construire l’ensemble E .

EXERCICE 2 5 points

Soient A, B, C trois points du plan non alignés tels que le triangle ABC ne soit pas équilatéral. On désigne par A′, B′ et C′ les milieux respectifs des segments [BC], [CA] et [AB]. On pose a = BC, b = CA et c = AB.

1. On considère le vecteur −→ u = a2

−−→ BC 2+b2

−−→ CA 2+c2

−−→ AB 2.

Montrer que −→ u =

(

a2−b2 )−−→ AC 2+

(

c2−a2 )−−→ AB 2.

En déduire que −→ u n’est pas le vecteur nul.

2. Pour tout point M du plan, on pose :

f (M)= a2 −−→ BC ·

−−−→ MA′ +b2

−−→ CA ·

−−−→ MB′ +c2

−−→ AB ·

−−−→ MC′ .

a. Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, calculer f (O).

b. Soit G le centre de gravité du triangle ABC.

Montrer que −−→ BC ·

−−→ GA′ =

1

6

(

b2−c2 )

.

En déduire la valeur de f (G).

c. Déterminer l’ensemble D des points M du plan tels que f (M)= 0.

PROBLÈME 11 points

A- Soit f la fonction définie sur l’intervalle ]−1 ; 1[ par :

f (x)= 1

2 ln

(

1+ x

1− x

)

.

1. a. Étudier la parité de f et calculer ses limites aux bornes de l’ensemble de définition.

1. Espagne

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

b. Étudier les variations de la fonction f et tracer sa courbe représentative

(C ) dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

(unité : 5 cm).

2. Calculer,en cm2, l’aire du domaine plan compris entre la courbe (C ) l’axe des

abscisses et la droite d’équation x = 1

2 .

On pourra faire une intégration par parties.

3. Pour tout réel x ∈ [

0 ; π2 [

, on pose :

g (x)= f (sinx).

Montrer que la fonction g est une primitive sur l’intervalle [

0 ; π2 [

de la fonc-

tion h telle que h(x)= 1

cosx .

B- Dans la suite du problème, a désigne un nombre réel de l’intervalle [

0 ; π2 [

. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose :

In (a)= ∫a

0

sin2n t

cos t dt .

1. Montrer que 06 In (a)6 a sin2n a

cosa .

2. En déduire le limite de In (a) lorsque n tend vers +∞.

C- Pour tout entier n entier supérieur ou égal à 1, on définit sur [0 ; a] la fonction Fn par :

Fn(t)= sin t + sin3 t

3 + sin5 t

5 +·· ·+

sin2n−1 t

2n−1 .

1. Montrer que Fn est dérivable sur [0 ; a] et que pour tout réel t de l’intervalle [0 ; a] :

F n (t)= 1− sin2n t

cos t .

Calculer Fn(0).

2. En intégrant le relation précédente entre 0 et a, montrer que :

Fn (a)= g (a)− In(a).

En déduire la limite de Fn(a) quand n tend vers +∞.

3. On considère alors la suite u définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par

un = 1

2 +

1

3×23 +

1

5×25 +·· ·+

1

(2n−1)×22n−1 .

a. Montrer, en utilisant C b. et B 1., que pour tout entier n supérieur ou égal

à 1, un est une valeur approchée de ln p 3 à

π

3 p 3

(

1

4

)n

près par défaut.

b. En déduire, sous forme de fraction irréductible, une valeur approchée de ln

p 3 à 10−2 près par défaut.

Amérique du Nord 2 juin 1991

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