Exercices de mathématique appliquée 4, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématique appliquée 4. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la fonction polynôme P, les fonctions numériques.
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[ Baccalauréat C Besançon juin 1977 \

EXERCICE 1 3 POINTS

On considère la fonction polynôme P de C vers C telle que :

P (z)= z3+2(3−2i)z2+ (8−15i)z+3−11i.

1. z étant un réel, calculer, en fonction de z, la partie réelle et la partie imaginaire de P (z).

En déduire l’existence d’un réel unique z0 tel que P (z0)= 0. 2. Déterminer l’ensemble des racines (réelles ou complexes) de l’équation

P (z)= 0.

EXERCICE 2 5 POINTS

Dans l’espace affine euclidien E3 rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→ k

)

.

On considère le plan P d’équation : 2x+ y z+3= 0. Soit s la symétrie orthogonale par rapport au plan P.

1. M étant un point de E3 de coordonnées (a ; b ; c), déterminer les coordonnées (

a′ ; b′ ; c ′ )

du point M ′ image par s du point M .

2. On considère la droite D passant par O et de vecteur directeur −→ u :

−→ u = 2

−→ ı

−→ +

−→ k .

Déterminer des équations paramétriques de la droite D′ ensemble des images par s des points de D.

PROBLÈME 12 POINTS

N. B. - Les fonctions considérées dans ce problèmes sont des fonctions numériques d’une variable réelle

Partie A

1. Soit f la fonction de [−π ; +π] dans R définie par :

f (x)= x+ tg x.

a. Étudier la variation de f .

b. Démontrer que l’équation : f (x) = 0 admet, sur [−π ; +π], trois racines distinctes.

Soit x1 la racine strictement positive. Démontrer que : 7π

12 < x1 <

2π

3 .

(on vérifiera que : tg π

12 = 2−

p 3)

2. Soit g la fonction définie sur [−π ; +π] par : g (x)= x sinx. a. Étudier la variation de g , et tracer la représentation graphique de g dans

le plan euclidien rapporté au repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

.

b. Calculer l’aire de la partie du plan, ensemble des points de coordonnées (x ; y) vérifiant

{

π 6 x 6 +π 0 6 y 6 g (x)

Le baccalauréat de 1977 A. P. M. E. P.

Partie B

1. Soit h la fonction définie sur [−π ; +π] par :

h(x)= x sin 1

x si x 6= 0, et h(0)= 0.

a. h est·elle continue sur [−π ; +π] ? b. h est-elle dérivable sur [−π ; +π] ?

2. Soit k la fonction définie sur [−π ; +π] par :

k(x)= x sinx sin 1

x si x 6= 0, et k(0)= 0.

a. k est·elle continue sur [−π ; +π] ? b. k est·elle dérivable sur [−π ; +π] ?

3. On considère la suite (U ) définie sur N⋆ par :

Un = p=n

p=1

p

n2 sin

p

n sin

n

p

Démontrer qu’elle est convergente, en faisant intervenir la valeur moyenne de k sur [0 ; 1]. (on ne calculera pas explicitement la valeur de cette limite).

Partie C

Soit ϕ la fonction définie sur [−π ; +π] par :

ϕ(x)= cosx cos 1

x si x 6= 0, et ϕ(0)= 0.

1. Montrer que ϕ est majorée et minorée sur [−π ; +π] (on ne demande pas d’étudier la continuité de ϕ en 0).

Soit t ∈]0 ; π] : montrer que ϕ est intégrable sur [t ; π].

On pose alors Φ(t)= ∫

π

t ϕ(x)dx.

2. Soitψ la fonction définie sur ]0 ; π] par :

ψ(x)= 1

x2 sinx sin

1

x .

Démontrer qu’il existe une fonctionΨ, définie sur ]0 ; π] par :

Ψ(t)= ∫

π

t ψ(x)dx.

3. Préciser la fonction Ω définie sur ]0 ; π] par :

Ω(t)=Φ(t)+Ψ(t).

(on pourra utiliser une intégration par parties portant sur Φ(t)).

4. On admet que Φ(t) tend vers une limite quand t tend vers 0.

Démontrer l’existence d’une fonction Ψ1 définie et continue sur [0 ; π] et qui coïncide sur ]0 ; π] avec la fonctionΨ.

Besançon 2 juin 1977

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