Exercices de mathématiques élémentaires 5, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de mathématiques élémentaires 5 sur le mouvement vibratoire simple. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les cercles tangents, la courbe de variation, la tangente.
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[ Baccalauréat mathématiques élémentaires \ Dakar juin 1964

EXERCICE 1

Un point M est animé d’unmouvement vibratoire simple sur un axe x′Ox. Le centre

de cemouvement est l’origine. La période dumouvement est 1

10 seconde et, à l’ins-

tant initial, le mobile est à 5 cm du centre et a une vitesse de 6 cm/s. Écrire l’équation dumouvement de ce mobile.

EXERCICE 2

Lieu du centre des cercles tangents à une droite fixe (D) et orthogonaux à un cercle fixe (Γ), dans le cas où (D) est tangent à (Γ).

EXERCICE 3

Dans le plan des axes rectangulaires, Ox, Oy , on considère la courbe (C) représen- tant la variation de la fonction

y = 1

x2 .

1. Tracer la courbe (C).

Former l’équation de la tangente à cette courbe au point M dont l’abscisse a une valeur donnée a. Calculer en fonction de a les coordonnées du point K où cette tangente coupe à nouveau la courbe (C).

2. On suppose a > 1 ; soit A le point d’abscisse 1 sur la courbe (C).

Calculer, en fonction de a, la valeur S de l’aire comprise entre l’arc –AM de la courbe (C) et sa corde.

Montrer que S est dans un rapport constant avec le produit de la quantité (a− 1)3 par l’ordonnée du point M .

3. Montrer que, quels que soient a et λ, la courbe de variation (P) de la fonction

y = 3

a2 −

2x

a3 +λ(x a)2

est tangente à la courbe (C) au point M d’abscisse a.

Former l’équationdu seconddegré ayant pour racines les abscisses des points, M ′, M ′′, où se coupent, en dehors du point M , les courbes (P) et (C).

Dessiner sur une même figure la courbe (C) et la courbe (P) obtenues pour a = 1, λ=−1.

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