Exercices de sciences mathématiques 10, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 10 sur le plus grand diviseur commun des nombres. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Résoudre l’équation, déduire les primitives des fonctions.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Besançon septembre 1969 \

EXERCICE 1

Calculer le plus grand diviseur commun des nombres

5145, 4410 et 3675.

Résoudre l’équation :

3675x −5145y = 4410,

x et y appartiennent àN, ensemble des entiers naturels. [On remarquera que (x = 4, y = 2) est une solution particulière de l’équation,]

EXERCICE 2

Démontrer que la fonction (ax +b)ex admet une primitive de la forme (mx +p)ex . En déduire les primitives des fonctions

(x −1)ex et (2x −3)ex .

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’axes x′Ox et y ′Oy . À tout nombre complexe z = x + i y (x ∈R, y ∈R), on associe le point m de coordon- nées x et y ; m est dit l’image de z ; z est dit l’affixe de m. On désigne par A, B, P, Q les

images respectives des nombres −1, +1, + 1

2 , +2 et par (C ) le cercle de diamètre AB.

À tout point m différent de Q on associe son affixe, z, puis le nombre complexe

Z = (2z −1)z

z −2

et enfin l’image, M , de Z . On désigne par T l’application qui à m associe M .

1. Onsuppose quem parcourt le segmentAB. En étudiant, dans l’intervalle [−1 ; +.1], la fonction f de la variable réelle x, donnée par

f (x)= (2x −1)x

2− x ,

trouver l’ensemble transformé du segment AB par T .

2. Démontrer que Z peut s’écrire sous la forme

Z = az +b + c

z −2

a, b et c étant réels.

On pose X = Z + iY , X et Y étant réels. Calculer y en fonction de x et y et en déduire l’ensemble des positions de m telles que M appartienne à xx.

3. On pose Z1 = 2z −1

2− z · Démontrer que

|Z1| = 2 mP

mQ et ArgZ1 =

(

−−→ mQ ,

−−→ Pm

)

.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

4. Montrer que, si m est intérieur à (C ), c’est-à-dire si |z| < 1, alors |Z1| < 1 et M est aussi intérieur à (C ), puis que, si m est extérieur à (C ), alors M est extérieur à (C ).

5. On suppose que m appartient au demi-cercle (C ′) de diamètre AB qui contient l’image de i. On désigne par θ l’argument de z (06 θ6 π) et par ϕ l’argument de Z1. Montrer que sinϕ> 0.

On suppose 06ϕ6π. Calculer cosϕ en fonction de cosθ et en déduire que ϕ est une fonction croissante de θ.

Besançon 2 septembre 1969

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