Exercices de mathématiques et de géométrie affine, Exercices de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez28 January 2014

Exercices de mathématiques et de géométrie affine, Exercices de Logique mathématique

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Exercices de mathématiques et de géométrie affine. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: applications affines et groupe affine, démonstrations.
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Licence de Mathématiques, Géométrie Affine

TD 3 : espaces affines et sous-espaces

1 Soit v = (1,0,1) et w = (1,1,1) deux vecteurs de R3. a. Quelle est la dimension du plus petit sous-espace affine qui contient v et w ? b. Montrer que le plus petit sous-espace vectoriel qui contient v et w est un plan F . c. Trouver une forme linéaire L tel que kerL = F. d. Donner un équation cartésienne du sous-espace affine qui passe par u = (0,2,1) et qui est dirigé par F.

2 Soit E un espace affine dirigé par E, E1 et F des sous-espaces affines dirigés par E1 et F. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un sous-espace affine E2 qui contienne E1 et qui soit parallèle à F .

3 Soit E un espace vectoriel et F un sous-espace affine de E de direction F. Montrer que dimVectF ≤ dimF +1 et que dans le cas de la dimension finie il y a inégalité stricte si et seulement si F = F .

4 Soit E un espace affine dirigé par E et F un sous-ensemble de E . On pose F = {−→xy : x,y ∈ F }. a. Montrer que si F est un sous-espace affine de E alors F est un sous-espace vectoriel de E. b. On considère la droite affine E = R et le sous-ensemble F =]0,+∞[. Que vaut F dans ce cas ? Que conclure ?

5 Soit E un espace vectoriel, E1,E2,E3 des sous-espaces vectoriels. On suppose que E = E1 ⊕E2 = E1 ⊕E3. a. Montrer que par tout point de E2 passe un unique sous-espace affine E ′x parallèle à E1. b. Montrer que si E ′ est un sous-espace affine parallèle à E1 alors E ′∩E2 et E ′∩E3 sont des single- tons. c. Montrer que l’application qui à x E2 associe l’unique point d’intersection de E ′x et E3 est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

6 Soit E un espace affine dirigé par E. On suppose que E n’est pas réduit à un point. On note E E

l’espace vectoriel des applications de E dans E. Si x ∈ E on note fx l’élément de EE qui à y ∈ E associe −→xy. On définit ainsi une application f de E dans EE . a. Montrer que l’application c qui à v E associe l’application cv : E → E constante égale à v est une application linéaire injective de E dans EE . b. Montrer que l’application f est une injection de E dans EE . c. Montrer que fx fy = −→xy. d. Montrer que f (E) est un sous-espace affine de EE dirigé par c(E). e. Décrire les éléments de l’espace vectoriel Vect f (E) et montrer que f (E) est un hyperplan affine de Vect f (E).

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