Exercices de géométrie algorithmique – 12, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 12, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le point de coordonnées, Tracer l’hyperbole (H).
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole groupe 4 1 juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points Enseignement obligatoire

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct (

O, −→ u ,

−→ v

)

. On

note A le point d’affixe 2. Soit ϕ l’application de P vers P qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ = ϕ(M) d’affixe z ′ défini par :

z ′ = 3+ i

p 3

4 z+

1− i p 3

2 .

1. Déterminer :

a. l’affixe de l’image ϕ(A) du point A,

b. l’affixe du point P tel que ϕ(P)= 0. 2. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de ϕ (on pourra utiliser

les résultats de la question 1.)

3. Lorsque le point M est distinct du point A :

a. démontrer que le triangle AMM ′, où M ′ =ϕ(M), est rectangle en M ′. b. Le point M et le milieu du segment [AM] étant donné, en déduire une

construction au compas du point M ′.

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. Soit (C ) la courbe dont

une représentation paramétrique est :

{

x = 2et +e−t y = 2et −e−t où le réel t décrit R.

1. Soit M(a ; b) un point de (C ).

a. Donner, en fonction de a et b les coordonnées du vecteur directeur −→ u de

la tangente enM à (C ).

b. Soit N le point de coordonnées (b ; a) et T le point défini par :

−−→ OT =−−−→OM +−−→ON .

Montrer que la droite (MT ) est la tangente en M à (C ).

2. a. Montrer que la courbe (C ) est contenue dans l’hyperbole (H) d’équa- tion : x2− y2 = 8.

b. Tracer l’hyperbole (H) et préciser ses éléments caractéristiques suivants : centre, sommets, foyers, asymptotes.

PROBLÈME 12 points

I- La fonction f est définie sur R∗+ par :

f (x)= x−2+ 1

2 lnx.

1. Aix-Marseille, Montpellier, Nice–Corse, Toulouse

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

1. a. Calculer les limites de f aux limites de l’ensemble de définition.

b. Étudier le sens de variations de f (on ne demande pas de représentation graphique).

2. a. Montrer que l’équation f (x)= 0 admet dans R∗+ une solution unique et que ∈]1 ; 2[.

b. Étudier le signe de f (x) lorsque x décrit R∗+.

II.- On se propose, dans cette partie, de calculer une valeur approcheée de à 10−2

près.

1. Soit ϕ la fonction numérique définie sur l’intervalle [1 ; 2] par :

ϕ(x)= 2− 1

2 lnx.

a. Étudier les variations deϕ. Prouver que l’image parϕ de l’intervalle [1 ; 2] est un intervalle contenu dans [1 ; 2].

b. Montrer que est l’unique solution de l’équation ϕ(x)= x.

2. On considère alors la suiteU définie surN par :

{

U0 = 1 Un+1 = ϕ (Un) pour tout entier n

a. Démontrer que, pour tout entier n on a : 16Un 6 2.

b. Montrer que, pour tout réel x de [1 ; 2], on a : |ϕ′(x)|6 1

2 .

c. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout entier n,Un+1−6 |Un |.

d. Montrer que la suiteU converge vers .

e. Déterminer un entier n0 tel que Un0 soit une valeur approchée à 10 −2

près de . Donner un encadrement deUn d’amplitude 10−2.

III- La fonction g est définie sur [0 ; 1] par :

{

g (0) = 0

g (x) = − 7

8 x2+ x

1

4 x2 lnx pour tout réel x tel que 0< x < 1.

1. Étudier la dérivabilité de g en 0.

2. Soit g ′ la dérivée de la fonction g . Calculer g ′(x) pour x 6= 0, puis vérifier que :

g ′(x)= x f (

1

x

)

pour tout réel x tel que 0< x 6 1.

3. En déduire le signe de g ′(x) lorsque x décrit ]0 ; 1].

Dresser le tableau de variations de la fonction g .

IV- Dans cette partie l’objectif est le tracé de la courbe représentative (C ) de la fonc-

tion g , dans un plan muni du repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

: unité graphique : 10 cm.

1. a. Montrer qu’une équation de la tangente (D) à la courbe (C ) représenta- tive de la fonction g en son point d’abscisse 0 est y = x.

b. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe (C ) et de la droite (D).

Métropole groupe 4 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

c. Étudier la position relative de (C ) et de (D).

d. Soit α la fonction définie sur [

0 ; e− 7 2

]

par :

α(x)= g (x)− x.

Étudier le sens de variations de la fonctionα et en déduire que pour tout

réel x de l’intervalle [

0 ; e− 7 2

]

on a :

06α(x)6 5 ·10−5 .

Sachant que l’épaisseur d’un trait de crayon est de l’ordre du dixième

de millimètre, est-il possible de distinguer, sur l’intervalle [

0 ; e− 7 2

]

la

courbe (C ) de la droite (D) ?

2. Soit (Γ) la courbe représentative de la fonction β définie sur [0 ; 1] par :

β(x)=− 7

8 x2+ x.

a. Montrer que la droite (D) est la tangente à la courbe (Γ) en son point d’abscisse 0.

b. Étudier la position relative de (C ) et de (Γ).

c. Tracer, sur un même graphique, la droite (D) et les courbes (Γ) et (C ).

Métropole groupe 4 3 juin 1991

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