Exercices de mathématique 1, Exercices de Mathématiques. Ecole Supérieure d'Ingénieurs de Marseille

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Exercices de mathématique 1. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la progression géométrique, la transformation, le repère orthonormé.
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[ Baccalauréat C Reims juin 1969 \

EXERCICE 1

1. Montrer que, si a est un nombre réel strictement compris entre 0 et 1 et si n est un entier positif, on peut écrire

Lognan = nLoga

(

1+ Logn

n ×

1

Loga

)

.

En déduire que nan tend vers zéro quand n tend vers+∞ (a étant fixé et com- pris strictement entre 0 et 1).

2. On appelle Sn(x) la somme des n premiers termes de la progression géomé- trique qui a pour raison x et pour premier terme x (x réel différent de 1).

De l’expression de Sn(x) déduire une expression de

Pn(x)= 1+2x +3x 2 + . . .+nxn−1.

Déterminer la limite, quand n tend vers +∞, de Pn (x) pour x réel fixé entre 0 et 1.

EXERCICE 2

On appelle F la transformation qui, à tout nombre complexe z = x + iy , associe le nombre

ex (cos y + isin y)= F (z).

1. Calculer x et y en fonction dumodule, r , et de l’argument, oc, de F (z). Établir une relation suffisante entre z et z ′ pour que F (z) = F (z ′). Déterminer une partie, E, de C telle que F soit bijective de E sur C− {0}.

2. Soit T (z) la translation plane associée à z = x + iy (c’est-à-dire celle qui, dans un repère orthonormé, est définie par le vecteur de composantes x et y). Soit S(z) la similitude associée au nombre Z = F (z) (c’est-à-dire celle qui a pour centre O, pour rapport r et pour angle α).

a. Montrer que T (z+z ′) est la composée de T (z) et de T (z ′) et que S(z+z ′) est la composée de S(z) et S(z ′).

b. Peut-on dire que la correspondance qui à T (z) associe S(z) réalise un isomorphisme du groupe des translations planes sur le groupe des simi- litudes planes ? Justifier la réponse.

EXERCICE 3

Dans un plan rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy) on considère la famille, F , des coniques d’axe Ox qui passent par le point A de coordonnées (+2 ; +4) et sont tangentes à la droite (qui passe par A) d’équation

x −2y +6= 0.

1. Déterminer l’équation générale de ces coniques et montrer que la famille F contient un cercle, une parabole et une hyperbole équilatère.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On considère l’hyperbole (H) d’équation

y2− x2 = 12

et on la coupe par une droite variable (D) d’équation y = x + t (t étant un paramètre réel).

a. Montrer qu’à toute valeur de t correspond, en général, un point d’inter- section I (t) et un seul ; exprimer les coordonnées de ce point en fonction de t .

b. On associe à t le point M = I (t) et le point M ′ = I

(

4

t

)

. Calculer les co-

ordonnées de M ′ en fonction de t .

Déterminer l’ensemble (L) formépar lesmilieux des segments M M ′ quand t varie.

Montrer que la direction de la droite M M ′ est indépendante de t .

c. On appelle B le symétrique de A par rapport à l’origine et Q le point d’in- tersection des droites AM et BM ′. Déterminer l’équation de l’ensemble, (K), des points Q (on pourra montrer que les pentes de AM et BM ′ sont liées par une relation indépendante de t).

Montrer que l’équation de (K) peut se mettre sous la forme

P1(x, y) ·P2(x, y)= 0 (où P1 et P2 sont des polynômes). Retrouver la na- ture de (K) par un raisonnement géométrique.

3. La portion (C ) de (H) formée des points dont l’ordonnée est positive est la courbe représentative d’une fonction f .

a. Déterminer une constante A telle que la fonction F définie par

F (x)= x

2 f (x)+ ALog [x + f (x)]

soit une primitive de f .

b. Calculer l’aire du domaine plan compris entre (C ) et les trois droites d’équations respectives

x = 0, x = 2 et y = x.

Reims 2 juin 1969

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