Exercices de mathématique de l'ingénieur, Exercices de Logique mathématique. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris
Christophe
Christophe3 mars 2014

Exercices de mathématique de l'ingénieur, Exercices de Logique mathématique. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris

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Exercices de mathématique de l'ingénieur. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Fonctions définies par des intégrales, Séries de Fourier.Produit de convolution, Transformation de LaplaceTransformée de Fourier....
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Polycopié du cours de mathématiques de l’ingénieur B7 signal déterministe

ENSEIRB-Matmeca. FilièreTélécom T1. Formulaire de Mathématique de l'ingénieur MA115. 2012-2013

I) Fonctions définies par des intégrales

Fonction Gamma : (x) = e-t tx-1 dt (x+1) = x (x) (n)(x) = e-t (Ln t)n tx-1 dt  

0  

0

Valeur pour x entier : (n+1) = n (n) = n ! Pour x ½ entier : (n+ 1 2 ) =

1 2n (2n-1) !!  =

(2n)! 22n n! 

Valeurs particulières : (1) = 1, ( 1 2 ) =  Pour x < 0 : (x) =

(x+n) x(x+1)(x+2)…(x+n-1) avec x]-n , -n+1[

Fonction Beta : B(x,y) =  (x)  (y)(x+y) = (1 –t ) x-1 ty-1 dt = 2 (cos )2x-1 (sin )2y-1 d = 

1

0 

2/

0

 

0

tx-1 (1+t)x+y dt

Formules des compléments : B(x,1-x) = (x) (1-x) = sin(x)

x

0

Fonction erreur : Erf(x) = 2 

exp(-t2) dt Erf( x ) = 1 Erfc(x) = 1 - Erf(x) x

lim

Sinus intégral : Si(x) =  x

0

sin(t) t dt Si( x ) = /2 Cosinus intégral : Ci(x) = -xlim 



x

cos(t) t dt

Fonctions Exponentielle Intégrale : En(x) =  

x

e-t tn dt Ei(x) = PP 



x e-t t dt

II) Séries de Fourier.

f(t) SF{f(t)} = .. pp  a02 + an cos(n 



1n

2 T t) + bn sin(n

2 T t) (égalité pour les points de continuité)

 Tt

t

0

0

f(t) dt = < f(t)>T Pour n  ℕ* : an = 2 T 

Tt

t

0

0

f(t) cos(n 2 T t) dt et bn =

2 T 

Tt

t

0

0

f(t) sin(n 2 T t) dt

a0 2 =

1 T

 Tt

t

0

0

f(t) exp(- j n 2 T t) dt . c0 =

a0 2 cn =

an - j bn 2 c-n = cn* SF{f(t)} = cn exp(j n 





2 T t) avec cn =

1 T

Relation de Parseval : (Feff)2 = 1 T | f(t) |

2 dt = (  T

0

a0 2 )

2 + 1 2 

1k (an)2 + (bn)2 = | cn |2 





III) Produit de convolution

F = f * g : t  (f * g)(t) = F(t) = f(t-) g() d. Pour des fonctions causales : F(t) = (f * g)(t) =u(t) f(t-) g() d 

  t

0

IV) Transformation de Laplace

L { f(t) }= F(p) = exp(- p t) f(t) dt f(t) = L -1{ F(p) } f(t) est l’original de F(p). 

0

Condition suffisante d'existence : f localement sommable et de classe exponentielle. On a F(p) = 0 p

lim

Théorème de la valeur initiale : f(t) = f(0+) = p F(p) 0

lim t p

lim .

Théorème de la valeur finale : f(t) = p F(p)t

lim 0

lim p

Propriétés :L { (f * g) (t) } = F(p).G(p) L { f(k.t) } = 1 k F(

p k ) avec k > 0.

1

ENSEIRB-Matmeca. FilièreTélécom T1. Formulaire de Mathématique de l'ingénieur MA115. 2012-2013

L { f(t - ).u(t - ) } = exp(-.p) F(p) avec  > 0 L { exp(a.t) f(t) } = F(p – a)

L { f '(t).u(t) } = p F(p) – f(0+) généralisation : L { f(n)(t).u(t) } = pn F(p) – pn-1-k f(k)(0+)  

1

0

n

k

L { f(). d } =  t

0

F(p) p L { t

n.f(t).u(t) } = (-)n dn

d pn F(p) L { f(t) t. .u(t) } = F() d

p

f semi-T-périodique : L { f(t).u(t) } = 11 - exp(- pT) exp(- p t) f(t) dt =  T

0

L { g(t) } 1 - exp(- pT) avec g fonction génératrice

f(t) F(p) f(t) F(p)

u(t) 1p p > 0 cos(t).u(t) p

p2 + 2 p > 0

t . u(t)  > -1 ()

p+1 p > 0 sin(t).u(t) 

p2 + 2 p > 0

 = n entier naturel tn . u(t)

n ! p n +1 p > 0 ch(bt).u(t)

p p2 - b2 p > |b|

exp(a t). u(t) 1p-a p > a sh(bt).u(t) b

p2 - b2 p > |b|

Erfc( a t ) 1p exp( -2a p ) p > 0 Distribution : 

(n)(t) pn

V) Transformée de Fourier.

Pour f  ℒ1 : F { f(t) } = F() = exp(-i..t) f(t) dt =  



F̂ () = exp(-i. 2..t) f(t) dt  



Pour f  ℒ2 : F { f(t) }= F() = PP exp(-i..t) f(t) dt = exp(- i .t) f(t) dt  

 T

lim  

T

T

Pour F  ℒ1 f(t) = F -1{ F() } = 1

2 exp(i..t) F() d F -1{ 





F̂ () } = exp(i.2 .t)  



F̂ () d

Si F() est bornée, continue et 

lim F() = 0 f(t) = 12 PP exp(i..t) F() dPP exp(i.2 .t)  

  



F̂ () d

F { f(a.t) } = 1|a| F(/a) = 1 |a| F̂(/a) F { f(t – t0) } = exp(- i .t0) F() = exp(- i 2.t0) F̂()

F { exp( i 0.t) f(t) } = F() = F̂() F { f(n)(t) } = (i )n F() = (i 2)n F̂()

F { tn f(t) } = (i)n d n

dn F() = ( i

2.) n

dn

dn F̂() F { f(t)* } = F(-)* F { F̂ (t) } = f(- )

Si f(t) réelle paire, alors F̂ () = F { f(t) } est réelle paire et F { F̂ (t) } = f()

Si f et g  ℒ1 alors f * g  ℒ1 et F { ( f * g)(t) } = F() . G() = F̂() . Ĝ()

 



f(t) g(t)* dt =  



F̂ ().Ĝ ()* d | f(t) |2 dt  |  

  



F̂() |2 d

2

ENSEIRB-Matmeca. FilièreTélécom T1. Formulaire de Mathématique de l'ingénieur MA115. 2012-2013

f(t) F() F̂ () f(t) F() F̂ ()

T(t) =

u(t + T 2)-u(t -

T 2)

T sin(T/2) T/2

T sinc(T) =

T sin(T) T

sinc(t)  () 1()

(1 – 2 |t| T) u(

T 2 - |t|)

T 2 (

sin(T/4) T/4 )

2 T 2 (

sin(T/2) T/2 )

2 sin(t)

t   ()   ()

exp(- a |t|) a > 0 2 a

a2 + 2 2 a

a2 + 42 2 1

t2 + a2  a exp(- a ||)

 a exp(- 2 a ||)

exp(- a t2) a > 0

 a exp(-

2

4 a)  a exp(-

2 2 a )

exp(- a t) u(t) a > 0

1 a + i 

1 a + i2 

VI.) Signaux impulsionnels. Distributions. Distribution T : fonctionnelle est linéaire et continue définie sur K est un espace de fonctions "test" T : K  R ou C   T() = < T ,  > - Linéarité : < T , a. b. > = a < T ,  > + b < T ,  >   ,   K - Continuité : < T , n > = < T ,  > où = n (n ) une suite de fonctions de K.

n lim

n lim

Distribution régulière associée à une fonction f : T = [f] :   < [f] ,  > = f(t).(t) dt  



Egalité de deux distributions T et G : T = G  < T ,  > = < G ,  >    K

Notations abusives : T() = < T ,  > = < T(t), t > = T(t) (t) dt  



Distribution singulière de Dirac :  :  () = < ,  > = < (t), (t) > = (t)  (t) dt = (0)  



Distribution singulière Pf ou VP :   < Pf(1/) ,  > = PP . 



()  d

Décalage : < a ,  > = <  , a > avec a : t  (t + a) En notation abusive : < (t - a) , (t) > = < (t) , (t + a) >

En particulier : < a ,  > = <  , a > = (a) ou encore < (t - a) , (t) > = (t - a) (t) dt = (a)  



Pour les fonctions  à support borné (t1,t2) : (t - a) (t) dt = (a) si a  ]t1 , t2[, 0 si non.  2

1

t

t

Parité : T est paire, si T- = T , impaire si T- = - T avec T- :   < - ,  > = <  , - > avec - : t  (-t)

Par abus on écrit : T(- t) = T( t ) pour une distribution paire, en particulier (- t ) = (t). Si impaire : T(-t) = -T(t)

Produit par une fonction : Pour une fonction g  C  on a : < g .T,  > = < T , g. >

En particulier : g  = g(0)  ou encore : g(t)(t) = g(0) (t). g(t)(t - a) = g(a) (t - a)

Dilatation : (a.t) = 1|a| (t)

Dérivée : (n):   < (n) ,  > = (-)n <  ,  (n) > [u]' =  ou encore par abus : u'(t) = (t)

Pour f(t) = fc(t) + .u(t – t0) où fc est le prolongement continu de f : [ f ] ' = [ fc '] + t0 et [ fc '] = [fc]'

Convolution d'une distribution T avec une fonction : x  T *  (x) = < (y) , (x-y) >

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Convolution de deux distributions : T * G :  < T * G ,  > = <T(x) , < G(y) , (x+y) >

Suite au sens des distributions : Tn converge vers T, c'est-à-dire l n = T si li Tn , > = <T , >  . n

im T n

m <

Série au sens des distributions : soit  Tn converge vers U, n  U si < Tn , >  <U , >   

n T 



n

Peigne de Dirac : Ш =  ou encore Ш (t) = T n.T T n  

n (t – n.T)

Formule de Poisson ШT(t) = (t – n.T) =  n

1 T  



exp(i n 2  T t)

Transformée de Fourier d'une distribution tempérée T

sur l'espace S des fonctions test F { T }:   < F { T }, > = < T,F {  } >

(-i.2t0) F { T(t)}

}(-0) 2

F { T(n)( t )} = (i.)n F { T(t)} F { T(t - t0)} = exp

F { exp(i.2t) T( t )} = F { T F { tn. T} = ( i )

n F { T(t)}(n)

Quand cela a ns : { g T} = g } { g .T} = { g } { T} un se F * F { . F { T} F F * F

T F { T }() T F { T }() T F { T }()

[ I ] o

 ou )

 ou )

[ I ] o sgn(t)

1 iu [1] ( (t u [1] 2 Pf(1/)

n)t (2 i)n [ tn ] ( i

2.) n (n) [ u(t) ]

1 2  +

1 i 2 Pf(1/)

t – t0 exp(-2 it0)] [exp(2 i0t)]  – 0 ШT(t) 1 T Ш1/T()

VII) Fonction variable complexe. Transformation en Z

= f(z) = F(x,y) = P(x,y) + j Q(x,y)

f : C  C

z = x + j y  Z

Critères d'analyticité :  P  x =  Q  y et

 P  y = -

 Q  x ou

 f  z* = 0

Expression de la dérivée d f  P  Q  P  Q: f '(z) = d z (z) =  x + j  x = -j (  y + j  y )

Théorème de Cauchy : Pour un ntour ferm ens onométrique) à l'intérieur d'un domaine co  orienté é (s trig

simplement connexe D où f est analytique alors :  

f(z) dz = 0

Formule intégrale de Cauchy : Soit un contour  orienté fermé (sens trigonométrique) à l'intérieur d'un domaine

simplement connexe D où f est analytique. Pour le point z0 enlacé par  on a : f(n)(z0) = n! i2

f(z) (z - z0)n+1 

dz

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Développement en série de Laurent de f autour de z0 une singularité isolée.

f(z) =  

An (z – z0)n = …. n

A-2 2(z - z0) +

A-1 (z - z0) + A0 + 



An (z – z0)n avec : An =  1

i2  

' - z0) 1 f(z')

(z n+ 0n

dz'

e m termes.

form tion en Z m

A-1 s'appelle le résidu. Si z0 un pôle de multiplicité m, la partir singulière possèd

Trans a d'une suite nu érique : (fn u N )  R (ou C ) n  n = f(n)) : Z (o f

f nLa transformation en Z de ( n) notée Z { (fn) } = F(z) =  n

 f zn = 

n fn . z (série de Lau

 -n rent particulière)

T.p) Pour un signal fe(t) = f(t) . ШT(t) =  f(n T).(t – n.T) F(z) = L { fe(t) } avec z = exp(+ 0n

Propriétés : Pour F(z) = Z { (fn) } avec r1 < |z| < R1 et G(z) Z n) } avec r2 < |z| < R2 pour { (g

Z { a.fn + b.gn } = a F(z) + b. G(z) pour max(r1 , r2) < |z| < min(R1 , R2)

1k-1

u Z { (n+1). fn+1 } = - z2 F '(z)

/r1

Z { fn+k } = zk F(z) pour r1 < |z| < R

Pour un signal causal et pour r1 < |z| on a Z { fn+k } = zk F(z) – zk f0 – z f1 …– z fk-1.

Z { n. fn } = - z F '(z) pour r1 < |z| < R1

Pour n signal causal (pour r1 < |z|) :

Z { an fn } = F(z/a) pour |a|.r1 < |z| < |a|.R1 Z { f-n } = F(1/z) pour 1/R1 < |z| < 1

Valeur initiale : z

lim F(z) = f0Valeu 1

lim z

r finale (z – 1).F(z) = n

in(R1 , R2)

VIII) Formulaire personnel : notes manuscrites et impérativement limitées au cadre.

n lim f

Convolution : fn * gn =  fk gn-k Z { fn * gn } = F(z) . G(z) pour max(r1 , r2) < |z| < m 

n

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