Exercices de sciences mathématiques 10, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 mai 2014

Exercices de sciences mathématiques 10, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur le signe d'une fonction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d'une fonction auxiliaire, Étude d’une fonction auxiliaire g, Étude de la fonction f.
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M. IBGUI Pour le 27 février 2006 1 S3

Le but de ce DM est de déterminer le signe d'une fonction, dite fonction auxiliaire, pour déterminer le signe

d'une fonction dérivée.

Exercice I

1. Étude d'une fonction auxiliairef :

Soit f la fonction définie sur  0 ;  par   1f x x x  .

1.a. Calculer  1f et la limite de f en  .

1.b. Calculer  'f x puis dresser la tableau de variation de f .

1.c. En déduire le signe de f sur  0 ;  . Justifier votre réponse en utilisant le sens de variation de f !

2. En déduire que pour tout x de l'intervalle  0 ;  , 1

2 3x x

  en précisant le cas d'égalité.

Aide : on pourra dresser le tableau de variation de la fonction g définie sur  0 ;  par

  1

2g x x x

  après avoir vérifié que    

2 '

f x g x

x  .

Exercice II

On considère la fonction f définie sur  \ 1;1 par   3 2

2

2

1

x x f x

x

 

 et on note C sa courbe

représentative dans un repère orthogonal. Unité graphique : 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.

Partie A. Étude d’une fonction auxiliaire g :

Soit la fonction g : 3 3 4x x x  , x .

1. Déterminer la limite de g en  et en  .

2. Dresser le tableau de variation de g .

3. Montrer que l’équation 0)( xg admet une unique solution  dans .

4. Vérifier que 2,19 2,2  .

5. En déduire le signe de g sur .

Partie B. Étude de la fonction f

6. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. On précisera les équations des

asymptotes à la courbe C

7.a. Montrer que, pour tout x de  \ 1;1 ,    

  2

2 '

1

x g x f x

x

.

7.b. En déduire le signe de  'f x , puis dresser son tableau de variation de f .

8.a. Montrer que, pour tout x de  \ 1;1   2 2

2 1

x f x x

x

   

 .

8.b. En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique D en  et en  .

8.c. Étudier la position de C par rapport à D en précisant le point d'intersection de C et D .

9. Tracer C et D sans omettre les tangentes horizontales. [On prendra    2,2f f  .]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Série1

Série3

Série5

Série6

Série7

Série8

Série2

Série4

C est la représentation graphique de la fonction f : x 3 2

2

2

1

x x

x

C

D

1x   1x

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