Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S16 mai 2014

Exercices de sciences mathématiques 4, Exercices de Méthodes Mathématiques

PDF (208 KB)
2 pages
262Numéro de visites
Description
Exercices de sciences mathématiques sur l'intervalle. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les questions sont indépendantes, les coordonnées polaires des points, les angles de vecteurs.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu2 pages / 2
Télécharger le document

M. IBGUI Pour le 3 novembre 2005 1 S3

Exercice 1 : les questions sont indépendantes

1. Montrer que, pour tout réel x différent de 2

k    , k , 2 2 2 2tan sin tan sinx x x x   .

2.a. Montrer que pour tout  de l'intervalle ; 2 2

      

, le réel sin 4 2

    

  est un réel positif (ou nul).

2.b. En déduire 1 sin

2

  sin

4 2

    

  . (Aide : ces deux réels étant positifs, cela revient à comparer leur carré.)

3.a. Démontrer que pour tout réel y , 3cos3 4 cos 3 cosy y y  . (On a exprimé cos3y en fonction de cos y .)

3.b. Exprimer sin3y en fonction de sin y .

3.c. En déduire que pour tout réel y , on a 5 3cos5 16 cos 20 cos 5 cosy y y y   .

Exercice 2

Dans le repère orthonormal ; ,O i j   

   

, unité graphique 2 cm, on donne les points A et B de coordonnées

cartésiennes :  3 ; 1A et  1 ; 3B  . 1. Déterminer les coordonnées polaires des points A et B . Placer alors ces points dans le repère.

2. Déterminer la mesure principale de l'angle ,OA OB       

. En déduire la nature du triangle OAB .

3. Déterminer les coordonnées polaires du point C tel que OACB soit un carré direct.

4. Déterminer les coordonnées cartésiennes du point C . (Aide : le quadrilatère OACB est un parallélogramme.)

5. En déduire les lignes trigonométriques de 5

12

π puis de

12

π .

Tournez la page SVP

Exercice 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct  

 

  jiO ,, . Unité graphique : 4 cm.

1.a. Placer sur le cercle trigonométrique C les points , , ,I A B C et D d'abscisses curvilignes respectives 0 ,

2

5

π ,

4

5

π ,

6

5

π et

8

5

π .

1.b. Vérifier que les angles de vecteurs ,OI OA       

, ,OA OB       

, ,OB OC       

et ,OC OD       

ont tous

pour mesure 2

5

π . Le polygone IABCD ainsi construit est un pentagonerégulier.

2. On pose u

OI OA OB OC OD     

    .

2.a. Déterminer les coordonnées des vecteurs OI 

, OA 

, OB 

, OC 

et OD 

dans la base ,i j       

.

2.b. En déduire que u

est colinéaire à OI 

. (Aide : deux réels opposés ont le même cosinus et des sinus opposés.)

2.c. Dans une autre base orthonormale judicieusement choisie, montrer u

est aussi colinéaire à OA 

.

2.d. En déduire que : 0u  

 puis que 2 4

1 2 cos 2 cos 0 5 5

     .

3.a. A l'aide de la question 2.d , montrer alors que 2

cos 5

 est solution de l’équation 24 2 1 0X X   puis

la résoudre.

3.b. En déduire 2

cos 5

puis

4 cos

5

 .

4. Questions subsidiaires :

4.a. Déterminer les lignes trigonométriques du réel 2

5

 .

4.b. En déduire les lignes trigonométriques des réels suivants : 3

5

 ;

7

5

 ;

10

 ;

9

10

 .

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Télécharger le document