Exercices de mathématique appliquée 12, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique appliquée 12. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction numérique de la variable réelle x, la variation de f .
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[ Baccalauréat C Côte d’Ivoire juin 1977 \

EXERCICE 1 4 POINTS

On sait que :

{

103−1= 9×111 103+1= 7×11×13

Pour n ∈N, soit A = 109n +2 ·106n +2 ·103n +1.

1. Quel est le reste de la division de A par 111 ?

2. On suppose n impair. Montrer que A est divisible par 7, par 11 et par 13.

3. On suppose n pair.

a. Montrer que A−6 est divisible par 7, par 11 et par 13.

b. Quel est le reste de la division de A par 111×1001 ?

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans l’espace vectoriel sur R de dimension 3, rapporté à la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

, on dé-

finit une application linéaire pour les égalités suivantes où (a ; b)∈ XR+×R. 

f (

−→ ı )

= −→ ı

f (

−→

)

= a −→ +b

−→ k

f (−→ k )

= a −→ b

−→ k

1. Calculer a et b pour que f soit une symétrie vectorielle ; préciser l’ensemble image et la direction.

2. Calculer a et b pour que f soit un projecteur (c’est-à-dire une application li- néaire telle que f f = f ). Indiquer dans chaque cas l’ensemble des vecteurs invariants et la direction.

3. En supposant que l’espace vectoriel est euclidien et la base (

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

ortho-

normée, calculer a et b pour que f soit une rotation. On donnera l’axe et une mesure de l’angle de cette rotation.

PROBLÈME 11 POINTS

Question préliminaire :

Soit u la fonction numérique de la variable réelle x définie par

u(x)= Log (1+ x)

Log (1 + x) En étudiant la dérivabilité de u au point 0 (zéro), montrer que Log (1+ x)

x possède une limite quand x tend vers 0.

En déduire que lim x→+∞

[

x.Log

(

1+ 1

x

)]

= 1.

Calculer lim x→+∞

(

1+ 1

x

)x

Partie A

Pour n ∈N, on considère la fonction numérique fn de la variable réelle x définie par

fn(x)= x n(1− x).

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

1. Étudier la variation de f .

Montrer que l’équation dans R : fn (x)= 1 a une seule solution ou aucune sui- vant la parité de n.

2. Montrer que, sauf pour certaines valeurs particulières de n, les courbes repré- sentatives de fn ont deux points communs et ont même tangente en chacun de ces points.

Partie B

On se limite dorénavant à la restriction gn de fn à l’intervalle [0 ; 1] :

x ∈ [1 ; 1], gn(x)= x n (1− x)

On appelle (Cn) la courbe représentative de gn dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé.

1. Montrer que, sauf pour une valeur de n, gn possède un maximum Mn et que

Mn = 1

n+1 ·

1 (

1+ 1

n

)n

2. Tracer (C0) , (C1) , (C2) relativement à un repère (

O, −→ ı ,

−→

)

. Donner l’allure de

(Cn) pour n> 2 ; placer (Cn+1) , par rapport à (Cn ) , sur unmême schéma (po- sition relative des points de même abscisse et des deux points représentatifs dumaximum).

3. Calculer successivement :

a. lim n→+∞

Mn

b. In = ∫1

0 gn(x)dx

c. lim n→+∞

In : pouvait-onprévoir ce résultat à l’aide d’un encadrement conve-

nable de gn(x) et du résultat 3. b. ?

4. On pose ∀x ∈ [0 ; 1], Sn(x)= n

i=0 gi (x)dx et Jn =

∫1

0 Sn(x)dx.

a. Calculer Sn(x) en fonction de n et de x, puis – lim

n→+∞ Sn

Jn – lim

n→+∞ Jn

b. Exprimer Jn en fonction de I0, I1 , . . . , In . En déduire la valeur de la somme

sn = 1

1×2 +

1

2×3 +·· ·+

1

(n+1)(n+2) .

Calculer lim n→+∞

sn

c. Comparer lim n→+∞

∫1

0 Sn(x)dx et

∫1

0

(

lim n→+∞

Sn(x) )

dx.

Partie C

On se place à présent dans le corps C des complexes pour n ∈N ; on pose :

z ∈C, hn (z)= z n(1− z).

1. n étant différent de 0, résoudre l’équation : hn (z)= h0(z).

Côte d’Ivoire 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

2. On se propose de résoudre le système suivant :

(I )

{

hn (z) = 1 |z| = |1− z|

a. Montrer que l’équation a une infinité de solutions.

b. Soit z0 l’une de ces solutions ; calculer, en fonction du module ρ et de l’argumentϕde z0 l’argument de 1−z0 ,lemodule et l’argument de zn0 (1− z0).

c. En déduire que le système (I) n’admet de solution que si n est congru à 1 modulo 6.

Quel est alors l’ensemble des solutions de ce système ?

Côte d’Ivoire 3 juin 1977

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