Exercices de géométrie algorithmique – 8, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S10 avril 2014

Exercices de géométrie algorithmique – 8, Exercices de Géométrie Algorithmique

PDF (37 KB)
2 pages
83Numéro de visites
Description
Exercices de géométrie algorithmique – 8. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démontrer que la pyramide est invariante par la réflexion de plan (ACE). Démontrer que le point G est invariant par f. Déterminer...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu2 pages / 2
Télécharger le document
MetropoleCseptembre1991.dvi

Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Métropole septembre 1991 \

EXERCICE 1 5 points

Dans l’espace, on considère une pyramide ABCDE telle que : • La base ABCD est un carré de centre O. • La droite (OE) est perpendiculaire au plan (ABCD). • OE = OA = a.

On se propose de déterminer toutes les réflexions et rotations laissant invariante cette pyramide.

1. Démontrer que la pyramide est invariante par la réflexion de plan (ACE).

Est-elle invariante par le demi-tour d’axe (OE) ?

2. a. Déterminer l’isobarycentre, G, des points A, B, C, D, E.

b. Démontrer que les distances GA et GE sont différentes.

3. Soit f une réflexion ou rotation laissant invariante la pyramide.

a. Démontrer que le point G est invariant par f

b. Démontrer que l’image de E par f ne peut pas être le point A.

c. Démontrer que le point E est nécessairement invariant par f .

4. a. Déterminer les réflexions laissant invariante la pyramide.

b. Déterminer les rotations laissant invariante la pyramide.

EXERCICE 2 5 points

Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(On choisira 2 cm comme unité graphique.) Soit C la conique d’équation :

3(x+1)2+4y2 = 12.

1. a. Quelle est la nature de cette conique ?

b. Construire C .

c. Déterminer les foyers, les directrices et l’excentricité de C .

2. À chaque point M de C de coordonnées (x ; y), on associe le nombre com- plexe z = x+ iy affixe de M .

a. Démontrer que |z| = 1

2 (3− x).

b. En déduire que |z| = 3

2+cosθ , θ étant un argument de z.

3. Soit M ′ et M ′′ les points de C ayant pour affixes respectives z ′ et z ′′ d’argu- ments respectifs θ et θ+π.

a. Calculer ‖ −−−−−→ M M ′′ ‖ en fonction de θ.

b. Déterminer θ pour que ‖ −−−−−→ M M ′′ ‖ soit maximum puis minimum.

PROBLÈME 10 points

Soit n un entier naturel et fn la fonction définie sur [0 ; 1] par :

fn (x)= x n+ 12 (1− x)

1 2 .

L’objet du problème est d’étudier :

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

• dans la partie A, la fonction fn et sa courbe représentative, notée Cn dans un repère orthonormal.

• dans la partie B l’intégrale In = ∫1

0 fn (x)dx.

Partie A

Dans cette partie, le plan est rapporté au repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

. (Unité gra-

phique : 10 cm.)

1. Montrer que C0 est un demi-cercle, de rayon 1

2 , dont on précisera le centre.

2. Soit n> 1.

a. Calculer f n (x) pour 0 < x < 1 et montrer que f n (x) et

(

n+ 1

2

)

− (n+1)x

ont même signe.

b. Étudier la dérivabilité de fn en 0 et 1.

c. Donner le tableau de variations de f . (On ne demande pas le calcul dumaximum de fn ).

3. a. Soit x ∈ [0 ; 1] et n> 0. Étudier le signe de fn+1(x)− fn(x).

b. En déduire les positions relatives des courbes Cn et Cn+1.

c. Tracer C1 et C2 dans le même repère.

Partie B

Pour tout entier naturel n, on pose :

In =

∫1

0 fn (x)dx.

1. Soit g la fonction définie sur [0 ; 1] par g (x)= (1− x) 1 2 et G la fonction définie

sur [0 ; 1] par :

G(x)=− 2

3 (1− x)

1 2 .

Vérifier queG est la primitive de g qui s’annule pour x = 1.

2. Soit n > 0.

a. En procédant à une intégration par parties utilisant G, démontrer que :

In = 2

3

(

n+ 1

2

)

(In−1− In ) .

En déduire la relation :

[1] In = 2n+1

2n+4 In−1.

Du résultat obtenu en A.1. déduire la valeur de I0.

b. Montrer que pour tout entier n > 0 :

In = 3×5×7× . . .× (2n+1)

6×8×10× . . .× (2n+4) × π

8 .

3. On se propose d’étudier le comportement de la suite (In )n>0.

a. Montrer que la suite (In )n>0 est décroissante. Que peut-on en déduire ?

b. Montrer, à l’aide d’une majoration de fn(x) sur [0 ; 1], que :

In 6 1

n+1 .

Antilles–Guyane 2 septembre 1991

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Télécharger le document