Exercices de sciences mathématiques 6, Exercices de Méthodes Mathématiques

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Exercices de sciences mathématiques 6 sur les nombres complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les points fixes, l’équation.
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Durée : 4 heures

[ Baccalauréat C Amiens septembre 1969 \

EXERCICE 1

Résoudre, dans l’ensemble, C, des nombres complexes, l’équation

Z 2−4(6+ i)Z +3(63+16i)= 0.

EXERCICE 2

O et O′ étant deux points distincts du plan, on désigne respectivemenL par S la simi-

litude de centreO, d’angle π

3 et de rapport 2, par S ′ la similitude de centre O′, d’angle

2π

3 et de rapport

1

2 .

On fait la transformation S d’abord, la transformation S ′ ensuite ; déterminer la trans- formation produit T = S ′ ◦S (on montrera qu’elle admet un point double, que l’on construira).

EXERCICE 3

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (

O, −→

ı , −→

)

. On appelle xx et y y les

parallèles menées par O respectivement aux vecteurs t et j. On donne les points fixes A(a ; −a) et B (a ; a), a étant un nombre donné, strictement positif. Soit T la trans- formation ponctuelle qui, au point m(x, y), fait correspondre le point M(X ; Y ) tel que

(1) 2a −−−→

Mm + (xy) −−→

MA + (x+ y) −−→

MB = −→

0 .

1. Calculer X et Y en fonction de a,x, y et vérifier que l’on a la relation

(2) −−−→

OM = 2a

a+ x

−−→

Om .

Déterminer l’ensemble, E1 des points qui n’admettent pas de transformé et l’ensemble, E2 des points doubles.

Quel est le transformé d’un pointm de l’axe y y ?

Calculer x et y en fonction de X et Y .

À quelle condition un point M du plan peut-il être considéré comme le trans- formé d’un pointm par T ?

2. Démontrer qu’une droite (δ), d’équation

x cosθ+ y sinθp = 0,

a pour transformée une droite (∆), dont on donnera l’équation.

Comment faut-il choisir (δ) pour que les droites (δ) et (∆) soient

a. confondues ;

b. strictement parallèles ;

c. concourantes ?

Dans ce dernier cas, montrer que (δ) et (∆) se coupent sur une droite fixe et donner alors une construction géométrique de (∆), connaissant (δ). En dé- duire une construction de M , connaissantm.

Baccalauréat C A. P. M. E. P.

3. Calculer le produit scalaire −−→

Om · −−−→

OM en fonction de a,x et y .

Comment faut-il choisir le nombre réel k pour qu’il existe des points m tels que

−−→

Om · −−−→

OM = k?

4. Soit (C ) le cercle de centre O, de rayon R. Montrer que le transformé, (C ′), de (C ) par T est une conique admettant xx pour axe de symétrie.

Discuter, suivant la valeur de R, la nature de (C ′). Pouvait-on prévoir géomé- triquement les résultats trouvés ?

Construire (C ′) dans le cas où R = a

2 . Déterminer en particulier les sommets

de (C ′) et ses points d’intersection avec y y .

Amiens 2 septembre 1969

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