Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation
Eusebe_S
Eusebe_S11 April 2014

Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6, Exercices de Modélisation mathématique et simulation

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Exercices de modélisation mathèmatique – correction 6. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1, contrôle de la première conjecture, contrôle de la de...
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[ Baccalauréat S 2003\

L’intégrale demars à novembre 2003

Pour un accès direct cliquez sur les liensbleus

Nouvelle-Calédoniemars 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Pondichéry avril 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Centres étrangers juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Amérique du Nord juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Antilles-Guyane juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

Asie juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Métropole juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

La Réunion juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

Liban juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Polynésie juin 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

Antilles-Guyane septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Métropole septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Polynésie septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

Amérique du Sud novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Baccalauréat S année 2003 A. P. M. E. P.

2

[ Baccalauréat S Nouvelle–Calédonie mars 2003\

Exercice 1 5 points

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On

considère la transformation ponctuelle f qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z2+1.

1. Déterminer les antécédents du point O.

2. Existe-t-il des points invariants par f ? Si oui, préciser leurs affixes respec- tives.

3. Montrer que deux points symétriques par rapport à O ont la même image. Que peut-on dire des images de deux points symétriques par rapport à l’axe des abscisses ?

4. Soit A le point d’affixe zA = p 2

2 (1+ i). Déterminer l’affixe du point A′ image

de A par f puis prouver que les points O, A et A′ sont alignés.

5. Soit θ un nombre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 2π[ et N le point d’affixe eiθ .

a. Montrer que N appartient au cercle (X) de centre O et de rayon 1.

b. Lorsque θ varie, montrer que N ′, image du point N par f reste sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

c. Vérifier que −−−→ ON ′ = 2cosθ−−→ON . En déduire que les points O, N et N ′ sont

alignés.

d. Expliquer la construction du point N ′.

Exercice 2 5 points

Une société de maintenance de photocopieurs désire optimiser ses prestations au niveau des entreprises, afin de proposer un abonnement adapté à ses services. Onnote, pour n entier naturel non nul, In l’évènement « La société intervient durant le n-ièmemois qui suit l’installation d’un photocopieur » et pn = p(In ) la probabilité de l’évènement In . Le bureau d’étude a mis en évidence les résultats suivants pour une entreprise dé- terminée : • p(I1)= p1 = 0,75. • Sachant qu’il y a eu une intervention durant le n-ième mois qui suit l’installation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,04. • Sachant qu’iI n’y a pas eu d’intervention durant le n-ième mois qui suit l’instal- lation d’un photocopieur, la probabilité d’intervention le mois suivant est égale à 0,64. On rappelle que A est l’évènement contraire de l’évènement A et que pB(A) est la probabilité conditionnelle de A sachant que B est réalisé.

PARTIE 1

1. Préciser pIn (In+1) et pIn (In+1) puis calculer p (In+1∩ In ) et p ( In+1∩ In

) en

fonction de pn (n ∈N∗). 2. En déduire pn+1 =−0,6pn +0,64. 3. On considère la suite (qn) définie surN∗ par : qn = pn −0,4.

a. Démontrer que (qn) est une suite géométrique.

Terminale S A. P. M. E. P.

b. En déduire qn puis pn en fonction de n.

c. Donner une valeur approchée de p6 à 10−3 près par excès.

PARTIE 2

Le même mois, la société de maintenance installe un photocopieur dans 10 entre- prises. Six mois plus tard, elle désire libérer une partie de son personnel afin de pro- poser un stage de mise à niveau. On estime que la probabilité d’intervention du service de maintenance durant ce mois auprès de chacune de ces entreprises est égale à 0,373. Donner, à 10−3 près par excès, la probabilité qu’il y ait au moins un déplacement du service demaintenance durant cemois (on supposera que les interventions dans les différentes entreprises sont des évènements indépendants).

Exercice 3 10 points

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−0.1

1 2 3 4 5 6 7 8

A

B

C D

C

(T)

PARTIE I

Sur la figure ci-dessus est tracée dans un repère orthogonal la courbe C représenta- tive de la fonction f f est une fonction définie et dérivable sur R∗+. Les points A, B, C et D sont les points de la courbe C d’abscisses respectives 1,

p e, e et e

p e ; de

plus, A appartient à l’axe des abscisses. La droite (T) est la tangente à C au point D.

1. Dans cette question, on ne demande qu’une observation graphique.

Avec la précision permise par ce graphique :

a. Donner une estimation à 5×10−2 près des coefficients directeurs des tan- gentes à la courbe C aux points A, B, C et D.

b. Préciser combien la courbe C admet de tangentes horizontales, de tan- gentes passant par l’origine, de tangentes de coefficient directeur 1. Pour chacune de ces tangentes, donner l’abscisse du point de contact avec la courbe C .

c. Choisir le seul tableau pouvant décrire les variations de la fonction déri- vée de f . Justifier ce choix.

Nouvelle–Calédonie 4 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

x 0 +∞ x 0 +∞ x 0 +∞e e p e

2. On rappelle que C est la courbe représentative de la fonction f .

On admet que la fonction dérivée de f est définie sur R∗+ par

g (x)= 1− lnx

x2 .

a. Étudier les variations de g . Cela corrobore-t-il votre choix dans la ques- tion 1. c. ?

b. Déterminer les limites de g en 0, puis en +∞. c. Calculer g (1), g

( e p e ) ; puis démontrer que l’équation g (x)= 1 n’a qu’une

seule solution. Quelle observation de la question 1. b. a-t-on démontrée ?

d. Expliquer pourquoi f est définie sur R∗+ par

f (x)= ∫x

1

( 1− ln t

t2

) dt .

Calculer f (x) à l’aide d’une intégration par parties.

Partie II

On étudie la fonction f définie sur R∗+ par

f (x)= lnx

x .

1. Étudier les variations de f , préciser ses limites en 0 puis en +∞. 2. On cherche à justifier les observations de la question I. 1. concernant les tan-

gentes à la courbe C qui sont horizontales, qui ont un coefficient directeur égal à 1 ou qui passent par le point O origine du repère.

Démontrer que, dans chacun de ces cas, une seule tangente vérifie la condi- tion donnée, préciser les abscisses des points de contact correspondants (on pourra utiliser les résultats démontrés dans la partie I. 2. c. et préciser ces points.

3. Étude de la tangente (T) à la courbe C au point D (le point D a pour abscisse e p e).

a. Démontrer qu’une équation de la tangente (T) à C au point D est

y = −x+4e

p e

2e3 .

b. Montrer que le signe de ( 2e3 lnx+ x2−4ex

p e ) détermine la position de

la courbe C par rapport à cette tangente.

c. On note ϕ la fonction définie sur R∗+ par

ϕ(x)= 2e3 lnx+ x2−4ex p e.

À partir des variations de ϕ, déterminer la position de la courbe C par rapport à la tangente (T).

Nouvelle–Calédonie 5 avril 2003

Terminale S A. P. M. E. P.

Partie III Calcul d’aires

1. Démontrer que les abscisses des points A, B etC sont les trois premiers termes d’une suite géométriquedont onprécisera la raison. Vérifier que l’abscisse de D est le quatrième terme de cette suite.

2. Soit x0 un nombre réel strictement supérieur à 1 et E le point de la courbe C d’abscisse x0. On considère les droites ∆A, ∆B, ∆C, ∆D et ∆E parallèles à l’axe des ordonnées et passant respectivement par A, B, C, D et E .

On note U1 l’aire de la partie du plan limite par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆A et ∆C ; U2 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆B et ∆D et U3 l’aire de la partie du plan limitée par l’axe des abscisses, la courbe C et les droites ∆C et ∆E

a. Calculer U1, puis U2.

b. Déterminer x0 pour que U1, U2 et U3 soient les trois premiers termes d’une suite arithmétique. Quelle remarque peut-on faire sur l’abscisse du point E ?

Nouvelle–Calédonie 6 avril 2003

[ Baccalauréat S Pondichéry avril 2003\

EXERCICE 1 4 points

On considère la suite numérique (un ) définie sur N par :

u0 = a, et, pour tout entiern, un+1 =un (2−un )

a est un réel donné tel que 0< a < 1.

1. On suppose dans cette question que a = 1

8 a. Calculer u1 et u2.

b. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’inter- valle [0 ; 2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (Γ) représentative de la fonction : f : x 7→ x(2− x).

c. Utiliser (d) et (Γ) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1 , A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3.

2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle ]0 ; 1[.

a. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, 0<un < 1. b. Montrer que la suite (un ) est croissante.

c. Que peut-on en déduire ?

3. On suppose à nouveau dans cette question que a = 1

8 . On considère la suite

numérique (vn) définie sur N par :

vn = 1−un .

a. Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn .

b. En déduire l’expression de vn en fonction de n.

c. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un ).

EXERCICE 2 5 points Enseignement obligatoire

Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :

(E) z3+2z2−16= 0.

1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme : (z−2)

( az2+bz+c

) = 0, où a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives

zA =−2−2i, zB = 2 et zD =−2+2i.

2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle − π

2 et F l’image de C

par la rotation de centre D et d’angle π

2 .

a. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.

b. Placer les points E et F.

4. a. Vérifier que : zF− zA zE− zA

= i.

b. En déduire la nature du triangle AEF.

5. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de

centre I et d’angle − π

2 .

EXERCICE 2 5 points Enseignement de spécialité

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante

Première partie ABC est un triangle direct du plan orienté. On désigne respectivement par I, J et K les milieux de [AB], [BC] et [CA]. Soit α un réel qui conduit à la réalisation de la figure jointe sur laquelle on raison- nera. Cette figure sera jointe à la copie. d1 est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle α. d2 est l’image de la droite (BC) par la rotation de centre J et d’angle α. d3 est l’image de la droite (CA) par la rotation de centre K et d’angle α. A1 est le point d’intersection de d1 et d3, B1 celui de d1 et d2 et C1 celui de d2 et d3.

1. On appelle H le point d’intersection de (BC) et d1. Montrer que les triangles HIB et HB1J sont semblables.

2. En déduire que les triangles ABC et A1B1C1 sont semblables.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

A - Construction de la figure

1. Placer les points A(−4−6i), B(14), C(−4+6i), A1(3−7i), B1(9+5i) et C1(−3−i). 2. Calculer les affixes desmilieux I, J et K des segments [AB], [BC] et [CA]. Placer

ces points sur la figure.

3. Montrer que A1, I, B1 sont alignés.

On admettra que B1, J, C1 d’une part et C1, K, A1 d’autre part sont alignés.

4. Déterminer une mesure en radians de l’angle (−→ IB ,

−−→ IB1

) .

On admettra que (−−→ KA ,

−−→ KA1

) =

π

4 et que

(−→ JC ,

−−→ JC1

) =

π

4 .

5. Quelle est l’image de la droite (AB) par la rotation de centre I et d’angle π

4 ?

B - Recherche d’une similitude directe transformant ABC en A1B1C1

On admet qu’il existe une similitude directe s transformant les points A, B et C en A1, B1 et C1.

1. Montrer que l’écriture complexe de s est z ′ = ( 1

2 + 1

2 i

) z + 2− 2i, où z et z

désignent respectivement les affixes d’un point et de son image par s.

2. a. Déterminer le rapport et l’angle de s.

Pondichéry 8 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Déterminer l’affixe du centreΩ de s.

3. Que représente le pointΩ pour ABC?

Le candidat joindra cette figure à sa copie

A B

C

A1

B1

C1

I

JK d1

d2

d3

α

α

α

PROBLÈME 11 points

On considère la fonction numérique f définie sur R par :

f (x)= x2ex−1− x2

2 .

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’af- fiche une calculatrice dans un repère orthonormal. Conjectures À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant a. le sens de variations de f sur [−3 ; 2] ? b. la position de la courbe par rapport à l’axe (xx) ? Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les complèter.

Partie A : contrôle de la première conjecture

1. Calculer f ′(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g (x) où g est la fonction définie sur R par g (x)= (x+2)ex−1−1.

Pondichéry 9 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Étude du signe de g (x) pour x réel.

a. Calculer les limites de g (x) quans x tend vers +∞, puis quand x tend vers −∞.

b. Calculer g ′(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.

c. En déduire le sens de variations de la fonction g , puis dresser son tableau de variations.

d. Montrer que l’équation g (x)= 0 possède une unique solution dans R. On note α cette solution. Montrer que 0,20<α< 0,21.

e. Déterminer le signe de g (x) suivant les valeurs de x.

3. Sens de variations de la fonction f sur R.

a. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f ′(x).

b. En déduire le sens de variations de la fonction f .

c. Que pensez-vous de votre première conjoncture ?

Partie B : contrôle de la deuxième conjoncture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe (xx).

1. Montrer que f (α)= −α3

2(α+2) .

2. On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0 ; 1] par h(x)= −x3

2(x+2) .

a. Calculer h′(x) pour x élément de [0 ; 1], puis déterminer le sens de varia- tions de h sur [0 ; 1].

b. En déduire un encadrement de f (α).

3. a. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe (xx).

b. Préciser alors la position de la courbeC par rapport à l’axe des abscisses.

c. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : tracé de la courbe

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie Γ de C cor-

respondant à l’intervalle [−0,2 ; 0,4], dans le repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) avec les

unités suivantes : — sur l’axe des abscisses 1 cm représentera 0,05. — sur l’axe des ordonnées 1 cm représentera 0,001.

1. Recopier le tableau suivant et complèter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n×10−4 (n entier relatif).

x −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 f (x)

2. Tracer alors Γ dans le repère choisi.

Partie D : calcul d’aire

On désire maintenant calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe Γ, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1− ln2.

Pondichéry 10 mars 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction :

x 7→ x2ex .

2. En déduire une primitive F sur R de la fonction f .

3. Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaine D puis en donner une va- leur approchée en cm2.

Pondichéry 11 mars 2003

[ Baccalauréat série S Centres étrangers juin 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

On définit, pour tout entier naturel n > 0, la suite (un) de nombres réels strictement

positifs par un = n2

2n .

1. Pour tout entier naturel n > 0, on pose vn = un+1 un

a. Montrer que lim n→+∞

vn = 1

2 .

b. Montrer que pour tout entier naturel n > 0, vn > 1

2 .

c. Trouver le plus petit entier N tel que si n>N , vn < 3

4 .

d. En déduire que si n>N , alors un+1 < 3

4 un .

On pose pour tout entier naturel n> 5, Sn =u5+u6+·· ·+un . 2. On se propose de montrer que la suite (Sn)n>5 est convergente.

a. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n> 5,

un 6

( 3

4

)n−5 u5.

b. Montrer que pour tout entier naturel n> 5,

Sn 6

[ 1+

3

4 + ( 3

4

)2 +·+

( 3

4

)n−5] u5.

c. En déduire que pour tout entier naturel n> 5, Sn 6 4u5 .

3. Montrer que la suite (Sn)n>5 est croissante et en déduire qu’elle converge.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhi- cules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs commedes chutes depierres, la présence de troupeaux sur la route, etc. Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable alatoire qui mesure la dis- tance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il survienne un inci-

dent. On admet queD suit une loi exponentielle de paramètre λ= 1

82 , appelée aussi

loi de durée de vie sans vieillissement. On rappelle que la loi de probabilité est alors définie par :

p(D6 A)= ∫A

0

1

82 e−

x 82 dx.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis aumillime.

1. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :

a. comprise entre 50 et 100 km ;

b. supérieure à 300 km.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2. Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

3. Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.

a. Aumoyen d’une intégration par parties, calculer I(A)= ∫A

0

1

82 xe−

x 82 dx

A est un nombre réel positif.

b. Calculer la limite de I(A) lorsque A tend vers+∞. (Cette limite représente la distance moyenne cherchée).

4. L’entreprise possède N0 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux deux indépendantes et de même loi exponentielle de para-

mètre λ= 1

82 .

d étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’au- tocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

a. Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètres N0 et e −λd .

b. Donner le nombre moyen d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

EXERCICE 2 6 points Réservé aux candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

L’espace (E) est muni d’un repère

orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface T d’équa- tion : x2y = z avec −1 6 x 6 1 et −16 y 6 1. La figure ci-contre est une repré- sentation de la surface T, dans le cube de centre O et de côté 2.

(1,1,-1)(-2,0,0)(0,-2,0)(0,0,2) [linecolor=blue,drawStyle=xLines](-1,1)(-1,1)x

1. Éléments de symétrie de la surface T.

a. Montrer que si le pointM(x, y, z) appartient àT, alors le pointM ′(−x, y, z) appartient aussi à T. En déduire un plan de symétrie de T.

b. Montrer que l’origine O du repère est centre de symétrie de T.

2. Intersections de la surface T avec des plans parallèles aux axes.

a. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (xOz).

b. Déterminer la nature des courbes d’intersection de T avec les plans pa- rallèles au plan (yOz).

3. Intersections de la surface T avec les plans parallèles au plan (xOy) d’équa- tions z = k, avec k ∈ [0 ; 1]. a. Déterminer l’intersection de la surface T et du plan d’équation z = 0. b. Pour k > 0 on note K le point de coordonnées (0, 0, k). Déterminer, dans

le repère ( K ;

−→ ı ,

−→ ) , l’équation de la courbe d’intersection de T et du

plan d’équation z = k.

Centres étrangers juin 2003 13 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. Tracer l’allure de cette courbe dans le repère ( K ;

−→ ı ,

−→ ) . On précisera en

particulier les coordonnées des extrémités de l’arc.

4. On note (D) le domaine formé des points du cube unité situés sous la surface T.

(D)=M(x, y, z) ∈ (E ) avec 06 x 6 1 ; 06 y 6 1 ; 06 z6 x2y .

a. Pour 0 < k 6 1, le plan d’équation z = k coupe le domaine (D) selon une surface qu’on peut visualiser sur le graphique de la question 3 c.

C’est l’ensemble des points M du cube unité, de coordonnées (x, y, z)

tels que y > k

x2 et z = k.

Calculer en fonction de k l’aire S(k) exprimée en unités d’aire, de cette surface.

b. On pose S(0)= 1 ; calculer en unités de volume, le volume V du domaine (D).

On rappelle que V = ∫1

0 S(k)dk.

PROBLÈME 9 points

On appelle f la fonction définie sur l’intervalle I =]−2 ; +∞[ par

f (x)= 1+ x ln(x+2).

On note ( C f

) la courbe représentative de f dans le repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ) .

(unité graphique 4 cm).

I. Étude de la fonction f

1. Étude des variations de la dérivée f ′.

a. f ′ désigne la fonction dérivée première de f et f ′′ la fonction dérivée se- conde. Calculer f ′(x) puis f ′′(x) pour x appartenant à l’intervalle

]−2 ; +∞[. b. Étudier les variations de f ′ sur l’intervalle ]−2 ; +∞[. c. Déterminer les limites de f ′ en −2 et en +∞.

2. Étude du signe de f ′(x).

a. Montrer que sur l’intervalle ]− 2 ; +∞[ l’équation f ′(x) = 0 admet une solution unique α appartenant à l’intervalle [−0,6 ; −0,5].

b. En déduire le signe de f ′(x) selon les valeurs de x.

3. Étude des variations de f

a. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]−2 ; +∞[. b. Déterminer les limites de f en −2 et en +∞. c. Dresser le tableau de variation de f .

II. Position de la courbe(C f ) par rapport à ses tangentes

Soit x0 un réel appartenant l’intervalle ]−2 ; +∞[ , on appelle Tx0 la tangente ( C f

)

au point d’abscisse x0. On note, pour x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d(x)= f (x)− [ f ′(x0)(xx0)+ f (x0)

] .

1. Étude des variations de d .

Centres étrangers juin 2003 14 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Vérifier que, pour tout x appartenant à l’intervalle ]−2 ; +∞[,

d ′(x)= f ′(x)− f ′ (x0) .

b. En utilisant la croissance de la fonction f ′, donner le signe de d ′(x) selon les valeurs de x. En déduire les variations de d sur l’intervalle ]−2 ; +∞[.

2. Déterminer la position relative de ( C f

) et de Tx0 .

III. Tracés dans le repère ( O,

−→ ı ,

−→

)

1. Déterminer une équation de la droite T0, tangente ( C f

) au point d’abscisse

0 ; tracer T0.

2. Trouver les réels x0 pour lesquels les tangentes Tx0 passent par l’origine du repère puis tracer ces droites.

3. Tracer la courbe ( C f

) pour les valeurs de x comprises entre−1 et 2. On pren-

dra pour α la valeur −0,54 et pour f (α) la valeur 0,8.

Centres étrangers juin 2003 15 juin 2003

Baccalauréat série S Amérique du Nord juin 2003

EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats

Cet exercice est unquestionnaire à choixmultiples constitué de six questions : chacune

comporte trois réponses, une et une seule étant exacte.

Les réponses à cet exercice sont à inscrire dans la feuille jointe en annexe, page 5, en

cochant pour chaque question la case correspondante à la réponse proposée.

Toute réponse ambigüe sera considérée comme une absence de réponse. Toute réponse

exacte entraîne une bonification, toute erreur est pénalisée.

On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 ; +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0, t [, notée p([0 ; t [), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t .

Cette loi est telle que p([0, t [)= ∫t

0 λe−λx dx, où t est un nombre réel positif repré-

sentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).

1. Pour t > 0, la valeur exacte de p([t , +∞[) est : a. 1−e−λt b. e−λt c. 1+e−λt

2. La valeur de t pour laquelle on a p([0, t [)= p([t , +∞[) est :

a. ln2

λ b.

λ

ln2 c.

λ

2 3. D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne

avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :

a. ln

( 50

41

) b. ln

( 41

50

) c.

ln(82)

ln(100) 4. Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux pre-

mières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse au- cune panne l’année suivante est :

a. p([1, +∞[) b. p([3,+∞[) c. p([2 ; 3[ Dans la suite de l’exercice on prendra λ= 0,2.

5. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois pre- mières années, arrondie à 10−4 près, est :

a. 0,5523 b. 0,5488 c. 0,4512

6. Dix appareils neufs de ce type ont été mis en service en même temps. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils qui n’ont pas de panne au cours des trois premières années.

La valeur la plus proche de la probabilité de l’évènement « X = 4 » est : a. 0,5555 b. 0,8022 c. 0,1607

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) , d’unité gra-

phique 1 cm, on considère les points A0, A1, A2 d’affixes respectives z0 = 5−4i, z1 =−1−4i, z2 =−4− i.

1. a. Justifier l’existence d’une unique similitude directe S telle que S(A0) = A1 et S(A1)= A2.

b. Établir que l’écriture complexe de S est z ′ = 1− i 2

z+ −3+ i 2

.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

c. En déduire le rapport, l’angle et l’affixe ω du centreΩ de la similitude S.

d. On considère un point M , d’affixe z avec z 6= 0, et son image M ′, d’affixe z ′.

Vérifier la relation : ωz ′ = i(z z ′) ; en déduire la nature du triangle ΩMM ′.

2. Pour tout entier naturel n, le point An+1, est défini par An+1 = S(An) et on pose un =AnAn+1. a. Placer les points A0, A1, A2 et construire géométriquement les points

A3, A4, A5, A6.

b. Démontrer que la suite (un ) est géométrique.

3. La suite (vn) est définie sur N par vn =u0+u1+·· ·+un = n

k=0 uk .

a. Exprimer vn en fonction de n.

b. La suite (vn) est-elle convergente ?

4. a. Calculer en fonction de n le rayon rn du cercle circonscrit au triangle ΩAnAn+1.

b. Déterminer le plus petit entier naturel p tel que, pour tout entier naturel n : si n > p alors rn < 10−2.

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Le plan est rapporté au repère orthonormé ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA =−1+ i p 3,

zB =−1− i p 3 et zC = 2.

1. Placer ces points sur un dessin.

2. a. Vérifier que : zB− zC zA− zC

= ei π 3 .

b. En déduire la nature du triangle ABC.

c. Déterminer le centre et le rayon du cercle Γ1 circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle Γ1.

3. a. Établir que l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z qui vérifient

2(z+z) + zz = 0 est un cercle de centreΩ d’affixe−2. Préciser son rayon. Construire Γ2.

b. Vérifier que les points A et B sont éléments de Γ2.

4. On appelle r1 la rotation de centre A et d’angle π

3 .

a. Quelles sont les images des points A et B par la rotation r1 ? Construire l’image C1 du point C par la rotation r1 puis calculer son affixe.

b. Déterminer l’image du cercle Γ2 par la rotation r1.

5. Soit r une rotation. Pour tout pointM d’affixe z, on noteM ′ l’image deM par r et z ′ l’affixe deM ′.

On posera : z ′ = az+b, avec a et b des nombres complexes vérifiant |a| = 1 et a 6= 1. On suppose que r transforme le cercle Γ2 en le cercle Γ1.

a. Quelle est l’image du point Ω par r ? En déduire une relation entre a et b.

b. Déterminer en fonction de a l’affixe du point r (C), image du point C par la rotation r ; en déduire que le point r (C) appartient un cercle fixe que l’on définira. Vérifier que ce cercle passe par C1.

Amérique du Nord 17 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

PROBLÈME 10 points Commun à tous les candidats

Partie A : étude d’une fonction f et construction de sa courbe

On considère la fonction f définie sur R par f (x)= e−x ln(1+ex ). On note C sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal( O,

−→ ı ,

−→ ) .

L’unité graphique est 1 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.

1. a. On rappelle que : lim h→0

ln(1+h) h

= 1. Déterminer la limite de f en −∞.

b. Vérifier que pour tout réel x : f (x)= x

ex +e−x ln(1+e−x ).

Déterminer la limite de f en +∞. c. En déduire que la courbe admet deux asymptotes que l’on précisera.

2. On considère la fonction g définie sur l’intervalle ]−1 ; +∞[ par :

g (t)= t

1+ t − ln(1+ t).

a. Démontrer que la fonction g est strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; +∞[.

b. En déduire le signe de g (t) lorsque t > 0.

3. a. Calculer f ′(x) et l’exprimer en fonction de g (ex ) , f ′ désignant la fonction dérivée de f .

b. En déduire le sens de variation de la fonction f puis dresser son tableau de variations.

4. Tracer les asymptotes à la courbe C et la courbe C .

Partie B : comportements asymptotiques d’une primitive F de f sur R

Soit F la fonction définie sur R par F (x)= ∫x

0 f (t)dt .

1. Étudier le sens de variations de la fonction F .

2. a. Vérifier que, pour tout nombre réel t , 1

1+et = 1−

et

1+et et calculer

x

0

1

1+et dt .

b. En déduire, à l’aide d’une intégration par parties, le calcul de F (x).

c. Vérifier que F (x) peut s’écrire sous les formes suivantes :

(1) F (x) = x− ln(1+ex )− f (x)+2ln2.

(2) F (x) = ln (

ex

1+ex

) − f (x)+2ln2.

3. Déterminer lim x→+∞

F (x).

4. Déterminer lim x→−∞

[F (x)− x]. Donner une interprétation graphique de ce ré- sultat.

Partie C : étude d’une suite

Soit (un ) la suite définie sur N∗ par :

un = f (1)+ f (2)+·· ·+ f (n)= n

k=1 e−k ln(1+ek ).

Amérique du Nord 18 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1. Hachurer sur la représentation graphique un domaine dont l’aire, en unités d’aire, est un .

2. Déterminer le sens de variation de la suite (un ).

3. a. Justifier que, pour tout entier k tel que 16 k 6 n, on a :

f (k)6 ∫k

k−1 f (t)dt .

b. Comparer un et F (n).

4. La suite (un ) est-elle convergente ?

Annexe à rendre avec la copie

Réponses à l’exercice 1 (mettre une croix dans la case correspondant à la réponse choisie)

(a) (b) (c)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Amérique du Nord 19 juin 2003

[ Baccalauréat série S Antilles-Guyane juin 2003\

EXERCICE 1 4 points Commun tous les candidats

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) (unité graphique : 2 cm). On

considère les points A et B d’affixes respectives A(3+2i) et B(−1+4i). Extérieurement au triangle OAB, on construit les deux carrés OA1A2A et OBB1B2.

1. a. En remarquant que A2 est l’image de O par une rotation de centre A, dé- terminer l’affixe de A2. En déduire l’affixe du centre I du carré OA1A2A.

b. En remarquant que B1 est l’image de O par une rotation de centre B, dé- terminer l’affixe de B1. En déduire l’affixe du centre J du carré OBB1B2.

2. Calculer l’affixe du milieu K du segment [AB]. À l’aide des affixes des diffé- rents points, calculer les longueurs KI et KJ, ainsi qu’une mesure de l’angle(−→ KI ,

−→ KJ

) . Que peut-on en déduire ?

EXERCICE 2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d’un article ; un contrôle de qualité a montré que chaque article produit par l’entreprise A pouvait présenter deux types de défaut : un défaut de soudure avec une probabilité égale à 0,03 et un défaut sur un composant électronique avec une probabilité égale à 0,02. Le contrôle amontré aussi que les deux défauts étaient indépendants. Un article est dit défectueux s’il présente aumoins l’un des deux défauts.

1. Montrer que la probabilité qu’un article fabriqué par l’entreprise A soit dé- fectueux est égale à 0,0494.

2. Une grande surface reçoit 800 articles de l’entreprise A. Soit X la variable aléatoire qui à cet ensemble de 800 articles associe le nombre d’articles dé- fectueux.

a. Définir la loi de X .

b. Calculer l’espérance mathématique de X . Quel est le sens de ce nombre ?

3. a. Un petit commerçant passe une commande de 25 articles à l’entreprise A.

Calculer, à 10−3 près, la probabilité qu’il y ait plus de 2 articles défectueux dans sa commande.

b. Il veut que sur sa commande la probabilité d’avoir aumoins un article dé- fectueux reste inférieure à 50%.Déterminer la valeurmaximale dunombre n d’articles qu’il peut commander.

4. La variable aléatoire, qui à tout article fabriqué par l’entreprise associe sa durée de vie en jours, suit une loi exponentielle de paramètre 0,0007, c’est- à-dire de densité de probabilité la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par :

f (x)= 0,0007e−0,0007x .

Calculer la probabilité, à 10−3 près, qu’un tel article ait une durée de vie com- prise entre 700 et 1000 jours.

EXERCICE 2 5 points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

1. a. Calculer : ( 1+

p 6 )2 , ( 1+

p 6 )4 , ( 1+

p 6 )6 .

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

b. Appliquer l’algorithme d’Euclide à 847 et 342. Que peut-on en déduire ?

2. Soit n un entier naturel non nul. On note a et b les entiers naturels tels que :

( 1+

p 6 )n

= an +bn p 6.

Que valent a1 et b1 ?

D’après les calculs de la question 1. a., donner d’autres valeurs de an et bn .

a. Calculer an+1 et bn+1 en fonction de an et bn .

b. Démontrer que, si 5 ne divise pas an +bn , alors 5 ne divise pas non plus an+1+bn+1. En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas an +bn .

c. Démontrer que, si an et bn sont premiers entre eux, alors an+1 et bn+1 sont premiers entre eux.

En déduire que, quel que soit n entier naturel non nul, an et bn sont pre- miers entre eux.

PROBLÈME 11 points

A. On se propose de résoudre sur R l’équation différentielle (E) :

y ′−2y = 2 ( e2x 1

) .

1. Montrer que la fonction h définie sur R par :

h(x)= 2xe2x +1

est solution de l’équation différentielle (E).

2. On pose : y = z +h. Montrer que y est solution de (E) si et seulement si z est solution de l’équation différentielle : z ′−2z = 0. Résoudre cette dernière équation différentielle et en déduire les solutions de (E).

3. Démontrer qu’il existe une solution et une seule de (E) s’annulant en 0. Elle sera appelée g et étudiée dans la partie B.

B. On considère la fonction g définie sur R par :

g (x)= (2x−1)e2x +1.

1. Déterminer le sens de variation de g . Présenter son tableau de variations. En déduire le signe de g sur R.

2. a. Résoudre dans R l’inéquation : 1− g (x)> 0.

b. Calculer l’intégrale : I = ∫ 1

2

0 [1− g (x)]dx.

c. Interpréter graphiquement les résultats des questions a. et b..

C. On considère la fonction numérique f définie pour x réel non nul par :

f (x)= e2x −1

x .

1. Calculer les limites de f en −∞, en 0 et en +∞. 2. En déduire que la courbe représentative de f admet une asymptote que l’on

précisera.

3. Déterminer le sens de variation de f et donner son tableau de variations (on pourra utiliser la partie B).

Antilles-Guyane 21 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4. Soit C la courbe représentative de f dans le repère orthogonal ( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

avec pour unités : 4 cm sur ( O ;

−→ ı ) et 2 cm sur

( O ;

−→ ) . Après avoir recopié et

complété le tableau ci-dessous avec des valeurs approchées arrondies à 10−2

près, construire la courbe C pour des valeurs de x comprises entre −2 et 1.

x −2 −1,5 −1 −0,5 −0,2 −0,1 −0,05 0,05 0,1 0,2 0,5 1 f (x)

5. Soit f1 la fonction définie par

{ f1(x) = f (x), x 6= 0 f1(0) = 0

Cette fonction est définie et continue surR. En supposant que f1 est dérivable en 0, expliquer comment on peut déterminer graphiquement une valeur ap- prochée du nombre dérivé f ′(0) ; faire cette lecture graphique.

Quel résultat de limite cela permet-il de conjecturer ?

D. On se propose de trouver un encadrement de l’intégrale :

J= ∫−1

−2

e2x −1 x

dx.

Montrer que pour tout x de [−2 ; −1] on a : − 0,86

x 6

e2x −1 x

6− 0,99

x .

En déduire un encadrement de J d’amplitude 0,1.

Antilles-Guyane 22 juin 2003

[ Baccalauréat S Asie juin 2003\

EXERCICE 1 5 points Commun tous les candidats

L’espace E est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; −2 ; 2) ; B(6 ; 1 ; 5) ; C(6 ; −2 ; −1).

A

B

D

C

O−→ ı −→

−→ k

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2. Soit P le plan d’équation cartésienne x+ y + z−3= 0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3. Soit P′ le plan orthogonal la droite (AC) et passant par le point A.

Déterminer une équation cartésienne de P′.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, droite d’inter- section des plans P et P′.

Partie B

1. Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ; −1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

2. Calculer le volume du tétraèdre ABDC.

3. Montrer que l’angle géométrique BDC a pour mesure π

4 radian.

4. a. Calculer l’aire du triangle BDC.

b. En déduire la distance du point A au plan (BDC).

EXERCICE 2 4 points Enseignement obligatoire

Γ est le cercle de centre O et de rayon 2 p 2.

Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. À tout point M d’affixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z2−2(1+ i)z.

On pose z = x+ iy et z ′ = x′+ iy ′, où x, y, x′ et y ′ sont des nombres réels.

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

a. Exprimer x′ et y ′ en fonction de x et y .

b. Soit H l’ensemble des points M tels que z ′ soit un nombre réel. Montrer que H est la représentation graphique d’une fonction h que l’on déter- minera (l’étude de la ronction h n’est pas demandée). H est tracée sur ie graphique ci-dessous.

2. Montrer que le point A d’affixe a = 2(1+ i) appartient à Γ et H .

3. Soit R la rotation de centre O et d’angle 2π

3 . On note B et C les points tels que

R(A) = B et R(C) = A.

a. Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isomé- triques.

b. Quelle est la nature du triangle ABC?

c. Montrer que B et C appartiennent à Γ et H .

d. Tracer Γ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

−→ u

−→ v

O

EXERCICE 2 4 points Enseignement de spécialité

1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n3 −11n +48 est divisible par n+3.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n2−9n+16 est un entier naturel non nul.

2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, l’égalité sui- vante est vraie :

PGCD(a ; b)= PGCD(bca ; b).

3. Montrer que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 2, l’égalité sui- vante est vraie :

PGCD ( 3n3−11n ; n+3

) = PGCD(48 ; n+3).

4. a. Déterminer l’ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.

b. En déduire l’ensemble des entiers naturels n tels que 3n3−11n

n+3 soit un

entier naturel.

Asie 24 juin 2003

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

PROBLÈME 11 points

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

Partie A

Soit f la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par

f (x)= 1+2lnx

x2 .

Soit (C ) la courbe représentative de f et soit (C ′) celle de la fonction h définie sur

]0 ; +∞[ par h(x)= 1

x .

1. Déterminer les limites de f en 0 et en+∞. En déduire que (C ) a deux asymp- totes que l’on déterminera.

2. Calculer la dérivée f ′ de f et étudier les variations de f .

3. Soit I le point d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I.

4. Pour tout x de ]0 ; +∞[, on pose g (x)= 1− x+2ln x. a. Étudier les variations de la fonction g .

b. Montrer que l’équation g (x)= 0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0 ; 2[ et ]2 ; 4[. Soitα la solution appartenant ]2 ; 4[. Donner un encadrement de α d’amplitude 10−2.

5. a. Montrer que f (x)− 1

x =

g (x)

x2 et en déduire que (C ) et (C ′) se coupent en

deux points.

b. Montrer que, pour tout réel x supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie :

0< f (x)6 1

x .

6. Tracer (C ) et (C ′).

Partie B

1. Soit D la partie du plan définie par les inégalités suivantes :

{ 16 x 6α (α est le réel défini dans la partie A) 06 y 6 f (x)

a. Déterminer l’aire de D, notée A (α), en unités d’aire (on utilisera une in- tégration par parties).

b. Montrer que A (α)= 2− 2

α et donner une valeur approchée deA (α) 10−2

prs.

2. Soit la suite (In ) définie pour n supérieur ou égal à 1 par :

In = ∫n+1

n f (x)dx.

a. Montrer que, pour tout n supérieur ou égal à 4, la double inégalité sui- vante est vraie :

06 In 6 ln

( n+1 n

) .

b. En déduire que la suite (In ) converge et déterminer sa limite.

Asie 25 juin 2003

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