Exercices de mathématique appliquée 3, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique appliquée 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace vectoriel euclidien réel, le repère orthononné.
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[ Baccalauréat C Amiens juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, n3−n est divisible par 6.

2. Déterminer les entiers naturels n tels que n2−n soit divisible par 6.

3. Déterminer les entiers relatifs x et y tels que 3x+ y −1 et xy −3 soient tous deux divisibles par 6.

EXERCICE 2 5 POINTS

Soit E un espace vectoriel euclidien réel de dimension 3, B = (

−→ e1 ,

−→ e2 ,

−→ e3

)

une base

orthonormée de E. On considère les applications linéaires fi (i ∈ {1,2,3,4}) de E dans E définies par :

f1

(−→ e1

)

= 2 −→ e1 +3

−→ e2 −

−→ e3 ; f1

(−→ e2

)

= −→ e3 ; f1

(−→ e3

)

= −→ 0

f2

(

−→ e1

)

= −→ e1 ; f2

(

−→ e2

)

= − −→ e2 ; f2

(

−→ e3

)

= −→ e3

f3

(

−→ e1

)

= − −→ e1 ; f3

(

−→ e2

)

= − −→ e2 ; f3

(

−→ e3

)

= − −→ e3

f4

(

−→ e1

)

= −→ e2 ; f4

(

−→ e2

)

= −→ e3 ; f4

(

−→ e3

)

= −→ e1

1. Indiquer, pour chaque application fi en justifiant votre affirmation, s’il s’agit ou non d’un endomorphisme orthogonal.

2. Pour chaque endomorphisme orthogonal fi : préciser l’ensemble Fi des vec- teurs de E invariants par fi , la nature de fi ainsi que le nombre minimum de symétries vectorielles orthogonales par rapport à un plan vectoriel en les- quelles on peut décomposer fi .

Indiquer si une telle application fi est un endomorphisme orthogonal positif ou négatif.

PROBLÈME 12 POINTS

Partie A

P est un plan affine euclidien muni d’un repère orthononné R = (

O, −→ ı ,

−→

)

.

(Pour les figures, on représentera l’unité par 4 centimètres).

1. Soit f l’application de R dans R définie par :

{

f (x) = xLog |x| ∀x ∈R⋆

f (0) = 0

Etudier f (en particulier la continuité et la dérivabilité).

Soit C la courbe représentative de f dans le repère R ; montrer que C admet une tangente en 0 que l’on précisera. Construire C dans le repère R.

2. a. On pose F (x)= ∫x

1 f (t)dt (1)

Justifier le fait que F (x) a un sens pour tout x réel.

L’égalité (1) définit donc une application F de R dans R.

b. À l’aide d’une intégration par parties, calculer ∫x

1 tLog t dt pour x stric-

tement positif.

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

3. a. Soit ϕ l’application de R dans R définie par :

1ϕ(x) = x2

2 Log |x|−

x2

4 + 1

4 ∀x ∈R⋆

ϕ(0) = 1

4

Montrer que ϕ est continue et dérivable sur R. Quelle est la fonction ϕ

dérivée de ϕ ? Justifier le fait que ϕ= F .

b. Construire la courbe Γ représentant ϕ dans le repère R.

Partie B

C est le corps des nombres complexes. On définit dans C une loi interne, notée⋆, de la manière suivante : si z = x+ iy, z ′ = x′+ iy ′,

(

x, y, x′, y ′ )

∈R4, on pose :

zz ′ = xx′+ i(xy ′+ xy).

1. Montrer que (C,+,⋆) est un anneau commutatif unitaire (+ désigne l’addition des nombres complexes).

2. a. Déterminer l’ensemble C′ des éléments de C inversibles pour la loi ⋆. Si z = x+iy (x, y réels) est un élément deC′, montrer que son inverse pour

la loi ⋆ est = z

x2 , z désignant le complexe conjugué de z.

En déduire les éléments z de C′ tels que l’on ait : z = z̃.

Montrer que C′ est un groupe abélien pour la loi induite dans C′ par la loi ⋆.

b. SoitG le sous-ensemble de C défini par :

G = {z ∈C| ∃t ∈R, z = et + itet }

(où e est la base du logarithme népérien).

Montrer queG est un sous-groupe du groupe (C′, ⋆).

3. Le complexe z = x+ iy a pour imagem(x ; y) dans le plan P.

a. Montrer que, dans P, l’ensemble des points images des éléments deG est une partie γ de C que l’on précisera.

b. Soit z un élément quelconque deG, d’imagem dans P.

Soit l’image de inverse de z pour la loi ⋆. Que peut-on dire des argu- ments de z et ? En déduire une construction de connaissant le point m de γ. (Faire une figure en supposant m distinct de A).

c. Soit z et z ′ deux éléments deG. On pose Z = zz ′, On appellem,m′,M , A les points de P d’affixes respectives z, z ′, Z , 1.

Soit Z ′ l’affixe du point M ′ transformé de m′ dans la similitude plane directe de centre O transformant A en m. Exprimer Z ′ en fonction de z et z ′. Montrer que M etM ′ ont la même ordonnée.

En déduire une construction de l’image M de Z connaissant les images m etm′ des éléments z et z ′ deG. (Faire une figure : on représentera les points A,m,m′ sur γ ; onmarquera les pointsM etM ′ ; la figure sera faite en supposant A, m,m′,m distincts),

4. Soit z0 un élément donné de l’ensemble C′ ; on considère l’application fz0 de C dans C définie par :

z ∈C, fz0 (z)= z0⋆ z.

Amiens 2 juin 1977

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

a. Montrer que f est un automorphisme de C considéré comme espace vectoriel sur R ,

b. Déterminer l’ensemble des nombres complexes invariants par fz0 . Dis- cuter,

c. Déterminer et caractériser les automorphismes f involutifs.

d. Soit F l’ensemble des automorphismes fz0 : F = {

fz0 | z0 ∈C ′ }

.

Montrer que (F, ◦) est isomorphe à (C′, ⋆), En déduire la structure de (F, ◦), ◦ étant la loi de composition des applications.

Amiens 3 juin 1977

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