Exercices de mathématique de l'ingénieur - correction, Exercices de Logique mathématique
Christophe
Christophe3 mars 2014

Exercices de mathématique de l'ingénieur - correction, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématique de l'ingénieur - correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exercice 1, Exercice 2, Exercice 3.
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ENSEIRB 1ère année Département Electronique

Corrigé de l’épreuve de mathématiques du 23 janvier 2007

Exercice 1

1.

fa  fb = u(t) Z t 0 fa(t� t0)fb(t0)dt0 = u(t)

Z t 0 (t� t0)at0bdt0

= ta+b+1 u(t)

Z t 0

 1� t

0

t

a  t0 t

b d

 t0

t

 = B(a+ 1; b+ 1) ta+b+1 u(t)

2.

L (fa  fb) = Fa(p)Fb(p) = �(a+ 1)

pa+1 �(b+ 1)

pb+1 =

�(a+ 1)�(b+ 1)

�(a+ b+ 2)

�(a+ b+ 2)

pa+b+2

) fa  fb = �(a+ 1)�(b+ 1)

�(a+ b+ 2) ta+b+1 u(t)

.On en déduit

B(a+ 1; b+ 1) = �(a+ 1)�(b+ 1)

�(a+ b+ 2) ) B(x; y) = �(x)�(y)

�(x+ y) (x; y) 2 R2

Exercice 2

1. On prend la transformée de Laplace de l’équation! Y (p) = e�pX(p)� e�pY (p)) Y (p) =

X(p) e�p

1 + e�p ; d’où H(p) =

e�p

1 + e�p

2. Si x(t) = u(t)! X(p) = 1p :

Y (p) = 1

p

e�p

1 + e�p =

1

p

1X n=0

(�1)ne�(n+1)p

y(t) =

1X n=0

(�1)nu [t� (n+ 1) ] = u (t� )� u (t� 2) + u (t� 3) +   

Le graphe : train de créneaux unité entre ( ; 2); (3 ; 4);   

3. On entre maintenant dans le même système un signal échantillonné de pas 0 : xn = x(n0) et on a en sortie yn = y(n0) ;on suppose de plus que  = n00 de sorte que l’équation du système devienne

yn = xn�n0 � yn�n0 pour n  n0 > 0 yn = 0 pour n < n0

1

(a) En prenant la transformée en Z de l’équation! Y (z) = z�n0X(z)�z�n0Y (z)) Y (z) =

X(z) z�n0

1 + z�n0 ; d’où H(z) =

z�n0

1 + z�n0

(b) La réponse à l’échelon unité échantilloné : un = 1 pour n  0;

X(z) = z

z � 1 jzj > 1) Y (z) = z

z � 1 z�n0

1 + z�n0 jzj > 1

i. n0 = 1 ) Y (z) = z

z � 1 1

z + 1 = 12

 1

z � 1 + 1

z + 1

 = 12

1

z

1

1� 1z +

1

z

1

1 + 1z

! comme jzj > 1

Y (z) = 1

2

1X n=0

1

zn+1 [1 + (�1)n] 

1X n=0

yn zn

) y2k = 0 ; y2k+1 = 1 k  0

ii. n0 = 2) Y (z) = z

z � 1 1

z2 + 1 = 12

 1

z � 1 � z � 1 z2 + 1

 = 12

1

z

1

1� 1z � 1

z

1� 1z 1 + 1

z2

! comme jzj > 1

Y (z) = 1

2

1X n=0

1

zn+1 � 1

2

 1� 1

z

 1X n=0

(�1)n z2n+1

= 1

2

1X n=0

1

zn+1 � (�1)

n

z2n+1 +

(�1)n z2n+2

= 1

2

1X n=0

1� (�1)n z2n+1

+ 1 + (�1)n z2n+2

= 1

z2 +

1

z3 +

1

z6 +

1

z7 +   

) y0 = y1 = 0 ; y2 = y3 = 1 ; y4 = y5 = 0 ; y6 = y7 = 1 ;   

iii. autre solution, valable pour n0 quelconque : Y (z) = z

z � 1 z�n0

1 + z�n0 =

z

z � 1 X1

k=0

(�1)k

z(k+1)n0 )

yn = X1

k=0 (�1)kun�(k+1)n0

Exercice 3 Soit g la fonction 2-périodique dé…nie par g(t) = �12 t

2 + t� 13 2

1. cn = 12 R 2 0

� �12 t

2 + t� 13 2  e�intdt On intègre une première fois par parties en posant

u = �12 t 2 + t� 13

2 et v0 = e�int

2cn =

 �1 2 t2 + t� 1

3 2  e�int

�in

2 0

+ 1

in

Z 2 0

(�t+ ) e�intdt

= 1

in (�t+ ) e

�int

�in

2 0

� 1 (in)2

Z 2 0

e�intdt = �2 n2

) cn = � 1

n2 n 6= 0 ; pour n = 0 on trouve c0 = 0:

2. g0(t) = �t +  pour t 2 (0; 2) cn = 12 R 2 0 (�t+ ) e

�intdt = � i n

n 6= 0 ; c0 = 0. On a donc

g(t) = � X n6=0

eint

n2 et g0(t) = �i

X n6=0

eint

n =

24�X n6=0

eint

n2

350

2

3. g0 a des discontinuités de saut +2 pour t multiple de 2 ; au sens des distributions g00 vaut -1 presque partout + 2 à chaque discontinuité : g00(t) = �1+2

P n2Z (t�2n) = �1+2qq

4. Ecrivons

g00 = SF (g 00) = S0F (g

0) =

24�iX n6=0

eint

n

350 =X n6=0

eint = �1 + X n2Z

eint

On en déduit que qq = 12 X

n2Z eint:

3

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