Exercices de géométrie algorithmique – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 7, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de géométrie algorithmique – 7. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation différentielle, l’ensemble F des points M.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Japon juin 1991 \

EXERCICE 1 4 points

Soit l’équation différentielle :

y ′′+4y = 0. (E)

1. Déterminer les solutions f et g de l’équation (E), telles que :

f (0)= 5 et f ′(0)= 0 g (0)= 0 et g ′(0)= 8.

2. Dans le plan muni d’un repère orthonormal, on désigne par (C ) la courbe d’équations paramétriques :

{

x = f (t) y = g (t)

où le réel t décrit R.

Quelle est la nature de la courbe (C ) ?

La construire après avoir préciser ses éléments caractéristiques : sommets, foyers, excentricité.

EXERCICE 2 4 points

L’unité est le cm. On donne dans le plan, un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 8 et AC = 4.

1. Construire le barycentre G des points A, B, C respectivement affectés des co- efficients 3, −1 et 2.

2. Déterminer et construire l’ensemble E des points M du plan vérifiant :

3MA2−MB2+2MC2 =−32.

3. Déterminer et construire l’ensemble F des points M du plan vérifiant :

∥3 −−→ MA −

−−→ MB +2

−−→ MC

∥=

−−→ MB +

−−→ MC

PROBLÈME 12 points

I- Étude d’une fonction numérique. Tracé de courbes

Soit f la fonction numérique définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 1+ ln(1+ x).

On appelle (C ) la courbe représentative de f , le plan étant rapporté à un repère

orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

, unité graphique : 3 cm.

1. a. Étudier le sens de variation de f .

b. Donner une équation de la tangente (D) à la courbe (C ) en son point d’abscisse 0.

c. Tracer la courbe (C ) et la tangente (D).

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. En étudiant la fonction numérique g définie sur [0 ; +∞[ par :

g (x)= xf (x)

montrer que l’équation f (x)= x a une solution unique α, et que α appartient à l’intervalle [1 ; 3].

II- Résolution approchée d’une équation. Calcul d’aire

1. On définit la suite numérique (un )n∈N par :

u0 = 1 et pour tout entier naturel n,un+1 = f (un ) ,

f est la fonction définie dans la partie I.

Démontrer les résultats suivants :

a. la suite (un )n∈N est bien définie et croissante ;

b. pour tout entier naturel n, un > 1 ;

c. pour tout x de l’intervalle [1 ; +∞[, on a 06 f ′(x)6 1

2 ;

d. pour tout entier naturel n, on a :

|un+1−α|6 1

2 |un α|

(α est le réel défini à la question I. 2.) ;

Pour tout entier n, on a :

|un α|6

(

1

2

)n

|u0−α|6 1

2n−1 .

e. la suite (un )n∈N converge vers α ;

f. u11 est une valeur approchée de α à 10−3 près.

2. Donner, à l’aide d’une calculatrice, une valeur approchée β de u11 à 10−3.

3. Calculer, l’aire en cm2 de l’ensemble des points M du plan dont les coordon- nées (x ; y) vérifient :

{

0 6 x 6 α 0 6 y 6 f (x).

(On utilisera vu une intégration par parties.)

On donnera pour cette aire la valeur exacte en faisant intervenir α, puis une valeur approchée obtenue en remplaçant α par le nombre β trouvé en II. 2.

III- Étude d’une famille de courbes et d’une suite de réels

Pour tout entier naturel p supérieur ou égal à 1, on considère la fonction fp définie sur [0 ; +∞[ par :

fp : x 7−→ fp (x)= 1+ ln(x+p).

On appelle (

Cp

)

la courbe représentative de fp .

1. Dresser le tableau de variations de fp .

Étudier les positions relatives de (

Cp

)

et (

Cp+1 )

.

2. Le graphique ci-dessous, à rendre avec la copie, représente les courbes (C2) ,

(C3) , (C10) , (C20) et (C50). Le compléter par le tracé de (C1) et celui de la droite (∆)d’équation cartésienne y = x.

Japon 2 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Étudier pour tout entier p supérieur ou égal à 1, le sens de variation de la fonc- tion gp définie sur [0 ; +∞[ par :

gp : x 7−→ gp (x)= xfp (x).

Déduire de cette étude l’existence d’une solution unique αp pour l’équation x = fp (x), et le signe de gp .

4. On désigne par P le point de (C1) d’abscisse α1, par Q le point de (C2) d’abs- cisse α1, par R le point de (C1) d’abscisse α2.

Placer ces points sur le graphique complété à la question III. 2.

Comparer les ordonnées de P et Q.

Quel est le signe de g2 (α1) ? En déduire, en utilisant III. 3, que α1 6α2.

Prouver de la mêmemanière la croissance de la suite (

αp )

p>1.

5. Établir l’inégalité αp > 1+ lnp.

Quelle est la limite de la suite (

αp )

p>1 ?

Japon 3 juin 1991

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Document réponse à compléter et à remettre avec la copie

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 x

y

(C2)

(C3)

(C10)

(C20)

(C50)

Japon 4 juin 1991

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