Exercices de sciences mathématiques 3, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 3 sur les restes de la division. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation de congruence, la fonction f, Le mouvement d’un point M.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Aix en Provence septembre 1969 \

EXERCICE 1

Étudier les restes de la division par 7 des nombres

2n et 3n (n ∈N).

et résoudre alors l’équation

2x +3x ≡ 0 (mod7),

x est un entier positif eL où le symbole ≡ désigne une relation de congruence.

EXERCICE 2

On considère la fonction f définie pour x réel par

f (x)= e−x (x +a),

a est une constante réelle, dont on calculera la valeur, sachant que f ′(−1)= 0.

1. Variation et représentation graphique de la fonction f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy).

2. Calculer A et B pour que (Ax +B)e−x soit une primitive de f .

Calculer l’aire de la partie du plan comprise entre la courbe, l’axe Ox et les parallèles à Oy d’abscisses −2 et −1.

EXERCICE 3

Le mouvement d’un point M est rapporté à un repère orthonormé (Ox, Oy). Les coordonnées, x et y , de M sont exprimées en fonction du temps t par

x = tg2 t −1 et y = 2tg t t ∈ ]

π

2 ; +

π

2

[

.

1. Déterminer analytiquement la trajectoire. La construire dans le repère donné. Préciser ses éléments géométriques.

2. Soit −−−→

MV le vecteur vitesse à la date t . Calculer en fonction de t le module et l’argument de chacun des nombres complexes z et Z ayant pour images

respectives les vecteurs −−−→

OM et −−−→

MV .

3. Calculer le nombre complexe Z ′ dont l’image est le vecteur −−−→

M N transformé

de −−−→

MV par la similitude directe de centre M , de rapport k = cos2 t et d’angle

α=−

π

2 .

En déduire les coordonnées de N en fonction de t . Étudier l’ensemble des points N quand t varie. Expliquer géométriquement le résultat obtenu.

4. M étant la position du mobile à la date t (

π

2 < t < 0

)

et M1 sa position à la

date t1 = t + π

2 , montrer que M , O et M1 sont. alignés et que les vecteurs

−−−→

MV

eL −−−−→

M1V1 (vecteurs vitesse aux daLes t et t1) ont des supports perpendicu- laires.

Quel est, quand t varie, l’ensemble des points R, conjugués harmoniques de O par rapport à M et M1 ?

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

5. On transforme M et M1 respectivement en P et P1 par l’inversion de pôle O et de puissance 4. Soit I le milieu de PP1.

Calculer les affixes des pointsP,P1 eL I en fonctionde t . Endéduire l’ensemble des points I quand t varie. Retrouver géométriquement ce résultat.

Aix en Provence 2 septembre 1969

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