Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématiques sur la géométrie algébrique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Soit k un corps., Schéma de Picard, Groupe de Picard de l’espace projectif.
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M2, Géométrie Algébrique I, Cours de Jean-François Dat 2008-2009

TD - Feuille 4

Exercice 1 Soit k un corps. (1) Donnez un exemple de schéma dans lequel diviseurs de Weil et diviseurs de Cartier ne coïncident pas. (2) Soit C la courbe plane cuspidale d’équation y2 = x3. Soit D le diviseur de Cartier principal associé à la fonction méromorphe (y − x)/x. Calculez son diviseur de Weil associé.

Pour la question suivante, on rappelle que si X est un schéma intègre normal, Z un diviseur de Weil de X et U = X \ Z, on a une suite exacte Z → Cl(X) → Cl(U) → 0. (3) Soit X le schéma affine normal défini par l’équation z2 = xy dans l’espace A3k. On souhaite montrer que Cl(X) ' Z/2Z et que ce groupe est engendré par la génératrice Z = {x = z = 0}.

(i) On pose U = X \ Z. Montrez que Cl(U) = 0. (ii) Montrez que la classe de Z engendre Cl(X) et que 2Z = 0. (iii) Montrez que Z 6= 0. (Si Z est le diviseur d’une fonction méromorphe f , montrez que

f est en fait régulière et engendre l’idéal premier de Z. Aboutissez à une contradiction. On rappelle que si A est intègre normal, on a A = ∩ht(p)=1 Ap.)

(iv) Montrez que le groupe des classes de diviseurs de Cartier de X est nul.

Exercice 2 Schéma de Picard. Soit k un corps algébriquement clos et X un k-schéma projectif. On définit le foncteur de Picard relatif de X/k comme étant le foncteur F défini sur la catégorie des k-schémas par :

F (S) = Pic(X × S)/Pic(S) .

On admet qu’il existe un schéma noté PicX/k et une bijection fonctorielle en S :

F (S) = Homk(S,PicX/k) ,

et que la composante connexe Pic0X/k du point correspondant au faisceau inversible trivial [OX ] ∈ F (k) est de type fini. Montrez que si X est lisse sur k, alors Pic0X/k est propre.

Exercice 3 Groupe de Picard de l’espace projectif. Soit k un corps et soit L un fibré en droites sur Pnk = Proj(k[x0, . . . , xn]). (1) Justifiez que L est trivial sur les ouverts standard Ui de Pnk . (2) Montrez que les fonctions inversibles sur Ui ∩Uj sont de la forme αij(xi/xj)lij avec αij ∈ k∗ et lij ∈ Z. (3) À partir de trivialisations de L sur Ui, utilisez la condition de cocycle pour montrer que la puissance lij dans le changement de carte est indépendante de (i, j). Admettant que H1(Pnk , k∗) = 0, où k× est le faisceau constant sur Pnk , montrer qu’on peut changer les triviali- sations initiales pour se ramener à αij = 1. (4) En déduire que L ' O(l) pour un l ∈ Z puis que Pic(Pnk) ' Z.

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