Exercices de mathématique 3, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le domaine de définition, les variations de la fonction, l’ensemble des points du plan.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C République Centrafricaine \ septembre 1969

EXERCICE 1

Déterminer le domaine de définition et étudier les variations de la fonction f don- née par

f (x)= x +Log (

2−ex )

.

Représenter graphiquement cette fonction. Déterminer l’ensemble des points du plan dont les coordonnées (x ; y) sont solu- tions de l’inéquation

eyx +ex > 2.

EXERCICE 2

Trois ensembles E1, E2 et E3 sont composés respectivement de n1, n2 et n3 éléments (n1, n2 et n3 entiers positifs) ; on désigne par p1 le nombre d’éléments de l’ensemble E2∩E3 = I1 p2 le nombre d’éléments de l’ensemble E3∩E1 = I2 p3 le nombre d’éléments de l’ensemble E1∩E2 = I3, puis on pose

d (E2, E3)= n2+n3−2p1,d (E3, E1)= n3+n1−2p2,d (E1, E2)= n1+n2−2p3.

1. Montrer que d (E2, E3) est nul si, et seulement si, les ensembles E2 et E3 sont égaux.

2. Montrer que le nombre N défini par

N = d (E1, E2)+d (E3, E1)−d (E2, E3)

est positif ou nul.

EXERCICE 3

1. a. Déterminer l’ensemble de définition commun aux deux fonctions f1 et f2 données par

f1(x) = 1

2

(

−3x +1+ p 6x −3

)

,

f2(x) = 1

2

(

−3x +1− p 6x −3

)

.

Étudier les variations de chacune de ces fonctions ; les représenter dans un même plan rapporté, à un repère cartésien. (La réunion de ces deux graphiques est une parabole P ; les candidats n’ont pas à le démontrer.)

b. Montrer que f2 admet une fonction réciproque ; indiquer son intervalle de définition ; en est-il demêmepour f1 ? Donner l’expression de la fonc- tion réciproque de f2.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

2. On donne, dans un plan, quatre points O, A, B, C tels que O, A, B ne soient pas alignés et que

−−→ OC =

−−→ OA −2

−−→ OB ;

α et λ étant deux nombres réels, on définit successivement les points G1, G2 et G par les conditions suivantes :

α −−−→ G1C + (1−α)

−−−→ G1B =

−→ 0 ,

α −−−→ G2O + (1−α)

−−−→ G2C =

−→ 0 ,

λ −−−→ GG1 + (1−λ)

−−−→ GG2 =

−→ 0 .

Exprimer les vecteurs −−−→ OG1 et

−−−→ OG2 en fonction de

−−→ OA ,

−−→ OB et du nombre α ;

les points G1 et G2 peuvent-ils être confondus ?

Exprimer le vecteur −−→ OG en fonction de

−−→ OA ,

−−→ OB et des nombres α et λ.

On prend un repère cartésien d’origine O, les vecteurs de base étant −−→ OA ,

−−→ OB .

Quelles sont les coordonnées du point G ?

Quel est le lieu du point G quand, α restant fixe et égal à α1, λ varie ?

Quel est le lieu du point G quand, λ restant fixe et égal à λ1, α varie ?

3. Les notations des parties précédentes étant conservées, on se donne le point du plan qui a pour coordonnées x0 et y0 et l’on se propose de déterminer α et λ pour que le point G soit confondu avec ce point donné.

Ramener ce problème à la résolution d’une équation du second degré en α et montrer que le problème n’a de solution que si

(

3x0+2y0−1 )2 −6x0+3> 0.

4. En utilisant les résultats de la première question, déterminer l’ensemble des points du plan pour lesquels le problèmeprécédent a deux solutions ; montrer que sur toute droite G1G2 il y a un point G3, et un seul, pour lequel le problème précédent a une seule solution ; calculer les coordonnées de G3 en fonction de α et montrer que la droite G1G2 est tangente en G3 à son lieu.

République Centrafricaine 2 septembre 1969

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