Exercices de mathématique 5, Exercices de Mathématiques

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Exercices de mathématique 5. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l’équation, la transformation géométrique, les dispositions.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Strasbourg juin 1969 \

EXERCICE 1

PREMIÈRE COMPOSITION (1)

EXERCICE 1

Résoudre en nombres entiers (x, y) l’équation

x2− y2 = 1969.

EXERCICE 2

Dans un repère orthonormé on considère la courbe (L ) d’équation y = Log x et la courbe

(

L ′ )

d’équation y = Log3x.

1. Par quelle transformation géométrique peut-on déduire (

L ′ )

de (L ) ?

2. On donne deux nombres réels, h et x0 ; on suppose h positif (h > 0) et x0 ap- partenant à l’intervalle [+1 ; +∞[.

Les droites d’équations x = x0 et x = x0+h coupent (L ) [respectivement (

L ′ )

en A et B (respectivement A′ et B′).

Évaluer l’aire du domaine limité par le contour ABB′A′A.

La formule obtenue est-elle encore valable lorsque x0 est choisi dans l’inter- valle ]0 ; +1[ ?

EXERCICE 3

Le plan est rapporté au repère or honormé direct (

O, −→ ı ,

−→

)

, dont les axes sont notés

x′Ox et y ′Oy . Deux points, P et Q, appartiennent respectivement aux droites x′Ox et y ′Oy de façon que la distance PQ soit égale à l’unité de longueur ; on pose

(

−−→ Ox ,

−−→ PQ

)

= θ (mod 2π).

PREMIÈRE PARTIE - Dans cette partie, θ est donné. 1

1. Construire les deux points P et Q. En déduire les dispositions relatives des points P, Q (associés à θ) et P′, Q′ (associés à θ′) dans chacune des hypothèses suivantes :

θ+θ′ = 0 ; θ+θ′ =π ; θθ′ =π.

2. a. Donner, en fonction de θ, les coordonnées des points P et Q.

b. On appelle R le point du plan déterminé ainsi : le triangle PQR est rec- tangle en R et isocèle et

(

−−→ QP ,

−−→ QR

)

=+ π

4 (mod2π).

1. Le sujet remis aux candidats comportant des erreurs, la composition a été refaite. Le texte que nous publions ici est le texte rectifié, c’est-à-dire le texte sans les erreurs. (Note du Service des Annales.)

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Soit p,q,r les nombres complexes affixes des points P, Q, R dans le repère (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Exprimer r en fonction de p et q et en déduire les coordonnées de R en fonction de θ.

3. a. Soit M le barycentre du système formé des trois points P, Q, R affectés respectivement des coefficients réels α, β,2γ (α+β+2γ 6= 0).

Vérifier que le point M a pour coordonnées

x = 1

α+β+2γ [y sinθ− (α+γ)cosθ]

et y = 1

α+β+2γ [(β+γ)sinθγcosθ].

b. On choisit α=β= 1 et γ= 0 : préciser la position, M0, du barycentre.

c. Comment doit-on choisirα,β et γ pour queMappartienne à la droite PQ (hypothèse no 1) ; pour que M appartienne à la droite RM0 (hypothèse no 2) ?

DEUXIÈME PARTIE - Dans cette partie, θ décrit l’intervalle ]−π ; +π].

1. Déterminer l’ensemble des points M0.

2. Démontrer que, α,β et γ étant choisis conformément à l’hypothèse no 1, l’en- semble des points M est en général une ellipse, dont on précisera l’axe focal ; examiner les cas singuliers.

3. α,β et γ sont choisis conformément à l’hypothèse no 2 et l’on pose

k = γ

α+γ .

a. Préciser les ensembles, E1 et E−1 des points M obtenus respectivement pour k = 1 et k =−1.

b. On suppose k2−1 6= 0.

Etablir que, pour une valeur donnée de k, l’ensemble, Ek des points M a pour équation

(xky)2+ (kxy)2 =

(

k2−1 )2

4 .

Écrire l’équation de Ek dans le repère (

O, −→ ı ′,

−→

)

déduit de (

O, −→ ı ,

−→

)

,

par la rotation de centre O et d’angle + Π

4 ; reconnaître alors l’ensemble

Ek .

DEUXIÈME COMPOSITION 2

EXERCICE 1

On définit la fonction f de la variable réelle y de la façon suivante :

x = f (y)= y2+ y −1, avec 06 y 6 5.

Quelle propriété du programme peut-on invoquer pour justifier l’existence d’une fonction ϕ telle que

2. Sujet donné aux candidats

Strasbourg 2 juin 1969

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

x = f (y) ⇐⇒ y =ϕ(x), avec −16 x6 29?

Calculer effectivement y en fonction de x, en donnant l’expression algébrique de ϕ(x). Calculer la dérivée y ′ =ϕ′(x).

EXERCICE 2

Soit a et b deux nombres complexes, distincts ou non, donnés ; on considère l’équa- tion

(E) z2− (b+1)z+a = 0,

z est une inconnue complexe.

1. À quelle condition concernant a et b l’équation (E) a-t-elle deux racines dis- tinctes ?

2. Résoudre (E) dans le cas particulier où a = i−1 et b = 2i.

EXERCICE 3

On donne, dans un plan (P), un repère orthonormé x′Ox, y ′Oy . Soit m un point variable de (P) ; on appelle x et y respectivement l’abscisse et l’ordonnée dem. Soit M un point de (P), dont l’abscisse, X , et l’ordonnée, Y , sont définies en fonction des coordonnées dem par les relations

X = 1

y et Y =

1

x

On appelle T la transformation ponctuelle qui transformem enM .

Partie A

1. Trouver l’ensemble, (P1), des pointsm de (P) qui ont un transformé,M , par T .

2. Démontrer que T est une application bijective et involutive de (P1) sur lui- même.

3. Démontrer que O,m et M sont alignés.

4. Trouver l’ensemble des points invariants par T .

Partie B

On donne, dans (P), une droite (D), d’équation ax+by +c = 0 ; on pose

(D1)= (D)∩ (P1)

Soit (

D ′1 )

la transformée de (D1) par T .

1. Former l’équation de (

D ′1 )

.

2. On suppose que abc = 0.

Montrer que (D1) est une droite privée d’un point.

Comparer (

D ′1 )

à (D1).

3. On suppose que abc 6= 0.

Montrer que (D1) est une hyperbole prIvee d’un point. ,Préciser les asymp- totes de l’hyperbole et calculer sa distance focale en fonction de a, b et c.

Strasbourg 3 juin 1969

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

Partie C

À tout pointm de (P1) on associe à présent le point M ′, d’abscisse X ′ et d’ordonnée Y ′, telles que

X ′ = 1

x et Y ′ =

1

y .

Soit T ′ la transformation ponctuelle qui transformem enM ′.

1. Trouver les points invariants par T ′.

2. Montrer que T ′ est le produit (ou la composée), dans un ordre quelconque de T et d’une transformation ponctuelle simple, S, que l’on précisera. Utili- ser cette propriété, ainsi que certains résultats établis dans les parties A ou B, pour traiter géométriquement (c’est-à-dire sans calcul) les deux questions suivantes.

3. Montrer queT ′ est une applicationbijective et involutive de (Pl) sur lui-même.

4. Déterminer les droites dont la partie contenue dans (Pl) est invariante par T ′.

Strasbourg 4 juin 1969

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