Exercices de mathématique de l'ingégnieur - Eléments de correction de l'examen, Examens de Logique mathématique. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris
Christophe
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Exercices de mathématique de l'ingégnieur - Eléments de correction de l'examen, Examens de Logique mathématique. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris

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Exercices de mathématique de l'ingénieur sur les éléments de correction de l'examen. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, la transformée de Laplace de l'équation différentielle, Autre méthode.
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Année 2011-2012 1ère session NOM DU MODULE : MATHÉMATIQUE INGÉNIEUR

NOM DU RESPONSABLE : TESSON PATRICE Filière : Electronique et Télécommunication. Eléments de correction de l'examen

Problème 1. En prenant la transformée de Laplace de l'équation différentielle régissant l'évolution de y(t) (E) : t.y"(t) + 2 y'(t) + 4.t.y(t) = 1 avec y(0) = 0

avec pour p>0 : y(t)  Y(p) 1  1/p t.y(t)  -Y'(p) y'(t)  pY(p) – y(0) = pY(p)

y"(t)  p2Y(p) – p y(0) – y'(0) = p2Y(p) – y'(0) ty"(t)  - d dp ( p

2Y(p) – y'(0)) = - 2 p Y(p) – p2 Y'(p)

On obtient : Y'(p) = - 1

p(p2 + 4)

ou encore après décomposition en éléments simples : - Y'(p) = 1 4 (

1 p -

p p2 + 4 )

La transformée de Laplace inverse donne alors :

ty(t) = 1 4 ( u(t) – cos(2t) u(t) ) soit y(t) =

1 4t ( 1 – cos(2t) ) u(t).

On a (en calculant la limite) y(0+) = 0 et donc finalement : y(t) = y(t) = 1 4t ( 1 – cos(2t) ) pour t 0.

Autre méthode : on peut écrire : -Y'(p) = 1

p(p2 + 4) = 1 p

2 2(p2 + 22)

D'après le dictionnaire : TL-1{ 2

p2 + 22 } = sin(2t).u(t)

D'après la propriété du signal symbolique divisé par "p" on a :

TL-1{ 1 p

2 p2 + 22 } = sin(2x).dx = 

t

0

1-cos(2t) 2 u(t)

D'où finalement : y(t) = 1 4t ( 1 – cos(2t) ) u(t).

Problème 2. On considère le signal f(t) = t3 exp(-.t2)

1.a) D'après le dictionnaire (avec paramètre a = ) on a la transformée de Fourier suivante :

TF{ exp(-.t2) } = exp(-.2) = exp(- 2

4 )

D'après la propriété du signal temporel multiplié par "tn", on a :

TF{ f(t) } = F() = (i)3 d3

d3 exp(- 2

4 ) = i 42 ( -3 +

2

2 ) exp(- 2

4 ) = F̂() = i 2 ( -3 +2 

2 ) exp(-.2)

p. 1/3

p. 2/3

1.b) D'après la propriété du signal fréquentiel multiplier par exp(- 2it0), avec ici t0 = -1, on obtient :

TF-1{ exp(-.2).exp(2i) } = exp(-.(t + 1)2)

1.c) On peut écrire 2 exp(-.2) = 1

(i2)2 (i.2 2 exp(-.2) afin de reconnaitre la propriété du signal

fréquentiel multiplié par (i.2n avec ici n=2, c'est-à-dire TF-1{ (i.22 exp(-.2) } = d2 dt2 exp(-.t

2)

Par conséquent TF-1{ 1

(i2)2 (i.2 2 exp(-.2) } =

1 (i2)2

d2 dt2 exp(-.t

2) = etc….

Enfin avec la propriété de signal fréquentiel multiplier par exp(2i), on obtient finalement :

TF-1{ 2 exp(-.2).exp(2i) } = 1

2 (1 – 2 (t + 1) 2) exp(-.(t + 1)2)

2) Remarque préalable : La transformée de Fourier du signal : g(t) = 1 pour t  [-1, 1] et g(t) = 0 sinon, est la même que celle de la porte unitaire de largeur 2 : 2(t) car ces signaux sont égaux presque partout (Ils sommables, c.a.d. éléments de L 1)

D'après le dictionnaire TF{ 2(t) }= G() = 2 sin()  =

sin(2) 

2.a) La transformée de Fourier de h(t) = (f * g ) (t) est égale à Ĥ() = F̂() . Ĝ()

soit Ĥ() = F̂(). sin(2)  = F̂().

exp(i2) - exp(i2) i2 =

i 2 ( -3 +2 

2 ) exp(-.2) . exp(i2) - exp(i2)

i2

Ĥ() = 1

4 ( -3 +2  2 ) exp(-.2)exp(i2) -

1 4 ( -3 +2 

2 ) exp(-.2)exp(-i2)

Ĥ() = - 3

4 exp(-. 2)exp(i2) +

1 2 

2 exp(-.2)exp(i2)

+ 3

4 exp(-. 2) exp(-i2) -

1 2 

2 exp(-.2) exp(-i2)

D'après les questions précédentes il vient :

h(t) = - 3

4 exp(-.(t + 1) 2) +

1 2

1 2 (1 – 2 (t + 1)

2) exp(-.(t + 1)2)

+ 3

4 exp(-.(t - 1) 2) -

1 2

1 2 (1 – 2 (t - 1)

2) exp(-.(t - 1)2)

Soit h(t) = 1

4 exp(-.(t + 1) 2) (-3 + (1 – 2 (t + 1)2) -

1 4 exp(-.(t - 1)

2) (-3 + (1 – 2 (t - 1)2)

h(t) = - 1

4 exp(-.(t + 1) 2) (2 + 2 (t + 1)2) +

1 4 exp(-.(t - 1)

2) (2 + 2 (t - 1)2)

h(t) = - 1

2 exp(-.(t + 1) 2) (1 +  (t + 1)2) +

1 2 exp(-.(t - 1)

2) (1 +  (t - 1)2)

2.b) h(t) peut se mettre sous la forme :

h(t) = - 1

2 exp(-.(t 2 + 1)) exp(-2.t2) (1 +  (t + 1)2) +

1 2 exp(-.(t

2 + 1)) exp(+2.t2) (1 +  (t - 1)2)

h(t) = 1

2 exp(-.(t 2 + 1)) [ -exp(-2t) (1 +  (t2 + 1) + 2t) + exp(+2t) (1 +  (t2 + 1) - 2t) ]

h(t) = 1

2 exp(-.(t 2 + 1)) [( exp(+2t)- exp(-2t) ) (1 +  (t2 + 1)) - 2t (exp(+2t) + exp(-2t) ) ]

h(t) = 1  exp(-.(t

2 + 1)) [( sh(2t) (1 +  (t2 + 1)) - 2t ch(2t)]

Problème 3.On considère la fonction f , T-périodique définie par :

f(t) = 2 T(t + T/2) pour t [-T/2 , 0[ et f(t) = -

2 T(t - T/2) pour t [0 , T/2[

1) Il s'agit d'un train de dents de scie symétriques, positives. Fonction paire.

2) Sa valeur moyenne Fmoy = 1 2 et sa valeur efficace Feff.= <f>T =

1 3

3) Son développement en série de Fourier classique.

SF{f(t)} = 1 2 + 



0k

4 (2k+1)2 p2 cos((2k+1)

2 T t)

p. 3/3

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