Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 avril 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 22. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le système d’équations paramétriques, les entiers naturels.
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[ Baccalauréat S Polynésie spécialité \ septembre 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

L’espace est rapporté à un repère (

O, −→ ı ,

−→ ,

−→

k )

orthonormé. Soit s un nombre réel.

On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B (10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations para- métriques :

x = −5+3s y = 1+2s z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

Déterminer une équation cartésienne de P .

c. Montrer que la distance d’un point quelconque M deD à P est indépen- dante deM .

d. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

2. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P , du même côté que O.

Donner l’équation cartésienne de S .

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On désigne par p un nombre entier premier supérieur ou égal à 7. Le but de l’exercice est de démontrer que l’entier naturel n = p4−1 est divisible par 240, puis d’appliquer ce résultat.

1. Montrer que p est congru à−1 ou à 1modulo 3. En déduire que n est divisible par 3.

2. En remarquant que p est impair, prouver qu’il existe un entier naturel k tel que p2−1= 4k(k+1), puis que n est divisible par 16.

3. En considérant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, démontrer que 5 divise n.

4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.

Démontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.

b. Déduire de ce qui précède que 240 divise n.

5. Existe-t-il quinze nombres premiers p1, p2, . . . , p15 supérieurs ou égaux à 7 tels que l’entier A = p41+p

4 2+ . . .+p

4 15 soit un nombre premier ?

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par :

{

f (0) = 1

f (x) = 1

2 x2(3−2lnx)+1 si x > 0

A. P. M. E. P. Baccalauréat S

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (

O, −→ ı ,

−→

)

.

Partie A

1. a. Calculer lim x→0

f (x). Que peut-on en déduire pour la fonction f ?

b. Déterminer la limite de f en +∞.

2. a. Étudier la dérivabilité de f en 0.

b. Montrer que f est dérivable sur l’intervalle [0 ; +∞[ et calculer f ′(x) pour x > 0, f ′ désignant la fonction dérivée de f .

3. Étudier le sens de variations de f sur [0 ; +∞[, puis dresser son tableau de variations.

4. Montrer que l’équation f (x) = 0 possède une solution unique α sur l’inter- valle [0 ; +∞[. Déterminer une valeur approchée décimale de α à 10−2 près.

Partie B

1. Calculer une équation de la tangente D à la courbe C au point d’abscisse x = 1.

2. On considère la fonction g : x 7→ f (x)−2x− 1

2 définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

a. Calculer g ′(x), puis g ′′(x) où g ′ et g ′′ désignent respectivement les fonc- tions dérivées première et seconde de g . Étudier le sens de variations de g ′. En déduire le signe de g ′(x) sur ]0 ; +∞[

b. Étudier le sens de variations de g .

En déduire la position de la courbe C par rapport à la tangente D.

3. Construire la courbe C et la tangente D (unité graphique : 2 cm).

Partie C

1. n est un entier naturel non nul.

Exprimer en fonction de n le réel In = ∫1

1 n

x2 lnx dx (on pourra utiliser une

intégration par parties).

2. En déduire en fonction de l’entier n, l’aire An exprimée en cm2 du domaine plan délimité par la courbe C , la tangente D et les deux droites d’équation

x = 1

n et x = 1.

3. Calculer lim n→+∞

An et interpréter le résultat obtenu.

Polynésie 2 septembre 2003

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