Exercices de géométrie algorithmique – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 April 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 11, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 11. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le cercle circonscrit au carré ABCD, le cercle circonscrit au carré DEFG.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 3 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. À tout point

M du plan affixe z, z 6= 0, on associe le point M ′ d’affixe

z ′ = 1

2

(

z + 1

z

)

1. On pose z = x + iy x et y sont des réels.

a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle x′ et la partie imaginaire y

de z ′.

b. Déterminer l’ensemble E des points M tels que M ′ appartienne à l’axe réel.

2. On suppose que M décrit le cercle de centre O et de rayon 2. On écrit alors z sous la forme

z = 2eit , t ∈ [0 ; 2π].

a. Exprimer x′ et y ′ en fonction de t .

b. En déduire que M ′ décrit une conique C dont on déterminera le centre et les sommets.

EXERCICE 2 5 points

Dans le plan orienté on considère un carré ABCD de centre O tel que (

−−→ DA ,

−−→ DC

)

= π

2 .

Soit E le milieu du segment [CD]. On considère alors le carré DEFG de centre O′ tel

que (

−−→ DE ,

−−→ DG

)

= π

2 .

1. Faire une figure soignée avec AB = 6 cm.

2. Soit s la similitude directe de centre D qui transforme A en B.

a. Déterminer les éléments caractéristiques de s.

Préciser l’image de E par s.

En déduire l’angle (

−→ AE ,

−→ BF

)

.

b. On note Γ le cercle circonscrit au carré ABCD et I le point d’intersection des droites (AE) et (BF).

Placer Γ et I sur la figure.

Montrer que I appartient à Γ.

c. Montrer que les droites (ID) et (BF) sont orthogonales.

3. Soit Γ′ le cercle circonscrit au carré DEFG.

Placer Γ′ sur la figure.

Montrer que I appartient à Γ′.

4. Établir que les points C, G et I sont alignés.

1. Besançon, Dijon, Grenoble, Lyon, Nancy-Metz, Reims, Strasbourg

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

PROBLÈME 11 points

A

1. Déterminer les solutions h sur R de l’équation différentielle (E) :

y ′′+4y ′+4y = 0.

2. On considère l’équation différentielle (F)

y ′′+4y ′+4y =−4x.

a. Déterminer les nombres réels a et b tels que la fonction ϕ : x 7−→ ax +b soit solution de (F).

b. Montrer qu’une fonction f est solution de (F) si, et seulement si, f ϕ est solution de (E).

c. En déduire toutes les solutions de (F).

d. Donner la solution f de (F) qui vérifie

f (0)= 2 et f ′(0)=−2.

B

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

f (x)= xe−2x +e−2x +1− x.

On appelle C la courbe représentative de f .

On se propose d’étudier cette fonction ainsi que l’équation f (x)= 0.

1. a. Calculer la fonction f ′ dérivée de f .

Dresser le tableau de variations de f ′ sur [0 ; +∞[.

Indiquer la limite de f ′ en +∞.

En déduire le signe de f ′ sur [0 ; +∞[.

b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[. Indiquer la limite de f en +∞.

c. Montrer que C admet une asymptote d que l’on déterminera.

Construire d et C , sur un même graphique.

2. a. Établir que l’équation f (x) = 0 admet sur [0 ; +∞[ une solution et une seule. On note α cette solution.

b. Justifier l’encadrement : 16α6 2.

C

On se propose d’étudier une méthode d’approximation de α. On observe pour cela que α est l’unique solution de l’équation g (x) = x g est la fonction définie sur l’intervalle J = [1 ; +∞[ par :

g (x)= xe−2x +e−2x +1.

1. Étudier les variations de g sur J. On ne demande pas de construire sa courbe représentative.

En déduire que pour tout élément x de J, g (x) appartient encore à J.

Métropole groupe 3 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. Montrer que pour tout x de J, on a :

g ′(x) ∣

∣6 3

e2 .

En déduire que pour tout x de J, on a :

|g (x)−α|6 3

e2 |x α|.

3. Soit (un ) la suite d’éléments de J définie par

u0 = 1 et un+1 = g (un ) ,

pour tout entier n, positif ou nul.

a. Montrer que pour tout entier n positif ou nul on a :

|un+1−α|6 3

e2 |un α| .

b. En déduire que pour tout entier n, positif ou nul, on a :

|un α|6

(

3

e2

)n

.

c. Déterminer la limite de la suite (un ).

d. Déterminer un indice p pour lequel on est sûr d’avoir ∣

up α

∣6 10−3.

Calculer up à l’aide de votre calculatrice (on donnera la partie entière et les trois premières décimales).

Métropole groupe 3 3 juin 1991

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