Exercices de sciences mathématiques 12, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 May 2014

Exercices de sciences mathématiques 12, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques sur le Le triangle de Sierpinski. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Étude d'un triangle n. Un tracé bien long. Vers le blanc.
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M. IBGUI pour lundi 27 mars

1 S3 Devoir maison n°12

Le triangle de Sierpinski  1882 1969

On dispose au départ d'un triangle équilatéral de côté 3 cm dont l'intérieur est noir.

A la première étape, on construit le triangle des milieux que l'on colorie en blanc.

A la deuxième étape, on répète l'opération précédente pour chacun des trois triangles noirs de l'étape 1.

Étape 1 Étape 2 Étape 3

Et ainsi de suite ... indéfiniment !

Le dessin ci-contre est celui qui correspond à la 5ième étape.

On s'intéresse aux triangles blancs nT construits lors de la n-ième étape.

Pour 1n  , on désigne par nu le nombre de triangles nT , par np le périmètre et

par na l'aire d'un triangle nT .

Partie A : Étude d'un triangle nT

1. Calculer 1u , 1p et 1a .

2. Indiquer comment 2u , 2p et 2a s'obtiennent à partir de 1u , 1p et 1a .

3. Cela reste-t-il vrai de l'étape n à l'étape 1n  ?

4. En déduire la nature des suites  nu ,  np et  na puis exprimer nu , np et na en fonction de n .

Partie B : Un tracé bien long

Soit nP la somme des périmètres de tous les triangles nT construits au cours de l'étape n .

5. Exprimer nP en fonction de nu et np puis vérifier que pour 1n  ,  3 1,5 n

nP   .

6. Calculer la limite des suites  nu ,  np et  nP . En quoi cette dernière limite est-elle surprenante ?

7. A partir de quelle étape nP dépasse-t-il 1 m ? 10 km ?

Partie C : Vers le blanc

8. On désigne par nA la somme des aires de tous les triangles nT construits au coursde l'étapen .

8.a. Montrer que pour 1n  , 3 3

0,75 4

n nA   .

8.b. En déduire la limite de la suite  nA . 9. On désigne par nS la somme des aires de tous les triangles blancs obtenus lors desn premières étapes.

9.a. Conjecturer graphiquement la limite de la suite  nS .

9.b. Etablir que, pour 1n  ,   9 3

1 0,75 4

n nS    et valider votre conjecture.

9.c. A partir de quelle étape, le triangle est-il blanc à plus de 99 % ?

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