Exercices de sciences mathématiques 5, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 5 sur l’approximation de la table des logarithmes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le nombre complexe, le repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f....
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amiens juin 1969 \

EXERCICE 1

Résoudre dans l’ensemble, R, des nombres réels l’équation suivante :

6(lnx)2−19lnx−7= 0.

On donnera, pour chaque solution, la valeur exacte, puis la valeur approchée avec l’approximation de la table des logarithmes.

EXERCICE 2

On considère le nombre complexe z = 1= i tanϕ ϕ est un nombre réel tel que

0<ϕ<π et ϕ 6= π

2 .

Quel est le module et quel est l’argument du nombre complexe Z = z

1− z .

Si Z1 et Z2 sont les valeurs correspondants respectivement à ϕ1 = π

6 et ϕ2 =

5π

6 ,

placer dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé les points M1 et M2 ayant respectivement pour affixe Z1 et Z2.

3

On considère un repère orthonormé (

O, −→ ı ,

−→

)

; on appelle xx et y y les parallèles

menées par O respectivement à −→ ı et

−→ et (∆) la droite d’équation xy = 0.

Un point P(α ; α) de (∆) se projette orthogonalement en Q sur y y . On considère les points A et B définis par

−→ PA =

a p 2

2 · −→ ı et

−→ PB = a ·

−→ ,

a étant un nombre réel donné, strictement positif.

1. La perpendiculaire en Q à la droite BQ coupe la droite PB en N et la perpendi- culaire en A à la droite AN coupe la droite PB en M. Calculer en fonction de α et a, les coordonnées x et y , de M et en déduire qu’elles satisfont la relation

y = 2x3+a3

2x2 .

2. On appelle (Ca ) la courbe représentative de la fonction f a qui, à la variable réelle x, fait correspondre

fa(x)= 2x3+a3

2x2 .

Étudier les variations de fa .

Tracer la courbe (C1) correspondant à la valeur 1 du paramètre a. Montrer que (Ca) se déduit de (C1) par une homothétie de centre O. Quel est, lorsque a varie, l’ensemble des points des courbes (Ca ) où la tangente est parallèle à xx ?

Dans la suite du problème on suppose a = 1.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Soit M (

x0 ; y0 )

un point de (C1) ; la tangente en M à (C1) recoupe y y en H , coupe (∆) en K et recoupe (C1) en M ′ ?. Montrer que l’on a, quel que soit la

position deM sur (C1), −−−→ MK =

−−−→ M H et que le rapport

−−−→ MH −−−→ MK

est une constante,

que l’on calculera.

4. Quelle est l’aire de la surface comprise entre (∆), la courbe (C1) et les parallèles à y y d’équations x = 1 et x = b (b > 1) ? Cette aire admet-elle une limite lorsque b tend vers plus l’infini ?

Amiens 2 juin 1969

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