Exercices de sciences et technologie, Exercices de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez28 janvier 2014

Exercices de sciences et technologie, Exercices de Mathématiques Appliquées

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Exercices de mathématiques concernant les sciences et la technologie - Université d’Artois. Faculté Jean Perrin LENS - Licence Sciences et Technologie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: fiches de 1 à 12 et...
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Fichas12-06-07

Université d’Artois Faculté Jean Perrin LENS

Licence Sciences et Technologie

Premier Semestre

UC3

Année 2006-2007

docsity.com

Université d’Artois. Faculté Jean Perrin LENS Licence Sciences et Technologie Semestre 1 TD de UC3. Année 2006-2007

Fiche 1 Exercice 1: Un câble de 20 m de long est tendu entre le sommet d'un poteau vertical et le sol horizontal. Il forme un angle de 40° avec le sol ( voir schéma ). Calculer la hauteur du poteau.

Exercice 2: Compléter le tableau de correspondance entre mesures en degrés et mesures en radians.

Degrés 3 10 12 18

Radians 20

π

12

π

Exercice 3: Sans se servir de la calculatrice, mais à l’aide des valeurs remarquables et des règles usuelles

de calcul, donner la valeur exacte des sinus, cosinus et tangente des nombres suivants : 43 513 -611

, , 6 3 4

π π π .

Exercice 4: Simplifier l’expression suivante :

5 3 7 cos sin sin cos

2 2 2 2 x x x x

π π π π       + − − + + − +               

Exercice 5 :

Soit x un nombre réel, 0 x π≤ ≤ . On suppose que : 3cos 7

x −= . Sans chercher à trouver x

calculer sin x et tan x .

Exercice 6 : Soient a et b deux nombres réels tels que :

, , , , ( ) , 2 2 2

a k k b k k a b k k π π ππ π π     ∉ + ∈ ∉ + ∈ + ∉ + ∈     

         .

1) Démontrer que tan tan

tan( ) 1 tan tan

a b a b

a b

++ = −

.

2) En déduire la valeur exacte de 7

tan 12

π .

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Fiche 2

Exercice 1: On donne z = 3 + 4 i et z' = 2 - i . Calculer z + z' , z z', z2 .

Exercice 2:Résoudre dans IC, l'équation: i z + 3 i-5 = - 20 + 22 i

Exercice 3: Déterminer la forme algébrique du complexe z :

( )44 5) ) 1 . 1 2

i a z b z i

i

+= = − −

Exercice 4: Calculer les modules des nombres complexes suivants :

2

3 1 3 ) 3 7 ) ) 5 ) .

2 1

i a i b i c d

i

 − +− −   − 

Exercice 5: On donne 1 3.z i= − + Chercher une forme trigonométrique de z.

Exercice 6: Soit u i= −1 et v i= − +1 3 Mettre u×v sous forme trigonométrique.

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Fiche 3

Exercice 1:

On donne

2006

1 3 .

2 2 u i

  = +    

Calculer u.

Exercice 2: On donne ( )z i= +1 4 et ( )z i' .= −3 3 . Ecrire une forme trigonométrique du complexe Z tel que Z = z / z', puis sa forme algébrique.

Exercice 3: Calculer cos 3α et sin4α en fonction de cos α et sinα , avec α ∈  .

Exercice 4: Linéariser 2 2 4cos , sin , sin ( ).α α α α ∈ Exercice 5: Résoudre les équations dans IC : 2 21) 7 2) 3.z z= = −

Exercice 6: Chercher les racines carrées de i et de 5 12 i− .

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Fiche 4

Exercice 1: Soit l'application

2

:

2 2 5

f

z z z

→ + +

 

a

1) Résoudre dans IC l'équation f (z) = 0.

2) Ecrire f (z) sous forme d'un produit de facteurs.

Exercice 2:

Déterminer les racines cubiques de u

i= +1 2

.

Exercice 3: 1) Ecrire le nombre complexe 8 i sous forme trigonométrique.

2) Déterminer les racines cubiques (complexes) de 8 i . On écrira les solutions sous forme

trigonométrique puis sous forme algébrique.

Exercice 4: Résoudre dans IC l’équation : ( 3 + i ) z 2 + ( 1 + 2 i ) z + ( 1 + 2 i ) = 0

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Fiche 5

Déterminer les limites suivantes :

5 3 2

2 2

0

2 2

2

20 2

2 1 1 1) lim 2) lim

2 3 2 1

1 cos 3) lim 4) lim

1 tan

5) lim 2 2 2 6) lim 2 2

1 cos 5 6 7) lim 8) lim cos

2

x x

x x

x x

x x

x x x x

x x x

x x x

x x

x x x x x x

x x x

x x π

→+∞ →−∞

→+∞ →

→−∞ →−∞

→ →

   + − + −    + + +     + −   + 

+ + + + + +

 − − +  − 

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Fiche 6

Exercice 1: Déterminer l'ensemble de définition, les asymptotes éventuelles et la position de la courbe par

rapport aux asymptotes de la fonction 2 1

: 1

x x f x

x

+ − −

a .

Exercice 2: Soit 2: 2f x x x+a .

1) La fonction f est-elle continue en 0 ?

2) La fonction f est-elle continue sur  ?

Exercice 3: Etudier les variations de f x x x: → + −2 5 43 définie sur  . En déduire que l'équation 2 5 43x x+ − = 0 admet une racine et une seule x0 appartenant à ] [ 0 1, . Donner une valeur approchée de x0 à 10

2− prés par défaut.

Exercice 4: Soit f la fonction définie par f x x x: .→ + −5 3 12 Etudier la dérivabilité de f en 1.

1) Déterminer l'ensemble de définition D.

2) f est-elle continue sur D?

3) Etudier la dérivabilité de f en 1. 3) Etudier la tangente en 0 ( 1 , 5 )M .

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Fiche 7 Après avoir déterminé l’ensemble de définition et l’ensemble de dérivabilité, calculer la dérivée de chaque fonction f définie par :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

3 2

2 2

4 1) ( ) 1

( 3)

sin 2) ( )

1 cos

3) ( ) tan(2 1)

4) ( ) 1

5) 1

1 6)

1 1

f x x x

x f x

x

f x x

f x x x x

f x x x

f x x x

= + + −

= +

= −

= + +

= + +

= + +

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Fiches 8 et 9 Exercice 1: Etudier les fonctions suivantes:

21) ( ) 2f x x x= − (ensemble de définition, continuité, tableau de variation, graphe, axe de symétrie, dérivabilité en 0)

( 2) 2) ( )

( 1)( 3)

x x f x

x x

−= − −

(étude, graphe)

Exercice 2:

1) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par : 2 1

( ) 2 1

x f x

x

−= +

.

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (0; , )i j r r

, on désigne par C la représentation

graphique de f .

a) Etudiez la fonction f (ensemble de définition, limites, tableau de variation).

b) Tracez C ainsi que ses asymptotes éventuelles. c) Soit g la fonction numérique de la variable réelle x définie par : ( ) ( )g x f x= . On

désigne par C ’ la représentation graphique de g dans le repère (0; , )i j r r

.

Déduisez de la question précédente le construction de C ’.

Utilisez la courbe C ’ pour établir le tableau de variation de g.

2) Soit h la fonction numérique de la variable réelle x définie par : 1 2

( ) ln 1 2

x h x

x

−= +

.

On désigne par Γ la représentation graphique de h dans un repère orthonormé ( ; , )u vΩ r r

. (On

prendra pour unité 4 cm.)

a) Démontrez que h est une fonction impaire.

b) Etudiez la fonction h (on pourra utiliser les variations de g )

c) Tracez Γ ainsi que ses asymptotes éventuelles.

3) Soit H l’application de l’intervalle 1 1

; 2 2

−    

dans  définie par :

[ ]1 2 1( ) ln ln (1 2 )(1 2 ) 1 2 2

x H x x x x

x

−= − − + +

.

Démontrer que H est une primitive de h sur 1 1

; 2 2

−    

.

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Fiche 10

Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :

22ln 4 ln(4 )A e= −

4 2 1ln 2 ln(2 )

4

x xeB e +

  = − 

 

Exercice 2 : Comparer, sans calculatrice, les réels 3ln( ) 2a e= − et ln( ).b e e= .

Exercice 3 : Résoudre l’inéquation, d’inconnue n entier naturel :

2 n

10 3

1 −≤ 

  

2 0,2

5

n  ≥    

Exercice 4 :

Après avoir déterminé son ensemble de définition, résoudre l’équation suivante :

a) ln 3 1 ln 1 ln( 2)x x x− + − = −

b) 1

ln 2 ln(3 ) ln 1. 2

x x x= − − +

Idée : se ramener à une équation de la forme ln( ( )) ln( ( ))u x v x= , où u et v sont des polynômes.

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Fiche 11

Exercice 1 : Simplifier les expressions suivantes :

2 ln8

3 ln 4

e a

e

+

+= ( ) ( ) 3 62x xb e e−=

( ) 4

2

x

x

e c

e e =

2

0,2

x d

x x =

Exercice 2 : Résoudre l’équation ou l’inéquation proposée, d’inconnue x réel :

)a 2x xe e− = )b

23 1 1xe − ≥ )c 3 0xe − ≤

Exercice 3 : Préciser l’ensemble sur lequel les fonctions suivantes sont dérivables, et calculer leur dérivée :

1) ( ) ( )ln lnf x x= 2) ( ) 1ln 1

x f x

x

−= +

3) ( ) 1xf x x=

Exercice 4:

Soit la fonction f, définie sur  par ( ) 2 1. x

xf x e += a) Rechercher les asymptotes à la courbe fC de f.

b) Déterminer l’équation de la tangente à fC au point J(0,1).

c) Etudier les variations de f . d) Tracer fC , sachant que 6481e

2 1

,≈ et 6060e 21 ,≈− .

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Fiche 12

Déterminer les limites suivantes :

1) lim ln

x

x

e

x→+∞ 2)

( )10 lim

ln

x

x

e

x→+∞

3) ( ) ( )lim ln 2 1 ln 2 x

x x →+∞

+ − + 4) ( )3 2lim ln x

x x →+∞

5) ln

2 lim

x x

x

e

x→+∞ 6)

2

lim 7

x

xx

e →+∞

7) ln 2

0

1 lim

x

x

e

x→ −

8) ( )

0

ln 1 lim

2x

x

x+→

+

9) ( )3 22 0

lim ln x

x x x +→

+ 10) 1lim ln 1 x

x x→+∞

 −   

11) ( )32lim 7 1 x

x e x x

→+∞ − + 12) ( )1lim 1xx x e→+∞ −

13) ( )23 0

lim ln 3 x

x x +→

Pour s’entraîner à la maison :

14) ( )23lim ln x

x x x

→+∞ − 15) ( )13lim xx x x e−→+∞ −

16) ( ) 2

lim ln 1

x

x x→+∞ + 17)

2

0

1 lim

x

x

e

x→ −

18) ( )2lim 2 ln x

x x x →+∞

+ − 19)

1 ln 2

lim 1x x

x e →+∞

  − 

 

20) ( )2lim 1 x x

x e →−∞

+ 21) 2lim x x

e x →+∞

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