Exercices de spécialité en géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en géométrie 2, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de spécialité en géométrie 2 Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer les limites de an et bn, Calculer les coordonnées du point D, Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M.
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! Baccalauréat S Géométrie " Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

1 Asie juin 2012 × × 2 Centres étrangers juin 2012 × × 3 Liban mai 2012 × 4 Pondichéry avril 2012 × × 5 Amérique du Sud novembre 2011 × × 6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 7 Polynésie septembre 2011 × × 8 Métropole septembre 2011 × × 9 Antilles-Guyane septembre 2011 × ×

10 Polynésie juin 2011 × × 11 Métropole juin 2011 × × 12 Centres étrangers juin 2011 × × 13 Asie juin 2011 × × 14 Antilles–Guyane juin 2011 × × 15 Liban 30 juin 2011 × × 16 Amérique du Nord mai 2011 × × 17 Pondichéry avril 2011 × × 18 Nouvelle-Calédonie mars 2011 × × 19 Amérique du Sud décembre 2010 × × 20 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × 21 Métropole septembre 2010 × × 22 La Réunion septembre 2010 × × 23 Antilles-Guyane septembre 2010 × × 24 Polynésie juin 2010 × × 25 Liban juin 2010 × × 26 Centres étrangers juin 2010 × × 27 Pondichéry avril 2010 × × 28 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 29 Amérique du Sud novembre 2009 × × 30 Polynésie septembre 2009 × × 31 Métropole & La Réunion sept. 2009 × × 32 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 33 La Réunion juin 2009 × × 34 Centres étrangers juin 2009 × × 35 Liban juin 2009 × × 36 Amérique du Nord juin 2009 × × 37 Pondichéry avril 2009 × × 38 Nouvelle-Calédonie mars 2009 × × 39 Amérique du Sud novembre 2008 × × 40 Nouvelle-Calédonie nov. 2008 × ×

Baccalauréat S

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

41 Polynésie septembre 2008 × × 42 Métropole & La Réunion sept. 2008 × × × × 43 Polynésie juin 2008 × × 44 Métropole juin 2008 × × 45 Centres étrangers juin 2008 × × 46 Asie juin 2008 × 47 Antilles-Guyane juin 2008 × × 48 Amérique du Nord mai 2008 × × 49 Pondichéry avril 2008 × 50 Nouvelle-Calédonie mars 2008 × × 51 Nouvelle-Calédonie déc. 2007 × 52 Amérique du Sud novembre 2007 × 53 Polynésie septembre 2007 × 54 Polynésie juin 2007 × × 55 Métropole juin 2007 × × 56 Antilles-Guyane juin 2007 × 57 Amérique du Nord juin 2007 × 58 Liban juin 2007 × 59 Pondichéry avril 2007 × 60 Nouvelle-Calédonie mars 2007 × 61 Polynésie septembre 2006 × 62 Métropole septembre 2006 × 63 Polynésie juin 2006 × × 64 La Réunion juin 2006 × × 65 Métropole juin 2006 × × 66 Centres étrangers juin 2006 × × 67 Antilles-Guyane juin 2006 × × 68 Pondichéry avril 2006 × × 69 Amérique du Sud novembre 2005 × 70 Polynésie septembre 2005 × × 71 Métropole septembre 2005 × 72 Antilles-Guyane septembre 2005 × × 73 Asie juin 2005 × × 74 Centres étrangers juin 2005 × × 75 La Réunion juin 2005 × 76 Métropole juin 2005 × × 77 Polynésie juin 2005 × 78 Pondichéry avril 2005 × 79 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × 80 Antilles-Guyane septembre 2004 × 81 Amérique du Nord mai 2004 × 82 Antilles-Guyane juin 2004 × ×

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

Exercices de géométrie 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

110 Polynésie septembre 1998 Retour au tableau Dans l’espace muni du repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , nous considérons les points A de co-

ordonnées (0 ; 6 ; 0), B de coordonnées (0 ; 0 ; 8), C de coordonnées (4 ; 0 ; 8).

1. a. Réaliser la figure comportant les points définis dans l’exercice (unité graphique : 1 cm).

b. Démontrer que : • les droites (BC) et (BA) sont orthogonales ; • les droites (CO) et (OA) sont orthogonales ; • la droite (BC) est orthogonale au plan (OAB).

c. Déterminer le volume, en cm3, du tétraèdre OABC.

d. Démontrer que les quatre points O, A, B, C se trouvent sur une sphère dont vous détermine- rez le centre et le rayon.

2. À tout réel k de l’intervalle ouvert ]0 ; 8[, est associé le point M(0 ; 0 ; k). Le plan (π) qui contient M et est orthogonal à la droite (OB) rencontre les droites (OC), (AC), (AB) respectivement en N , P, Q.

a. Déterminer la nature du quadrilatère (M NPQ).

b. La droite (P M) est-elle orthogonale à la droite (OB) ? Pour quelle valeur de k, la droite (MP ) est-elle orthogonale à la droite (AC) ?

c. Déterminer MP 2 en fonction de k. Pour quelle valeur de k, la distance P M est-elle mini- male ?

# Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus. $ http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/

Exercices de géométrie 119

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

109 Métropole septembre 1998 Retour au tableau

1. a. Calculer le produit vectoriel −−→ AB

−−→ AC .

b. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points A, B et C.

2. Soit (Q) le plan d’équation : x + y −3z +2= 0

et (Q′) le plan de repère ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

a. Pourquoi (Q) et (Q′) sont-ils sécants ?

b. Donner un point E et un vecteur directeur −→ u de la droite d’intersection (∆) des plans (Q) et

(Q′).

3. Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon 2.

4. On considère les points J et K de coordonnées respectives :

J

 − 2

0 0

 K

 1 0 1

Déterminer avec soin l’intersection de la sphère (S) et de la droite (JK).

Exercices de géométrie 118

Baccalauréat S

83 Métropole juin 2004 × 84 Nouvelle-Calédonie mars 2004 × × 85 Nouvelle-Calédonie nov. 2003 × 86 Polynésie septembre 2003 × 87 Asie juin 2003 × 88 Métropole juin 2003 × 89 La Réunion juin 2003 × 90 Polynésie juin 2003 × 91 Nouvelle-Calédonie déc. 2001 × × 92 Amérique du Nord juin 2001 × 93 Métropole juin 2001 × × 94 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 95 Métropole septembre 2000 × × 96 Polynésie septembre 2000 × 97 Amérique du Nord juin 2000 × 98 Centres étrangers juin 2000 × 99 Nouvelle-Calédonie déc. 1999 × ×

Exercices de géométrie 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en

justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère la droite D dont on

donne une représentation paramétrique, et le plan P dont on donne une équation cartésienne :

D

 

x = 1−2t y = t z = −5−4t

(t ∈R) et P : 3x +2y z −5= 0.

Affirmation 1 : la droite D est strictement parallèle au plan P .

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et

le plan P d’équation cartésienne : 4x y z +3= 0.

Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est égale à

' 3

2 .

3. Soit la fonction f définie pour tout réel x par : f (x) = 3

1+e−2x .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

Affirmation 3 : la courbe C admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abscisses.

4. Pour tout réel x, on pose F (x) = ∫x

1 (2− t )e−t dt .

Affirmation 4 : F (x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x supérieur à 1.

5. On considère l’intégrale I = ∫e

1 t 2 ln t dt .

Affirmation 5 : la valeur exacte de l’intégrale I est : 2e3 +1

9 .

Exercices de géométrie 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

108 Amérique du Sud novembre 1998 Retour au tableau Dans le plan (P), on considère le triangle ABC isocèle en A, de hauteur [AH] tel que AH = BC = 4. On prendra le centimètre pour unité.

1. En justifiant la construction, placer le point G, barycentre du système de points pondérés {(A ; 2) ; (B ; 1) ; (C ; 1)}.

2. On désigne le point M un point quelconque de (P).

a. Montrer que le vecteur "V = 2 −−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC est un vecteur dont la norme est 8.

b. Déterminer et construire l’ensemble E1 des points M du plan tels que

∥∥∥2 −−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC

∥∥∥= ∥∥"V

∥∥

3. On considère le système de points pondérés {(A ; 2) ; (B ; n) ; (C ; n)} où n est un entier naturel fixé.

a. Montrer que le barycentre Gn de ce système de points pondérés existe. Placer G0, G1, G2.

b. Montrer que le point Gn appartient au segment [AH].

c. Calculer la distance AGn en fonction de n et déterminer la limite de AGn quand n tend vers + ∞. Préciser la position limite de Gn quand n tend vers + ∞.

d. Soit En l’ensemble des points M du plan tels que ∥∥∥2

−−→ MA +n

−−→ MB +n

−−→ MC

∥∥∥= n ∥∥∥ −→ V

∥∥∥ .

Montrer que En est un cercle qui passe par le point A.

En préciser le centre et le rayon, noté Rn .

e. Construire E2.

Exercices de géométrie 117

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

107 Pondichéry juin 1999 Retour au tableau On considère un triangle ABC du plan.

1. a. Déterminer et construire le point G, barycentre de

[(A ; 1) ; (B ; − 1) ; (C ; 1)].

b. Déterminer et construire le point G′, barycentre de

[(A ; 1) ; (B ; 5) ; (C ; − 2)].

2. a. Soit J le milieu de [AB].

Exprimer −−→ GG′ et

−−→ JG′ en fonction de

−→ AB et

−→ AC et en déduire l’intersection des droites (CG′)

et (AB).

b. Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; - 1)] appartient ? (GG′).

c. Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [GA].

3. Déterminer trois réels a, d et c tels que K soit barycentre de

[(A ; a) ; (D ; d) ; (C ; c)].

4. Soit X le point d’intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels a′ et c ′ tels que X soit barycentre de

[(A ; a′) ; (C ; c ′)].

Exercices de géométrie 116

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Centres étrangers juin 2012

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal ( A ;

−→ AB ;

−→ AD ;

−→ AE

) .

On considère les points I ( 1 ;

1 3

; 0 ) , J ( 0 ;

2 3

; 1 ) , K

( 3 4

; 0 ; 1 )

et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel apparte-

nant à l’intervalle [0 ; 1].

B C

DA

F G

HE

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique  



x = 3 4 + t

( a

3 4

)

y = t

z = 1− t ′ , t ′ ∈R

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1 4

.

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on pose a = 1 4

.

Le point L a donc pour coordonnées (

1 4

; 1 ; 0 ) .

1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . On désigne par M le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’inter-

Exercices de géométrie 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

section du plan (IJK) et de la droite (DH). B C

D A

F G

HE

I

K

J

M

N

L

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.

1. Prouver que le vecteur −→n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK).

2. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x +9y +5z −11= 0.

3. En déduire les coordonnées des points M et N

Exercices de géométrie 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

106 Liban juin 1999 Retour au tableau Sur une droite (D) muni d’un repère

( O,

−→ ı ,

−→ ) , A0 et B0 sont les points d’abscisses respectives −4 et 3.

Pour tout entier naturel n, on note

An+1 le barycentre de {(An ; 1), (Bn ; 4)}

Bn+1 le barycentre de {(An ; 3), (Bn ; 2)}

1. Placer les points A0, B0,A1, B1.

2. Les points An et Bn ont pour abscisses an et bn respectivement. Ainsi, a0 =−4 et b0 = 3.

Démontrer que, pour tout n de N, an+1 = 1 5

(an +4bn) et bn+1 = 1 5

(3an +2bn).

3. a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n : 3an +4bn = 0.

b. En déduire que : an+1 =− 2 5

an et bn+1 =− 2 5

bn .

4. a. Exprimer an et bn à l’aide de n.

b. Déterminer les limites de an et bn quand n tend vers +∞.

c. Interpréter ce résultat à l’aide des points An et Bn .

Exercices de géométrie 115

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

105 Métropole juin 1999 Retour au tableau Le plan (P) est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point m d’affixe z associe le point M

d’affixe 1 2

z2−z. L’objet de cet exercice est de tracer la courbe (Γ) décrite par M lorsque m décrit le cercle

(C ) de centre O et de rayon 1. Soit t un réel de [- π ; π] et m le point de (C ) d’affixe z = eit .

1. Montrer que l’image M de m par F est le point de coordonnées :  



x(t ) = 1 2

cos2t −cos t

y(t ) = 1 2

sin2t − sin t , t ∈ [− π ; π].

Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe (Γ).

2. Comparer x(−t ) et x(t ) d’une part, y(−t ) et y(t ) d’autre part. En déduire que (Γ) admet un axe de symétrie que l’on précisera.

3. Montrer que x′(t ) = sin t (1−2 cos t ). Étudier les variations de x sur [0 ; π].

4. Montrer que y ′(t ) = (cos t −1)(1+2 cos t ). Étudier les variations de y sur [0 ; π].

5. Dans un même tableau faire figurer les variations de x et y sur [0 ; π].

6. Placer les points de (Γ) correspondant aux valeurs 0, π

3 ,

2π 3

et π du paramètre t et tracer les tan-

gentes en ces points (on admettra que pour t = 0 la tangente à (Γ) est horizontale). Tracer la partie de (Γ) obtenue lorsque t décrit [0 ; π] puis tracer (Γ) complètement.

Exercices de géométrie 114

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Liban mai 2012

Les quatre questions sont indépendantes. Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en

compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les droites D1 et D2

de représentations paramétriques respectives :

 

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t R , et

 

x = 8+5t

y = 2−2t

z = 6+ t ′ , t ′ ∈R .

Affirmation : les droites D1 et D2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A(12 ;7 ; −13)

et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x +2y −5z = 1. Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan P .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n +1 n +2

et vn = 2+ 1

n +2

Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1 3

un +2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Exercices de géométrie 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Pondichéry avril 2012

Dans le repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

de l’espace, on considère :

– les plans P et P ′ d’équations :

P : x y z −2= 0 et P ′ : x + y +3z = 0.

– la droite D ayant pour représentation paramétrique :

 

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite ∆ dont une représentation paramétrique est :

 

x = 1− t

y = −1−2t

z = t t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

Exercices de géométrie 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

104 Nouvelle–Calédonie décembre 1999 Retour au tableau Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A(3 ; 0 ; 1),

B(0 ; −1 ; 2) et C(1 ; −1 ; 0).

1. Déterminer les coordonnées du vecteur −→ n =

−→ AB ∧

−−→ AC .

En déduire une équation cartésienne du plan ABC.

2. Soit D le point de coordonnées (1, 1, - 2). Calculer le produit scalaire du vecteur −−→ DA et du vecteur

−−→ DB ∧

−−→ DC .

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par D et dont un vecteur directeur est

−→ n .

b. Déterminer les coordonnées du point d’intersection H de cette droite avec le plan ABC.

c. Calculer DH (distance du point D au plan ABC).

4. Calculer les coordonnées du point D′, symétrique du point D par rapport au plan ABC.

Exercices de géométrie 113

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

103 Centres étrangers juin 2000 Retour au tableau Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 5 et (

−→ AB ,

−−→ AD ) =

π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] , [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A) = B, f (B) = O, f (D) = C.

a. Prouver que f est un antidéplacement.

b. Démontrer que s’il existe un point M invariant par f , alors M est équidistant des points A, B, C, D.

c. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle − π

3 .

a. Démontrer que f = r σ.

b. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC).

a. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s2 ◦ s1.

b. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1 ◦ t1, , où t1 est une translation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1 2 −−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose g = t

− 1 2 ◦ f .

a. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transformation g .

b. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Exercices de géométrie 112

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère le point A de coordonnées

(−1 ; −1 ; 1) et les droites D et D′ de représentations paramétriques :

D

 

x = 2t −1 y = −3t +2 z = t

t ∈R D′

 

x = 3t

y = t ′+2 z = 3t ′ −2

t ′ ∈R

Proposition 1 : « Le point A appartient à la droite D ». Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite D passant par le point O a pour équation : 2x −3y + z = 0 ». Proposition 3 : « Les droites D et D′ sont orthogonales ». Proposition 4 : « Les droites D et D′ sont coplanaires ».

Proposition 5 : « La distance du point A au plan d’équation 2x −3y + z = 0 est

' 14 7

.

Exercices de géométrie 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x + y +2z = 4.

b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équation du plan P passant par A et orthogonal à la droite (BC).

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation pa- ramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ?

3. a. Soit ∆′ la médiane issue de B du triangle ABC. Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

 

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a pour coordonnées( 8 9

; 4 9

; 8 9

) .

Que représente le point H pour le triangle ABC ?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

Exercices de géométrie 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

102 Amérique du Nord juin 2000 Retour au tableau

O A

BC

D E

FG

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.

L’espace est orienté par le repère orthonormai direct ( O ;

−−→ OA ,

−−→ OC ,

−−→ OD

) .

On désigne par a un réel strictement positif. L, M et K sont les points définis par

−−→ OL = a

−−→ OC ,

−−−→ OM = a

−−→ OA , et

−−→ BK = a

−→ BF .

1. a. Calculer les coordonnées du vecteur −−−→ DM

−−→ DL .

b. En déduire l’aire du triangle DLM .

c. Démontrer que la droite (OK ) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K ) sur le plan (DLM).

a. Démontrer que −−−→ OM ·

−−→ OK =

−−→ OH ·

−−→ OK .

b. Les vecteurs −−→ OH et

−−→ OK étant colinéaires, on note λ le réel tel que

−−→ OH = λ

−−→ OK . Démontrer

que λ= a

a2 +2 . En déduire que H appartient au segment [OK ].

c. Déterminer les coordonnées de H .

d. Exprimer −−→ HK en fonction de

−−→ OK . En déduire que HK =

a2 −a+2 '

a2 +2 .

3. À l’aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de a.

Exercices de géométrie 111

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

101 Polynésie septembre 2000 Retour au tableau On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1.

1. a. Exprimer plus simplement le vecteur −→ AB +

−−→ AD +

−→ AE .

b. En déduire que le produit scalaire −−→ AG .

−−→ BD est nul.

c. Démontrer de même que le produit scalaire −−→ AG ·

−→ BE est nul.

d. Démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE).

2. Soit I le centre de gravité du triangle BDE. Déduire de 1) a. que le point I est le point d’intersection de la droite (AG) et du plan (BDE), et préciser la position du point I sur le segment [AG].

3. Dans cette question, l’espace est orienté par le repère orthonormal direct (A ; −→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE ).

a. Écrire une équation du plan (BDE).

b. Écrire une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par le point H et orthogonale au plan (BDE).

c. Déterminer les coordonnées du point d’intersection J de la droite ∆ avec le plan (BDE).

d. En déduire la distance du point H au plan (BDE).

A

B C

D

E

F G

H

Exercices de géométrie 110

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Polynésie septembre 2011

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, EF2 = −→ EF 2 =

−→ EF ·

−→ EF .

Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout point M de l’espace, on a :

MA2 +MB2 = 2MI2 + 1 2

AB2.

2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des points M de l’espace tels que

MA2 +MB2 = AB2.

Partie B

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3x +4y + z −1= 0 et x −2y z +5= 0 et les points A et B de coordonnées respectives (−1 ; 0 ; 4) et (3 ; −4 ; 2).

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants. On nomme (∆) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

a. Montrer que le point A appartient à la droite (∆).

b. Montrer que −→ u (1 ; −2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (∆).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (E) l’ensemble des points M de l’espace tels que MA2 +MB2 = AB2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de (E) et de la droite (∆). On précisera les coor- données de ces points.

Exercices de géométrie 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Métropole septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur −→ n = a

−→ ı +b

−→ +c

−→ k soit différent du vecteur nul.

On appelle P le plan d’équation ax +by +cz +d = 0. Démontrer que le vecteur

−→ n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le vecteur

−→ n est orthogo-

nal à tout vecteur −→ AB où A et B sont deux points quelconques du plan P .

Partie B - Questionnaire à choix multiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de

ce choix. Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

On désigne par P le plan d’équation cartésienne 2x y +3z = 0 et par A et B les deux points du plan P de coordonnées respectives (1 ; 2 ; 0) et (0 ; 3 ; 1).

1. Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1 ; 1 ; −1), (−1 ; 4 ; 2), (1 ; 5 ; 1).

a. Les points A, B, C définissent le plan P .

b. Les points A, B, D définissent le plan P .

c. Les points A, B, E définissent le plan P .

2. La droite D est définie par la représentation paramétrique :

 

x = 1− t y = t , z = 2+ t

t ∈R.

a. La droite D est perpendiculaire au plan P .

b. La droite D est strictement parallèle au plan P .

c. La droite D est incluse dans le plan P .

3. Soit S la sphère de centre Ω, de coordonnées (2 ; 5 ; 1), et de rayon 1 2

. L’ensemble des points com-

muns à la sphère S et au plan P est :

a. vide,

b. constitué d’un seul point,

c. un cercle.

Exercices de géométrie 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

100 Métropole septembre 2000 Retour au tableau Enseignement obligatoire (hors-programme en 2002)

Les questions 1) et 2) sont indé- pendantes. L’espace est muni d’un repère orthonormal direct. ABC- DEFGH est le cube représenté ci- contre. Son arête a pour longueur 1, le centre de la face ABCD est le point I. Aucune figure n’est demandée sur la copie.

A B

C D

E F

GH

I

1. a. Déterminer −−→ BC ∧

−−→ BA .

b. En déduire l’ensemble (E ) des points M de l’espace tels que : (−−→ BC ∧

−−→ BC

) ∧ −−→ BM =

−→ 0 .

c. Déterminer l’ensemble (F ) des points M de l’espace tels que : (−−→ BC ∧

−−→ BC

) · −−→ BM = 0.

2. On appelle P le barycentre du système {(A,2) ; (C,−1)}.

a. Montrer que P est le symétrique de C par rapport à A.

b. Soit (G ) l’ensemble des points M de l’espace tels que :

‖2 −−→ MA −

−−→ MC ‖= ‖−

−−→ MA +2

−−→ MB −

−−→ MC ‖.

Déterminer l’ensemble (G ). Montrer que le point A appartient à l’ensemble (G ).

Exercices de géométrie 109

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

99 Nouvelle–Calédonie décembre 2000 Retour au tableau Dans l’espace muni du repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points :

A(4 , 0, 0), B(2, 4, 0), C(0, 6, 0), S(0, 0, 4), E(6, 0, 0) et F(0, 8, 0)

1. Réaliser une figure comportant les points définis dans l’exercice que l’on complètera au fur et à mesure.

2. Montrer que E est le point d’intersection des droites (BC) et (OA).

3. On admettra que F est le point d’intersection des droites (AB) et (OC).

a. Déterminer les coordonnées du produit vectoriel −→ SE∧

−→ EF . En déduire l’équation cartésienne

du plan (SEF).

b. Calculer les coordonnées du point A′ barycentre des points pondérés (A, 1) et (S,3).

c. On considère le plan P parallèle au plan (SEF) et passant par A′. Vérifier qu’une équation cartésienne de P est 4x +3y +6z −22= 0.

4. Le plan P coupe les arêtes [SO], [SA], [SB] et [SC] de la pyramide SOABC respectivement aux points O′, A′, B′ et C′.

a. Déterminer les coordonnées de O′.

b. Vérifier que C′ apour coordonnées ( 0, 2,

8 3

) .

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (SB), en déduire les coordonnées du point B′.

5. Vérifier que O′A′B′C′ est un parallélogramme.

Exercices de géométrie 108

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur −→ n

 1 1

−3

 est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d’équation : x y + z −4= 0.

a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramé- trique de la droite D.

3. On considère la sphère S de centre Ω(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droite D a pour représentation paramétrique :

 

x = 1+ t y = −3+2t z = t ,

t ∈R.

a. Montrer que le point I appartient à la droite D.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droite D coupe la sphère S en un deuxième point.

Exercices de géométrie 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Polynésie juin 2011

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

A B

CD

E F

GH

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) . On note K le bary-

centre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées (

2 3

; 2 3

; 2 3

) .

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

Soit M un point du segment [HG]. On note m = HM (m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

1. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du tétraèdre EMFD, en

unités de volume, est égal à 1 6

.

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est (−1+m)x + y mz = 0.

3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

dm = 1

' 2m2−2m +2

.

b. Déterminer la position de M sur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Exercices de géométrie 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

98 Métropole juin 2001 Retour au tableau Soient trois points de l’espace A, B, C non alignés et soit k un réel de l’intervalle [−1 ; 1]. On note Gk le barycentre du système {(A, k2 +1), (B, k), (C, −k)}.

1. Représenter les points A, B, C, le milieu I de [BC] et construire les points G1 et G−1.

2. a. Montrer que, pour tout réel k de l’intervalle [- 1 ; 1], on a l’égalité :

−−−→ AGk =−

k

k2 +1 −−→ BC .

b. Établir le tableau de variations de la fonction f définie sur [−1 ; 1] par

f (x) =− x

x2 +1 .

c. En déduire l’ensemble des points Gk quand k décrit l’intervalle [−1 ; 1]. Pour la suite de l’exercice, aucune figure n’est demandée sur la copie.

3. Déterminer l’ensemble E des points M de l’espace tels que :

‖2 −−→ MA +

−−→ MB −

−−→ MC ‖= ‖2

−−→ MA −

−−→ MB +

−−→ MC ‖.

4. Déterminer l’ensemble F des points M de l’espace tels que :

‖2 −−→ MA +

−−→ MB −

−−→ MC ‖= ‖2

−−→ MA −

−−→ MB −

−−→ MC ‖.

5. L’espace est maintenant rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . Les points A, B, C ont

pour coordonnées respectives (0 ; 0 ; 2), (−1 ; 2 ; 1) et (−1 ; 2 ; 5). Le point Gk et les ensembles (E) et (F) sont définis comme ci-dessus.

a. Calculer les coordonnées de G1 et G−1. Montrer que les ensembles (E) et (F) sont sécants.

b. Calculer le rayon du cercle C intersection de (E) et (F).

Exercices de géométrie 107

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

97 Amérique du Nord juin 2001 Retour au tableau L’espace E est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère les trois points A (2 ; 0 ; 0), B

(1 ; 1 ; 0) et C (3 ; 2 ; 6). (D) est la droite passant par A et de vecteur directeur

−→ u (0 ; 1 ; 1) et (∆) la droite passant par C et de

vecteur directeur −→ v (1 ; −2 ; 2).

1. Écrire une représentation paramétrique de chacune des droites (D) et (∆) puis montrer que (D) et (∆) sont sécantes en un point dont on précisera les coordonnées.

2. Calculer les coordonnées du vecteur −→ w =

−→ AB ∧

−−→ AC (question hors programme en 2002), puis écrire

une équation cartésienne du plan (ABC).

3. Soit H le projeté orthogonal du point F(2 ; 4 ; 4) sur le plan (ABC).

a. Expliquer pourquoi il existe un réel k non nul tel que −−→ FH = k

−→ w .

b. Déterminer la valeur de k et en déduire les coordonnées de H.

c. Calculer le volume du tétraèdre FABC.

Exercices de géométrie 106

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

ANNEXE

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

1 2-1 x

y

O

Exercices de géométrie 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Métropole juin 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A – Restitution organisée de connaissances

On désigne par P le plan d’équation ax+by+cz+d = 0 et par M0 le point de coordonnées ( x0 ; y0 ; z0

) .

On appelle H le projeté orthogonal du point M0 sur le plan P .

On suppose connue la propriété suivante :

Propriété : Le vecteur −→ n = a

−→ ı +b

−→ +c

−→ k est un vecteur normal au plan P .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance d (M0, P ) du point M0 au plan P , c’est-à-dire la distance M0H , est telle que

d (M0, P ) =

∣∣ax0 +by0 +cz0 +d ∣∣

' a2 +b2 +c2

.

1. Justifier que ∣∣∣ −→ n ·

−−−−→ M0H

∣∣∣= M0H '

a2 +b2 +c2.

2. Démontrer que −→ n ·

−−−−→ M0H =−ax0 −by0 −cz0 −d .

3. Conclure.

Partie B

On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6), (−7 ; 0 ; 4).

1. a. Démontrer que les points A, B, C définissent un plan P et que ce plan a pour équation car- tésienne x +2y z −1= 0.

b. Déterminer la distance d du point F au plan P .

2. Le but de cette question est de calculer la distance d par une autre méthode. On appelle ∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P .

c. Retrouver le résultat de la question 1. b.

3. Soit S la sphère de centre F et de rayon 6.

a. Justifier que le point B appartient à la sphère S .

b. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle C , intersection de la sphère S et du plan P .

Exercices de géométrie 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

96 Nouvelle–Calédonie décembre 2001 Retour au tableau

Partie I

L’espace E est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . Les points A, B, C et D ont pour coor-

données respectives : (−1 ; 0 ; 2), (3 ; 2 ; −4), (1 ; −4 ; 2), (5 ; −2 ; 4).

On considère les points I, J et K définis par : I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment

[CD] et −→ BJ =

1 4 −−→ BC .

1. Déterminer les coordonnées des points I, J et K.

2. a. Montrer que les points I, J et K ne sont pas alignés.

b. Justifier qu’une équation cartésienne du plan (IJK) est :

8x +9y +5z −12= 0.

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AD) et montrer que le plan (IJK) et la droite (AD) sont sécants en un point L dont on déterminera les coordonnées.

d. Montrer que : −→ AL =

1 4 −−→ AD .

Partie II

Plus généralement, dans l’espace E, on considère un tétraèdre ABCD ainsi que les points I, J, K et L définis par I est le milieu du segment [AB], K est le milieu du segment [CD].

−→ AL =

1 4 −−→ AD et

−→ BJ =

1 4 −−→ BC

Soit G le barycentre de (A, 3), (B, 3), (C, 1), D, 1).

1. Déterminer les barycentres de (A, 3), (D, 1) et le barycentre de (B, 3), (C, 1).

2. En associant les points A, B, C et D de deux façons différentes, montrer que G appartient aux droites (IK) et (JL). En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.

Exercices de géométrie 105

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

95 Métropole juin 2002 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

[unité graphique : 2 cm].

1. Résoudre dans C l’équation : z2 −2 '

3z +4 = 0. On pose a = '

3+ i et b = '

3− i. Écrire a et b sous forme exponentielle et placer les points A et B d’affixes respectives a et b.

2. a. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

3 . Calculer l’affixe a′ du point A′ image du point A

par r . Écrire a′ sous forme algébrique et placer A′ sur la figure précédente.

b. Soit h l’homothétie de centre O et de rapport − 3 2

. Calculer l’affixe b′ du point B ′ image du

point B par h. Placer B ′ sur la figure précédente.

3. Soit C le centre du cercle circonscrit au triangle OAB ′ et R le rayon de ce cercle. On désigne par c l’affixe du point C .

a. Justifier les égalités suivantes :

cc = R2 (c −2i) ( c +2i

) = R2

(

c + 3 '

3 2

− 3 2

i

)(

c + 3 '

3 2

+ 3 2

i

)

= R2.

b. En déduire que c c = 2i puis, que c +c =− 4 '

3 3

.

c. En déduire l’affixe du point C et la valeur de R .

Exercices de géométrie 104

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Centres étrangers juin 2011

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. Soit M un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère or- thonormal

( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

A

B C

D

E

F G

H

M

I

J

1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du point M soient (1− t ; 1− t ; t ).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].

b. En déduire que le triangle MIJ est un triangle isocèle en M .

c. Exprimer IM2 en fonction de t .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du point M sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l’angle ÎMJ est maximale. On désigne par θ la mesure en radian de l’angle ÎMJ.

a. En admettant que la mesure θ appartient à l’intervalle [0 ; π], démontrer que la mesure θ est

maximale lorsque sin ( θ

2

) est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f (t ) = 3t 2 − t + 1 4

.

d. En déduire qu’il existe une unique position M0 du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle ÎMJ soit maximale.

e. Démontrer que le point M0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].

Exercices de géométrie 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Asie juin 2011

On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).

1. On se place dans le repère ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :

A(1 ; 0 ; 0)B(1 ; 1 ; 0)C(0 ; 1 ; 0)D(0 ;0 ; 0)E(1 ;0 ; 1)F(1 ; 1 ; 1)C(0 ; 1 ; 1)H(0 ;0 ; 1)

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).

c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).

d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à

' 3

3 .

e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF). Que représente le point I pour le triangle AFH ?

2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Définitions :

• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; • il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; • il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.

Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.

A

B

C D

E

F

G

H

I

Exercices de géométrie 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

94 Polynésie juin 2003 Retour au tableau Partie A

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A, B, C et D de

coordonnées respectives : A(0 ; 0 ; 3), B(2

' 2 ; 0 ; −1), C(−

' 2 ; −

' 6 ; −1), D(−

' 2 ;

' 6 ; −1).

1. Démontrer que ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un tétraèdre dont toutes les arêtes sont de même longueur.

2. On note R, S, T et U les milieux respectifs des arêtes [AC], [AD], [BD] et [BC] ; démontrer que RSTU est un parallélogramme de centre O.

3. Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ? Expliquer.

C

A

D B

−→ ı

−→

−→ k

Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Chacun d’eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu’on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles).

1. Calculer la probabilité pour qu’au moins trois faces rouges soient visibles sur les trois tétraèdres.

2. Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre.

3. Calculer la probabilité de l’évènement E « les six faces rouges sont visibles ».

4. On répète n fois l’expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilité pn pour que l’évènement E soit réalisé au moins une fois.

Calculer lim n→+∞

pn .

Exercices de géométrie 103

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

93 La Réunion juin 2003 Retour au tableau On considère un cube ABCDEFGH d’arête 1. Le nombre a désigne un réel strictement positif.

On considère le point M de la demi-droite [AE) défini par −−→ AM =

1 a

−→ AE .

1. Déterminer le volume du tétraèdre ABDM en fonction de a.

2. Soit K le barycentre du système de points pondérés :

{( M ; a2

) , (B; 1), (D ; 1)

} .

a. Exprimer −−→ BK en fonction de

−−→ BM et de

−−→ BD .

b. Calculer −−→ BK ·

−−→ AM et

−−→ BK ·

−−→ AD puis en déduire l’égalité

−−→ BK ·

−−−→ MD = 0.

c. Démontrer l’égalité −−→ DK ·

−−→ MB = 0.

d. Démontrer que K est l’orthocentre du triangle BDM .

3. Démontrer les égalités −−→ AK ·

−−→ MB = 0 et

−−→ AK ·

−−−→ MD = 0. Qu’en déduit-on pour la droite (AK ) ?

4. a. Montrer que le triangle BDM est isocèle et que son aire est égale à

' a2 +2 2a

unité d’aire.

b. Déterminer le réel a tel que l’aire du triangle BM soit égale à 1 unité d’aire. Déterminer la distance AK dans ce cas.

D

A B

C

H

E F

G

M

Exercices de géométrie 102

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Antilles-Guyane juin 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3 ; −4 ; 1) et dont un vecteur directeur est

−→ u (1 ; −3 ; 1).

On considère la droite D ′ dont une représentation paramétrique est :

 

x = −1− t y = 2+ t (t ∈R) z = 1− t

On admet qu’il existe une unique droite ∆ perpendiculaire aux droites D et D ′. On se propose de déter- miner une représentation paramétrique de cette droite ∆ et de calculer la distance entre les droites D et D ′, distance qui sera définie à la question 5. On note H le point d’intersection des droites D et ∆, H ′ le point d’intersection des droites D ′ et ∆. On appelle P le plan contenant la droite D et la droite ∆. On admet que le plan P et la droite D ′ sont sécants en H ′. Une figure est donnée en annexe 2.

1. On considère le vecteur −→ w de coordonnées (1 ; 0 ; −1). Démontrer que

−→ w est une vecteur directeur

de la droite ∆.

2. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).

a. Démontrer que le vecteur −→ n est normal au plan P .

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est 3x +2y +3z −4= 0.

3. a. Démontrer que le point H ′ a pour coordonnées (−1 ; 2 ; 1).

b. En déduire une représentation paramétrique de la droite ∆.

4. a. Déterminer les coordonnées du point H .

b. Calculer la longueur H H ′.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à D et tout point M ′ appartenant à D ′, M M ′ ! H H ′.

a. Montrer que −−−−→ M M ′ peut s’écrire comme la somme de

−−−→ H H ′ et d’un vecteur orthogonal à

−−−→ H H ′ .

b. En déduire que ∣∣∣ ∣∣∣ −−−−→ M M

∣∣∣ ∣∣∣

2 !

∣∣∣ ∣∣∣ −−−→ H H

∣∣∣ ∣∣∣ 2

et conclure.

La longueur H H réalise donc le minimum des distances entre une point de D et une point de D . On l’appelle distance entre les droites D et D ′.

Annexe (non spé)

Exercices de géométrie 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

D

H

H

D

×

A

P

Exercices de géométrie 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

92 Métropole juin 2003 Retour au tableau

Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : • OAB, OAC et OBC sont des triangles rec- tangles en O, • OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l’espace défini par

−−→ HO =

−−→ OD .

A

I

B

C

O

D

H

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l’orthocentre du triangle ABC.

3. Calcul de OH

a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l’aire S du triangle ABC.

b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a

' 3

3 .

4. Étude du tétraèdre ABCD.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O ;

1 a

−−→ OA ,

1 a

−−→ OB ,

1 a

−−→ OC

) .

a. Démontrer que le point H a pour coordonnées : (a

3 ,

a

3 ,

a

3

) .

b. Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c’est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur).

c. Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.

Exercices de géométrie 101

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

91 Asie juin 2003 Retour au tableau L’espace E est rapporté au repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

A(3 ; −2 ; 2) ; B(6 ; 1 ; 5) ; C(6 ; −2 ; −1).

A

B

D

C

O−→ ı −→

−→ k

Partie A

1. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

2. Soit P le plan d’équation cartésienne x + y + z −3= 0. Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A.

3. Soit P′ le plan orthogonal la droite (AC) et passant par le point A. Déterminer une équation cartésienne de P′.

4. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆, droite d’intersection des plans P et P′.

Partie B

1. Soit D le point de coordonnées (0 ; 4 ; −1). Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC).

2. Calculer le volume du tétraèdre ABDC.

3. Montrer que l’angle géométrique BDC a pour mesure π

4 radian.

4. a. Calculer l’aire du triangle BDC.

b. En déduire la distance du point A au plan (BDC).

Exercices de géométrie 100

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 Liban mai 2011

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne les trois points :

A(1 ; 2 ; −1),B(−3 ; −2 ; 3) et C(0 ; −2 ; −3)

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x + y z +2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2).

a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5).

b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que∥∥∥ −−→ MA −

−−→ MB +2

−−→ MC

∥∥∥= 12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P ) et de la sphère (S).

Exercices de géométrie 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Amérique du Nord mai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle. Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des points M de l’espace tels que ‖a

−−→ MA +

b −−→ MB +c

−−→ MC ‖= k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coeffi-

cients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE). Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients res- pectifs 1, −1 et 2.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S) des points M de l’es- pace tels que ‖

−−→ MR −

−−→ MB +2

−−→ MC ‖= 2

' 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on préci- sera le rayon.

E

A

B

C

G

F

H

D

Exercices de géométrie 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

90 Polynésie septembre 2003 Retour au tableau L’espace est rapporté à un repère

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

orthonormé. Soit s un nombre réel. On donne les points A (8 ; 0 ; 8), B(10 ; 3 ; 10) ainsi que la droite D d’équations paramétriques :

 

x = −5+3s y = 1+2s z = −2s

1. a. Donner un système d’équations paramétriques de la droite ∆ définie par A et B.

b. Démontrer que D et ∆ sont non coplanaires.

2. a. Le plan P est parallèle à D et contient ∆. Montrer que le vecteur −→ n (2 ; −2 ; 1) est un vecteur

normal à P . Déterminer une équation cartésienne de P .

b. Montrer que la distance d’un point quelconque M de D à P est indépendante de M .

c. Donner un système d’équations paramétriques de la droite définie par l’intersection de P avec le plan (xOy).

3. La sphère S est tangente à P au point C(10 ; 1 ; 6). Le centre Ω de S se trouve à la distance d = 6 de P , du même côté que O. Donner l’équation cartésienne de S .

Exercices de géométrie 99

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

89 Nouvelle–Calédonie novembre 2003 Retour au tableau L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ; 0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

1. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b. Montrer que la droite (AB) coupe l’axe des abscisses au point E(9 ; 0 ; 0).

c. Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a. Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c. Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

20x +9y +12z −180= 0.

d. Montrer que le système

 

x = 0 4y −3z = 0 20x +9y +12z −180 = 0

a une solution unique. Que repré-

sente cette solution ?

e. Calculer la distance OH, en déduire que EH = 15 et l’aire du triangle EBC.

3. En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l’équation obtenue en 2. c. ?

Exercices de géométrie 98

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 La Réunion septembre 2010

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans P et Q d’équations respectives :

x + y + z = 0 et 2x +3y + z −4= 0.

1. Montrer que l’intersection des plans P et Q est la droite D dont une représentation paramétrique est :

 

x = −4−2t y = 4+ t z = t

t est un nombre réel.

2. Soit λ un nombre réel. On considère le plan d’équation : (1−λ)(x + y + z)+λ(2x +3y + z −4)= 0.

a. Vérifier que le vecteur −→ n (1+λ ; 1+2λ ; 1) est un vecteur normal du plan .

b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite D ′, intersection des plans P et P−1. Montrer que les droites D et D ′sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droite D.

Exercices de géométrie 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Pondichéry avril 2011

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

A

B

C

D

A′

A′ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA′] est une médiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) : Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que −−→ AA′ ·

−−→ BD = 0 et que

−−→ AA′ ·

−−→ BC = 0. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD]

et le milieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA′) est orthogonale à la face BCD. Un raisonnement analogue montre que les autres médianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes en G.

En utilisant l’associativité du barycentre, montrer que G appartient à la droite (AA′), puis conclure.

Partie II

On munit l’espace d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; −1) et R(−2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P′, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x +2y +16z = 0.

4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

Exercices de géométrie 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

88 Nouvelle–Calédonie mars 2004 Retour au tableau

On considère Ie cube ABCDEFGH ci-contre. O1 et O2 sont les centres des carrés ABCD et EFGH, et I est le centre de gravité du triangle EBD. Soit m un nombre réel et Gm le barycentre du système de points pondérés :

A

B C

D

E

F G

H

{(E ; 1), (B ; 1−m), (G ; 2m −1), (D ; 1−m)}

. Partie A

1. Justifier l’existence du point Gm .

2. Préciser la position du point G1.

3. Vérifier que G0 = A. En déduire que les points A, I et G sont aIignés.

4. Démontrer que −−−→ AGm = m

−−−→ AO2 . En déduire l’ensemble des points Gm lorsque m parcourt l’en-

semble des nombres réels.

5. a. Vérifier que les points A, Gm , E et O1, sont coplanaires.

b. Déterminer la valeur de m pour laquelle Gm se trouve sur la droite (EI).

Exercices de géométrie 97

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

87 Métropole juin 2004 Retour au tableau Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la co- pie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse inexacte enlève 1/2 point l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan

P d’équation x + y −3z +4= 0.

1. Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :

A :

 

x = 1+ t y = 1−2t z = −3

, t ∈R B :

 

x = 2+ t y = −1+ t z = 1−3t

, t ∈R

C :

 

x = 1+ t y = −2−2t z = 3t

, t ∈R D :

 

x = 2+ t y = −1+ t z = −3−3t

, t ∈R.

2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite D avec le plan P sont :

A : (−4 ; 0 ; 0) B : (

6 5

; −9 5

; 3 5

) C :

( 7 9

; −2 3

; 1 3

) D;

( 8

11 ; −25 11

; 9

11

)

3. La distance du point S au plan P est égale à :

A :

' 11 3

B : 3

' 11

C : 9

' 11

D : 9

11

4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale A : au point I(1 ; −5 ; 0)

B : au cercle de centre H et de rayon r = 3 √

10 11

C : au cercle de centre S et de rayon r = 2

D : au cercle de centre H et de rayon r = 3 '

10 11

.

Exercices de géométrie 96

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Nouvelle-Calédonie mars 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2).

1. a. Calculer le produit scalaire −−→ AB ·

−−→ AC puis les longueurs AB et AC.

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angle 8BAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x y +2z +2= 0.

3. Soient P1, et P2 les plans d’équations respectives x + y −3z +3= 0 et x −2y +6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations

paramétriques est

 

x = −2 y = −1+3t z = t

, t ∈R.

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit S la sphère de centre Ω(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3.

a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

b. Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Exercices de géométrie 25

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