Exercices de spécialité en géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en géométrie 3, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de spécialité géométrie 3. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Placer le point M sur la figure, la similitude directe qui transforme A en C et B en D.
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! Baccalauréat S Spécialité " Index des exercices de spécialité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

1 Polynésie juin 2012 × 2 Métropole juin 2012 × 3 Centres étrangers juin 2012 × × 4 Asie juin 2012 × 5 Antilles–Guyane 2012 × × 6 Liban mai 2012 × 7 Amérique du Nord mai 2012 × 8 Pondichéry avril 2012 × 9 Amérique du Sud novembre 2011 × ×

10 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 11 Métropole septembre 2011 × × 12 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 13 Polynésie juin 2011 × 14 Métropole juin 2011 × 15 La Réunion juin 2012 × × 16 Centres étrangers juin 2011 × × × 17 Asie juin 2011 × × 18 Antilles–Guyane 2011 × 19 Liban mai 2011 × 20 Amérique du Nord mai 2011 × 21 Pondichéry avril 2011 × 22 Amérique du Sud novembre 2010 × 23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × 24 La Réunion septembre 2010 × 25 Métropole septembre 2010 × 26 Polynésie juin 2010 × 27 La Réunion juin 2010 × 28 Métropole juin 2010 × 29 Centres étrangers juin 2010 × 30 Asie juin 2010 × 31 Antilles-Guyane juin 2010 × 32 Amérique du Nord juin 2010 × × 33 Liban juin 2010 × × 34 Pondichéry avril 2010 × × 35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 × 36 Amérique du Sud novembre 2009 × 37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie septembre 2009 ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

39 Métropole septembre 2009 × 40 Amérique du Nord juin 2009 × 41 Liban juin 2009 × 42 Polynésie juin 2009 × 43 Centres étrangers juin 2009 × × 44 Asie juin 2009 × 45 Métropole juin 2009 × 46 Antilles - Guyane juin 2009 × × 47 La Réunion juin 2009 × × 48 Pondichéry avril 2009 × × 49 Nouvelle–Calédonie décembre 2008 × 50 Amérique du Sud novembre 2008 × 51 Métropole La Réunion septembre 2008 × × 52 Antilles–Guyane septembre 2008 × × 53 Polynésie juin 2008 × × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Métropole juin 2008 × × 56 Centres étrangers juin 2008 × 57 Asie juin 2008 × 58 Antilles-Guyane juin 2008 × 59 Amérique du Nord mai 2008 × × 60 Liban mai 2008 × × × 61 Pondichéry avril 2008 × 62 Nouvelle-Calédonie mars 2008 × 63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 × 64 Amérique du Sud novembre 2007 × 65 Métropole-La Réunion septembre 2007 × 66 Antilles-Guyane septembre 2007 × 67 Polynésie juin 2007 × 68 La Réunion juin 2007 × 69 Métropole juin 2007 × 70 Centres étrangers juin 2007 × 71 Asie juin 2007 × 72 Antilles-Guyane juin 2007 × 73 Amérique du Nord juin 2007 × 74 Liban juin 2007 × × 75 Pondichéry avril 2007 × 76 Nlle-Calédonie mars 2007 × 77 Nlle-Calédonie novembre 2006 × 78 Amérique du Sud novembre 2006 × 79 Métropole septembre 2006 × 80 Polynésie juin 2006 ×

Exercices de spécialité 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

81 La Réunion juin 2006 × 82 Métropole juin 2006 × 83 Centres étrangers juin 2006 × 84 Asie juin 2006 × 85 Antilles-Guyane juin 2006 × 86 Amérique du Nord juin 2006 × 87 Pondichéry avril 2006 × 88 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × 89 Amérique du Sud novembre 2005 × 90 Métropole septembre 2005 × × 91 Amérique du Nord juin 2005 × 92 Antilles-Guyane juin 2005 × 93 Asie juin 2005 × 94 Centres étrangers juin 2005 × 95 Métropole juin 2005 × 96 La Réunion juin 2005 × 97 Liban juin 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × 99 Pondichéry juin 2005 ×

100 Nlle-Calédonie nov. 2004 × 101 Amérique du Sud nov. 2004 × 102 Antilles septembre 2004 × × 103 Métropole septembre 2004 × 104 Polynésie septembre 2004 × 105 Amérique du Nord mai 2004 × 106 Antilles-Guyane juin 2004 × 107 Asie juin 2004 × 108 Centres étrangers juin 2004 × 109 Métropole juin 2004 × 110 Liban juin 2004 × 111 Polynésie juin 2004 × 112 Pondichéry avril 2004 × 113 La Réunion juin 2004 × 114 Amérique du Sud nov. 2003 × 115 Nouvelle Calédonie nov. 2003 × 116 Antilles–Guyane sept. 2003 × 117 Métropole septembre 2003 × 118 Polynésie septembre 2003 × 119 Amérique du Nord juin 2003 × 120 Antilles-Guyane juin 2003 × 121 Asie juin 2003 × 122 Centres étrangers juin 2003 ×

Exercices de spécialité 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

123 Métropole juin 2003 × × 124 La Réunion juin 2003 × 125 Liban juin 2003 × 126 Polynésie juin 2003 × 127 Pondichéry juin 2003 × 128 Amérique du Sud déc. 2002 × 129 Nouvelle Calédonie nov. 2002 × 130 Antilles-Guyane sept. 2002 × 131 Métropole septembre 2002 × 132 Amérique du Nord juin 2002 × 133 Antilles-Guyane juin 2002 × 134 Asie juin 2002 × 135 Centres étrangers juin 2002 × 136 Métropole juin 2002 × 137 La Réunion juin 2002 × 138 Polynésie juin 2002 × 139 Pondichéry juin 2002 × 140 Nouvelle Calédonie déc. 2001 × 141 Amérique du Sud déc. 2001 × 142 Antilles-Guyane sept. 2001 × 143 Métropole septembre 2001 × 144 Polynésie septembre 2001 × 145 Amérique du Nord juin 2001 × 146 Antilles-Guyane juin 2001 × 147 Asie juin 2001 × 148 Centres étrangers juin 2001 × 149 Métropole juin 2001 × 150 Liban juin 2001 × 151 Polynésie juin 2001 × 152 Pondichéry juin 2001 × 153 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 154 Amérique du Sud nov. 2000 × 155 Métropole septembre 2000 × 156 Polynésie septembre 2000 × 157 Amérique du Nord juin 2000 × 158 Antilles-Guyane juin 2000 × × 159 Asie juin 2000 × 160 Centres étrangers juin 2000 × 161 Métropole juin 2000 × 162 La Réunion juin 2000 × 163 Liban juin 2000 × × 164 Polynésie juin 2000 ×

Exercices de spécialité 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

# Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cornus. $ http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/

Exercices de spécialité 181

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

170 Sportifs de haut–niveau septembre 1999 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . (unité graphique : 1 cm) .

1. On note A, B et C les points d’affixes respectives 2i, -1 + 4i et 5 + 2i. On considère la translation t de vecteur

−−→ BC , la symétrie S d’axe (AB) et la transformation f = t◦ S.

On désigne par A′ et B′ les images respectives de A et B par f .

Calculer les affixes de A′ et B′ et placer les points A, B, C, A′ et B′ sur une figure.

2. On rappelle que l’écriture complexe d’un antidéplacement est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes et |a| = 1. À tout point M d’affixe z, f associe le point M ′ d’affixe z ′.

Justifier que f est un antidéplacement et démontrer que :

z ′ = −3−4i

5 z +

38−6i 5

.

3. Déterminer l’ensemble des points invariants par f . La transformation f est-elle une symétrie ? 4. On appelle D le point d’affixe 3 + 6i, ∆ la médiatrice de [BD] et S′ la symétrie d’axe ∆.

1. Montrer que les droites ∆ et (AB) sont parallèles. Déterminer S ◦ S′.

2. Montrer que f ◦S′ est la translation, notée t ′, de vecteur −−→ DC . En déduire que f = t ′ ◦S′.

Exercices de spécialité 180

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

165 Pondichéry juin 2000 × 166 Nlle-Calédonie déc. 1999 × 167 Amérique du Sud nov. 1999 × 168 Antilles-Guyane sept. 1999 × 169 Métropole sept. 1999 × 170 Sportifs haut-niveau sept. 1999 ×

Exercices de spécialité 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x −108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation. 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel. Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

2. 1. On suppose que a n’est pas un multiple de 7. Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7]. En déduire que

( a25

)g a [7]. 2. On suppose que a est un multiple de 7.

Démontrer que ( a25

)g a [7]. 3. On admet que pour tout entier naturel a,

( a25

)g a [19]. Démontrer que

( a25

)g a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 1! a ! 26. Un message, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 0! r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r 13 ≡ r1 [133] avec 0! r1 < 133.

1. Justifier que r1 ≡ a [133]. 2. Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Exercices de spécialité 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

169 Métropole septembre 1999 Retour au tableau

Soit le repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

du plan complexe. Les points A, B et C sont définis par leurs affixes respectives :

zA = 3− i '

3 ; zB = 3+ i '

3 ; zC = 2+ '

3+3i.

1. Faire la figure en choisissant pour unité graphique 2 cm. (On placera l’origine sur la gauche de la feuille).

2. Prouver que OAB est un triangle équilatéral direct. Soit G le centre de gravité du triangle OAB. Déterminer l’affixe zG de G. Dans la suite de l’exercice, on étudie deux isométries transformant [OA] en [GC].

3. Soit a et b deux nombres complexes et R l’application qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = az +b.

1. Déterminer a et b pour que R(O) = G et R(A) = C.

2. Prouver que R est une rotation dont on déterminera le centre et l’angle.

3. Prouver que les droites (OA) et (GC) sont perpendiculaires. Que peut-on dire des points G, B et C ?

4. Construire, en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par R.

4. Soit a′ et b′ deux nombres complexes et f l’application qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que z ′ = az +b′.

1. Déterminer a′ et b′ pour que f (O) = G et f (A) = C.

2. Soit I le milieu du segment [OG]. Déterminer le point f (I). f est-elle une réflexion ?

3. Construire en justifiant la construction, l’image du triangle OAB par f .

Exercices de spécialité 179

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

168 Antilles–Guyane septembre 1999 Retour au tableau

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ) .

On donne le point A(6 ; 0) et le point A′(0 ; 2). À tout point M de l’axe des abscisses différent de A on associe le point M ′ tel que :

AM = A′M ′ et (−−→ AM ,

−−−→ A′M

) =

π

2 mod 2π.

On admet l’existence et l’unicité de M ′. On réalisera une figure avec, pour unité graphique 0,5 cm et pour cette figure, on prendra −4 pour abs- cisse de M .

1. Soit M un point de l’axe des abscisses différent de A. 1. Placer le point M ′ sur la figure.

2. Pour cette question on pourra donner une démonstration purement géométrique ou utiliser les nombres complexes. Démontrer qu’il existe une unique rotation, dont on précisera le centre, noté I et l’angle, qui transforme A en A′ et M en M ′.

Placer I sur la figure.

3. Démontrer que la médiatrice de [M M ′] passe par I.

2. On veut déterminer et construire les couples de points (M , M ′) vérifiant la condition supplémen- taire M M ′ = 20.

1. Calculer IM et démontrer qu’il existe deux couples solutions : (M1, M ′1) et (M2, M ′ 2).

2. Placer ces quatre points sur la figure.

Exercices de spécialité 178

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x +2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D. Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+ i)z +3− i = 0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droite D.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de

−1+2i, fait correspondre le point M ′ d’affixe 1

(1+ i)z +3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M1 d’affixe (1+ i)z +3− i.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

3. Déterminer l’image D1 de la droite D par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1 z

.

1. Déterminer les affixes des points h (A1) , h (B1) et h (A1) et placer ces points sur la figure.

2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1 z

1 2

∣∣∣∣= 1 2

⇐⇒ |z −2| = |z|.

3. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

4. Démontrer que tout point du cercle C qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite D1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices de spécialité 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x −2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+2k ; 13+3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n +1 et b = 2n +3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2 +7n +21 et b = 2n +2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n +2 et n +17.

4. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i. On note s la similitude directe s de centre A, de rapport

' 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i

2 z +

−1+7i 2

.

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

' 3+ i(3+

' 3) et d = 4+

' 3+4i

' 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π

3 .

Exercices de spécialité 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

167 Amérique du Sud novembre 1999 Retour au tableau

On considère l’équation

(1) : 20b −9c = 2.

où les inconnues b et c appartiennent à l’ensemble Z des nombres entiers relatifs.

1. 1. Montrer que si le couple (b0 ; c0 d’entiers relatifs est une solution de l’équation (1), alors c0 est un multiple de 2.

2. On désigne par d le p.g.c.d. de |b0| et |c0|. Quelles sont les valeurs possibles de d ?

2. Déterminer une solution particulière de l’équation (1), puis déterminer l’ensemble des solutions de cette équation.

3. Déterminer l’ensemble des solutions (b ; c) de (1) telles que p.g.c.d.(b ; c) = 2. 4. Soit r un nombre entier naturel supérieur ou égal à 2.

Le nombre entier naturel P , déterminé par P =αnr n+αn−1r n−1+...+α1r+α0, oùαn, αn−1, ...,α1, α0 sont des nombres entiers naturels vérifiant 0 < αn < r, 0 ! αn−1 < r, ..., 0 !, α0 < r est noté αnαn−1 . . .α1α0

(r ) ; cette écriture est dite « écriture de P en base r ». Soit P un nombre entier naturel

s’écrivant ca5 (6)

et bbaa (4)

(en base sixet en base quatre respectivement).

Montrer que a+5 est un multiple de 4 et en déduire les valeurs de a, puis de b et de c. Donner l’écriture de P dans le système décimal.

Exercices de spécialité 177

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

166 Nouvelle–Calédonie décembre 1999 Retour au tableau

Soit n un entier naturel non nul, on considère les entiers suivants : N = 9n +1 et M = 9n −1.

1. On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2p, avec p entier naturel non nul. 1. Montrer que M et N sont des entiers impairs.

2. En remarquant que N = M +2, déterminer le PGCD de M et N .

2. On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2p +1 , avec p entier naturel. 1. Montrer que M et N sont des entiers pairs.

2. En remarquant que N = M +2, déterminer le PGCD de M et N .

3. Pour tout entier naturel non nul n, on considère l’entier 81n2−1. 1. Exprimer l’entier 81n2−1 en fonction des entiers M et N .

2. Démontrer que si n est pair alors 81n −1 est impair.

3. Démontrer que 81n2 −1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.

Exercices de spécialité 176

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Détermination d’une similitude directe

On considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− 1 2 + i

' 3

2 et zB =−

' 3+ i.

1. 1. Ecrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre 0 qui transforme le point A en B.

2. Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude f .

Partie B. Étude d’une transformation

Le but de cette partie est d’étudier la transformation g = s f , où f désigne la similitude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe

( O ;

−→ u ) .

1. Soit M un point quelconque du plan. On désigne par M ′ l’image du point M par la transformation g . On note z et z ′ les affixes respectives des points M et M ′, et z celle du conjugué de z.

1. Démontrer l’égalité : z ′ = 2e−i π 6 z.

2. On pose C = g (A) et D = g (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.

3. Quelle est la nature du triangle OAC ?

4. Démontrer que les vecteurs −−→ OA et

−−→ OD sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géométriques.

Exercices de spécialité 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

1. 1. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x −5y = 14.

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2 0112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3 2

(1− i)z +4−2i.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent (

A N

) désigne la partie entière de

A N

.

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N !

' A

Si A N

−Ent (

A N

) = 0 alors Afficher N et

A N

Fin si N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Exercices de spécialité 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

165 Pondichéry juin 2000 Retour au tableau

Dans tout l’exercice, n désigne un entier naturel non nul.

1. 1. Pour 1! n ! 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7. 2. Démontrer que, pour tout n, 3n+6 −3n est divisible par 7.

En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

3. À l’aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31000 par 7.

4. De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n par 7, pour n quelconque ?

5. En déduire que, pour tout entier naturel n,3n est premier avec 7.

2. Soit Un = 1+3+32 +·· ·+3n−1 = i=n−1∑

i=0 3i , où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Montrer que si Un est divisible par 7, alors 3n −1 est divisible par 7.

2. Réciproquement, montrer que si 3n − 1 est divisible par 7, alors Un est divisible par 7. En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.

Exercices de spécialité 175

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

164 Polynésie juin 2000 Retour au tableau

1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l’équation (1) ax + by = 60 (a et b entiers naturels donnés tels que ab *= 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.

1. On suppose que l’équation (1) a au moins une solution (x0 ; y0). Montrer que d divise 60.

2. On suppose que d divise 60. Prouver qu’il existe alors au moins une solution (x0 ; y0) à l’équa- tion (1).

2. On considère l’équation : (2) 24x +36y = 60. (x et y entiers relatifs). 1. Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l’équation (2).

2. Trouver une solution évidente pour l’équation (2) et résoudre cette équation. On appellera S l’ensemble des couples (x ; y) solutions.

3. Énumérer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :

−10! x ! 10.

Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm), représenter l’en- semble E des points M de coordonnées (x ; y) telles que :

{ x = 1+3t y = 1−2t

t ∈R.

5. Montrer que les points ayant pour coordonnées les solutions (x ; y) de l’équation (2) appar- tiennent à E . Comment peut-on caractériser S ?

Exercices de spécialité 174

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

2 zn +1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le plan muni du repère (O ; "u ; "v). 2. 1. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on défi-

nira le rapport, l’angle et le centre Ω, d’affixe ω.

2. Démontrer que le triangle ΩAn An+1 est isocèle rectangle.

3. 1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a : ΩAn = ('

2 2

)n−1 .

2. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés àă l’intérieur du disque de centre Ω et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur An An+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0 A1 · · ·An An+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An , Ω et An+4 sont alignés.

Exercices de spécialité 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Amérique du Nord mai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à tout M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz +6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformation S. 2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4

y ′ = 5x +6

Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −3! x ! 5 et −3! x ! 5. On note E l’ensemble de ces points M . On rappelle que les cordonnées (x′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x +6.

1. 1. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5. 2. En déduire l’ensemble des points M de E de coordonnées (x ; y) tels que −3x′+4y ′ = 37.

2. Soit M un point de l’ensemble E et M ′ son image par la transformation S. 1. Démontrer que x′+ y ′ est un multiple de 5.

2. Démontrer que x′ − y ′ et x′+ y ′ sont congrus modulo 2. En déduire que si x′2 − y ′2 est multiple de 2 alors x′ − y ′ et x′+ y ′ le sont également.

3. Déterminer l’ensemble des points M de C tels que : x′2 − y ′2 = 20.

Exercices de spécialité 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

163 Liban juin 2000 Retour au tableau

1. Le plan (P ) est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit A et B dans ce plan d’affixes respectives a = 1+ i ; b =− 4− i . Soit f la transformation du plan

(P ) qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que −−−→ OM ′ = 2

−−→ AM +

−−→ BM .

1. Exprimer z ′ en fonction de z.

2. Montrer que f admet un seul point invariant Ω dont on donnera l’affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport.

2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des entiers naturels avec 1 ! x ! 8 et 1! y ! 8. Les coordonnées (x′ ; y ′) de M ′ sont alors : x′ = 3x +2 et y ′ = 3y −1.

1. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par x′ et y ′. Écrire la liste des éléments de G et H .

2. Montrer que x′ − y ′ est un multiple de 3.

3. Montrer que la somme et la différence de deux entiers quelconques ont même parité. On se propose de déterminer tous les couples (x′ ; y ′) de G×H tels que m = x′2−y ′2 soit un multiple non nul de 60.

4. Montrer que dans ces conditions, le nombre x′ − y ′ est un multiple de 6. Le nombre x′ − y

peut-il être un multiple de 30 ?

5. En déduire que, si x′2 − y ′2 est un multiple non nul de 60, x′+ y ′ est multiple de 10 et utiliser cette condition pour trouver tous les couples (x′ ; y ′) qui conviennent. En déduire les couples (x ; y) correspondant aux couples (x′ ; y ′) trouvés.

Exercices de spécialité 173

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

162 La Réunion juin 2000 Retour au tableau

Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 5, on considère les nombres

a = n3 −n2 −12n et b = 2n2 −7n −4.

1. Montrer, après factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n −4. 2. On pose α= 2n +1 et β= n +3. On note d le PGCD de α et β.

1. Établir une relation entre α et β indépendante de n.

2. Démontrer que d est un diviseur de 5.

3. Démontrer que les nombres α et β sont multiples de 5 si et seulement si n−2 est multiple de 5.

3. Montrer que 2n +1 et n sont premiers entre eux. 4. 1. Déterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.

2. Vérifier les résultats obtenus dans les cas particuliers n = 11 et n = 12.

Exercices de spécialité 172

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a,b,c,d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23 modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x −26y = 1,

x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ). 3. En déduire un entier a tel que 0! a ! 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1) {

y1 ≡ 11x1 +3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1 +4x2 (mod 26)

avec 0! y1 ! 25 et 0! y2 ! 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance

donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape 2 =⇒ (13,19)

étape 3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST. 2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

1. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2) {

23x1 ≡ 4y1 +23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1 +11y2 (mod 26)

2. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système

(S3) {

x1 ≡ 16y1 + y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1 +5y2 (mod 26)

3. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

4. Décoder le mot YJ.

Exercices de spécialité 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 2 0112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua + vb = 3, alors PGCD(a, b) = 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. Proposition 3 : « L’entier n2 −3n −10 n’est jamais un nombre premier ». L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

• On considère le cône Γ d’équation x2 + y2 = 5z2. Soit A le point de coordonnées (−2 ; −1 ; γ). Proposition 4 : « Il existe un unique réel γ tel que le point A appartient au cône Γ ».

• On coupe le cône Γ d’équation x2 + y2 = 5z2 par le plan Pa d’équation x = a a ∈R. Proposition 5 : « Cette intersection peut être la réunion de deux droites ».

Exercices de spécialité 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

161 Métropole juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que −→ AE =

3 4 −→ AB .

Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. Soit un point C , distinct de A, tel que

(−−→ AB ;

−−→ AC

) =

π

4 .

La droite parallèle à (BC ) passant par E coupe la droite (AC ) en F . On appelle I le milieu de [BC ], J le milieu de [EF ] et D le point d’intersection des droites (EC ) et (BF ). On note hA l’homothétie de centre A qui transforme B en E et hD l’homothétie de centre D qui trans- forme E en C .

1. Déterminer hA(C ) puis hD (F ). 2. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de hD hA puis de hA ◦hD . 3. On appelle E’ l’image de E par hA et E ′′ l’image de E’ par hD . Représenter E’, puis construire E ′′ en

justifiant la construction.

4. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de hD hA ◦hA ◦hD . 5. Montrer que le quadrilatère BEC E ′′ est un parallélogramme. 6. On appelle (∆) l’ensemble des points M tels que

(−→ AB ;

−−→ AM

) =

π

4 . (∆) est donc une demi-droite

ouverte d’origine A.

Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit (∆).

Déterminer et construire le lieu géométrique (∆)′′ du point E ′′.

Exercices de spécialité 171

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

160 Centres étrangers juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère un losange ABCD tel que AB = BC = CD = DA = 5 et ( −→ AB ,

−−→ AD ) =

π

3 .

On désigne par I, J, K, L et O les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD], [DA] et [BD]. On note (∆) la médiatrice de [AB] et (∆′) la médiatrice de [CD].

1. Soit f l’isométrie du plan définie par f (A) = B, f (B) = D, f (D) = C. 1. Prouver que f est un antidéplacement.

2. Démontrer que s’il existe un point M invariant par f , alors M est équidistant des points A, B, C, D.

3. L’isométrie f admet-elle un point invariant ?

2. Soit σ la symétrie orthogonale d’axe (∆) et r la rotation de centre B et d’angle − π 3

.

1. Démontrer que f = r σ.

2. A-t-on f =σr ?

3. Soit s1, la symétrie orthogonale d’axe (BC). 1. Déterminer l’axe de la symétrie orthogonale s2, telle que r = s2 ◦ s1.

2. En déduire que f peut s’écrire sous la forme f = s1 ◦ t1, , où t1 est une translation que l’on précisera.

4. Soit t2 la translation de vecteur 1 2 −−→ AD ; on note t− 12 sa réciproque et on pose g = t

− 1 2 ◦ f .

1. Déterminer g (D), g (I), g (O). En déduire la nature précise de la transformation g .

2. Démontrer que f = t2 ◦ g . A-t-on f = g t2 ?

Exercices de spécialité 170

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Nouvelle Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S d’équation : x2 + y2 − z2 = 4.

1. 1. Montrer que si le point M(x ; y ; z) appartient à S alors le point M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

2. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans (xOz) et (yOz).

2. 1. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy). Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2. 4. On considère les points A(2'2 ; 0 ; 2) et B(0 ; 2'2 ; −2).

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5. 1. Montrer qu’un point M(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(x z)(x + z) =−21 et y = 5.

2. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Métropole septembre 2011

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1). Pour tout point M de coordonnées (x ; y), on note M ′ l’image du point M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

( x′ ; y

) ses coordonnées.

1. 1. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout point M d’affixe z, l’affixe z ′ du point M ′ est donnée par

z ′ = az +b.

2. En utilisant les points A et B, démontrer que {

1 = a+b 6+ i = a(6− i)+b

3. En déduire que, pour tout nombre complexe z :

z ′ = 1

13 (12+5i)z +

1 13

(1−5i).

4. Établir que, pour tout point M de coordonnées (x ; y), les coordonnées ( x′ ; y

) du point M

sont telles que :

x′ = 1

13 (12x +5y +1) et y ′ =

1 13

(5x −12y −5).

2. On désigne par E l’ensemble des points M dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers relatifs et tels que le point M ′ associé appartienne à l’axe des abscisses.

1. Justifier que M(x ; y) appartient à E si et seulement si 5(x −1)= 12y .

2. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k) où k est un entier relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de M sont des entiers relatifs et que l’abs- cisse de M ′ est un entier relatif.

1. Démontrer que x ≡ 5y +1 [13].

2. En déduire que 5x −12y −5≡ 0 [13] et que l’ordonnée de M ′ est un entier relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les points M de la droite d’équation x = 2 tels que les coordonnées du point M ′ soient des entiers relatifs.

On pourra montrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

Exercices de spécialité 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

159 Asie juin 2000 Retour au tableau

1. Déterminer PGCD(2 688 ; 3 024). 2. Dans cette question, x et y sont deux entiers relatifs.

1. Montrer que les équations (1) et (2) sont équivalentes (1) 2 688x +3 024y = −3 360 ;(2) 8x + 9y =− 10.

2. Vérifier que (1 ; − 2) est une solution particulière de l’équation (2).

3. Déduire de ce qui précède les solutions de (2).

3. Soit ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k )

un repère orthonormal de l’espace. On considère les plans (P) et (Q) d’équa- tions respectives

x +2y z =−2 et 3x y +5z = 0.

1. Montrer que (P) et (Q) se coupent suivant une droite (D).

2. Montrer que les coordonnées des points de (D) vérifient l’équation (2).

3. En déduire l’ensemble E des points de (D) dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 169

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

158 Antilles–Guyane juin 2000 Retour au tableau

Les points A0 = O ; A1 ; . . . ; A20 sont les sommets d’un polygone régulier de centre A, à 21 côtés, de sens direct. Les points B0 = O ; B1 ; B14 sont les sommets d’un polygone régulier de centre B, à 15 côtés, de sens direct. Soit rA la rotation de centre A et d’angle

2π 21

et rB la rotation de centre B et d’angle 2π 15

.

On définit la suite (Mn) de points par : – M0 est l’un des points A0, A1, A2, . . . , A20 ; – pour tout entier naturel n, Mn+1 = rA(Mn). On définit la suite (Pn) de points par : – P0 est l’un des points B0, B1, B2, . . . , B14 – pour tout entier naturel n, Pn+1 = rB(Pn).

Le but de l’exercice est de déterminer, pour deux cas particuliers, l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant :

Mn = Pn = O.

1. Dans cette question, M0 = P0 = O. 1. Indiquer la position du point M2000 et celle du point P2000.

2. Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que Mn = Pn = O. En déduire l’ensemble S.

2. Dans cette question, M0 = A19 et P0 = B10. On considère l’équation (E ) : 7x −5y = 1 avec x ∈ Z et y ∈Z.

1. Déterminer une solution particulière (a ; b) de (E ).

2. Déterminer l’ensemble des solutions de (E ).

3. En déduire l’ensemble S des entiers naturels n vérifiant Mn = Pn =O.

Exercices de spécialité 168

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère l’ensemble P des points M(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2 + y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. 1. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1.

2. On considère la sphère S de centre O et de rayon '6. 1. Donner une équation de la sphère S.

2. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coor- données sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation −3x +2y = 1 et vérifiant z ! 25.

1. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) : −3x +2y = 1.

2. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Dé- terminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x +2y = 1 et z ! 25.

Exercices de spécialité 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Polynésie juin 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1 et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un +21.

1. Calculer u1, u2 et u3. 2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1 −7.

2. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un

3. Montrer que u2 est un nombre premier. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. 5. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. 1. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). 2. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercices de spécialité 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

157 Amérique du Nord juin 2000 Retour au tableau

Dans le plan orienté, on considère un triangle direct OAB, rectangle et isocèle en O.

On a donc ( −−→ OA ,

−−→ OB ) =

π

2 [2π]. On note RA et RB les rotations de centres respectifs A et B et de même

angle π

2 et SO la symétrie de centre O.

On place un point C, non situé sur la droite (AB) , on trace les carrés BE DC et ACFG directs. On a donc

( −−→ BE ,

−−→ BC ) =

π

2 [2π] et (

−−→ AC ,

−−→ AG ) =

π

2 [2π].

1. 1. Déterminer S(AO) ◦S(AB) composée des réflexions d’axes (AB) et (AO). 2. En écrivant RB sous la forme d’une composée de deux réflexions, démontrer que RA◦RB = SO.

2. 1. Déterminer l’image de E par RA ◦RB. 2. En déduire que O est le milieu du segment [EG].

3. On note RF et RD les rotations de centres respectifs F et D et de même angle. Étudier l’image de C par la transformation RF SO ◦RD . Déterminer la transformation RF ◦SO ◦RD .

4. Placer H le symétrique de D par rapport à O. Démontrer que RF (H) = D. Démontrer que le triangle F OD est rectangle et isocèle en O.

Exercices de spécialité 167

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

156 Polynésie septembre 2000 Retour au tableau

Sur la figure ci-dessous, ABCD est un rectangle de sens direct, AEFB et ADGH sont des carrés de sens direct.

1. Le but de cette première question est de démontrer que les droites (AC), (EG) et (FH) sont concou- rantes. Pour cela on note I le point d’intersection des droites (EG) et (FH) et on introduit : • l’homothétie h1 de centre I qui transforme G en E. • l’homothétie h2 de centre I qui transforme F en H.

1. Déterminer l’image de la droite (CG) par l’ho- mothétie h1 puis par la composée h2 ◦h1.

2. Déterminer l’image de la droite (CG) par la composée h1 ◦h2.

3. Justifier l’égalité :

h2 ◦h1 = h1 ◦h2.

En déduire que la droite (AC) passe aussi par le point I.

G

D

C

H

A

B

E

F

2. On se propose ici de démontrer que la médiane issue du sommet A du triangle AEH est une hau- teur du triangle ABD. On note O le milieu du segment [EH].

1. Exprimer le vecteur −−→ AO en fonction des vecteurs

−→ AE et

−−→ AH .

2. Exprimer le vecteur −−→ BD en fonction des vecteurs

−→ AB et

−−→ AD .

3. Calculer le produit scalaire −−→ AO .

−−→ BD et conclure.

3. Dans cette question, on étudie la similitude directe S qui transforme A en B et D en A. On pose AB = 1 et AD = k (k > 0).

1. Déterminer l’angle et le rapport de la similitude S.

2. Déterminer l’image de la droite (BD), puis l’image de la droite (AO), par cette similitude S.

3. En déduire que le point d’intersection Ω des droites (BD) et (AO) est le centre de la similitude S.

Exercices de spécialité 166

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au +bv = 1.

Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :

{ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5]

1. Recherche d’un élément de S . On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u +5v = 1.

1. Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).

2. On pose n0 = 3×17u +9×5v . Démontrer que n0 appartient à S .

3. Donner un exemple d’entier n0 appartenant à S .

2. Caractérisation des éléments de S . 1. Soit n un entier relatif appartenant à S .

Démontrer que n n0 ≡ 0 [85].

2. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s’écrire sous la forme n = 43+85k k est un entier relatif.

3. Application Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

Exercices de spécialité 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ =

' 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante : M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du point Mn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = (

1 2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les points M0, M1, M2, M3 et M4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

155 Métropole septembre 2000 Retour au tableau

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité graphique est 4 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a, b, c et d telles que :

a = 1, b = ei π 3 , c =

3 2 +

' 3

2 i, d =

' 3

2 e−i

π 6 .

1. 1. Donner la forme exponentielle de c et la forme algébrique de d . 2. Représenter les points A, B, C et D.

3. Montrer que le quadrilatère OACB est un losange.

2. Montrer que les points D, A et C sont alignés. 3. Déterminer l’angle θ et le rapport k de la similitude directe s de centre O qui transforme A en C. 4. On note F et G les images par la similitude directe s des points D et C respectivement. Montrer que

les points F, C et G sont alignés.

5. Déterminer l’affixe f du point F. 6. On considère la transformationϕ qui à tout point M , d’affixe Z , associe le point M ′ d’affixe Z ′ telle

que :

Z ′ = ei 2π 3 Z +

3 2 + i

' 3

2 .

Pour toute droite δ du plan, on notera σδ la symétrie orthogonale d’axe δ.

1. Soit r la transformation qui à tout point M1 d’affixe Z1, associe le point M ′1 d’affixe Z ′ 1, telle

que :

Z ′1 = e −i 2π3 Z1 +

3 2 + i

' 3

2 Déterminer la nature de r et donner ses éléments caractéristiques.

2. En utilisant les nombres complexes, donner une mesure de l’angle (−−→ AO ,

−−→ AB

) , puis détermi-

ner la droite ∆ telle que : r =σ∆ ◦σ(AO).

3. Montrer que ϕ= r σ(AO). En déduire la nature de ϕ.

Exercices de spécialité 165

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

154 Amérique du Sud novembre 2000 Retour au tableau

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2cm). On désigne par m un nombre réel. On considère la transformation Tm du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = (m + i)z +m −1− i

Partie A

1. Peut-on choisir m de telle sorte que Tm soit une translation ? 2. Déterminer le réel m de telle sorte que Tm soit une rotation. Préciser alors le centre et l’angle de

cette rotation.

Partie B Dans la suite de l’exercice on pose m = 1.

1. 1. Calculer l’affixe du point Ω invariant par Tm .

2. Pour tout nombre complexe z différent de 1, calculer z ′ −1 z −1

. En interprétant géométrique-

ment le module et un argument de z ′ −1 z −1

, démontrer que T1 est une similitude directe dont

on précisera les éléments caractéristiques.

3. Démontrer que, pour tout nombre z on a : z ′−z = i(z−1). En déduire que si M est distinct de Ω , alors le triangle ΩM M ′ est rectangle isocèle en M .

2. On définit dans le plan une suite (Mn) de points en posant : M0 = O, M1 = T1(M0), et pour tout entier naturel Mn = T1(Mn−1).

1. Placer les points M1, M2, M3 et M4 dans le plan muni du repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

2. Pour tout entier naturel n, on pose dn = ΩMn . Démontrer que la suite (dn) est une suite géométrique.

Converge-t-elle ?

Exercices de spécialité 164

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Centres étrangers juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x +11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k −2 ; −4k +1), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

' 2 ) + i

( 1−

' 2 )

.

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport '

2 et d’angle − π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ = ( −

3 5 −

4 5

i )

z + (

12 5

+ 6 5

i ) .

Affirmation La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5 L’espace est muni d’un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4x y . Affirmation La section de la surface S par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

Exercices de spécialité 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entier n strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposi- tion).

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.

Partie B

Dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les surfaces Γ et C d’équations respectives : Γ :

z = x y et C : x2 + z2 = 1.

1. Donner la nature de la surface C et déterminer ses éléments caractéristiques. 2. Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ et C

1. Démontrer que les coordonnées (x ; y ; z) des points d’intersection de Γ et de C sont telles que :

x2 ( 1+ y2

) = 1.

2. En déduire que Γ et C ont deux points d’intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

3. Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d’équation z = n4 +4.

1. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P1 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l’exercice, on suppose n " 2.

2. Vérifier que : ( n2 −2n +2

)( n2 +2n +2

) = n4 +4.

3. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n " 2, n4 +4 n’est pas premier.

4. En déduire que le nombre de points d’intersection de Γ et du plan Pn dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

5. Déterminer les points d’intersection deΓ et du plan P5 dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Exercices de spécialité 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Nouvelle–Calédonie décembre 2000 Retour au tableau

Dans tout l’exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y . S est l’ensemble des couples (x, y) tels que PGCD(x, y) = y x.

1. 1. Calculer le PGCD(363, 484). 2. Le couple (363, 484) appartient-il à S ?

2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n, n +1) appartient-il à S ? Justifier votre réponse.

3. 1. Montrer que (x, y) appartient à S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x = k(y x) et y = (k +1)(y x).

2. En déduire que pour tout couple (x, y) de S on a : PPCM (x, y) = k(k +1)(y x).

4. 1. Déterminer l’ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. 2. En déduire l’ensemble des couples (x, y) de S tels que PPCM (x, y) = 228.

Exercices de spécialité 163

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

152 Pondichéry juin 2001 Retour au tableau

1. On considère l’équation (1) d’inconnue (n, m) élément de Z2 :

11n −24m = 1.

1. Justifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équation admet au moins une solu- tion.

2. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1).

3. Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1).

2. recherche du P.G.C.D. de 1011 −1 et 1024 −1. 1. Justifier que 9 divise 1011 −1 et 1024 −1.

2. (n, m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), montrer que l’on peut écrire

( 1011n −1

) −10

( 1024m −1

) = 9.

3. Montrer que 1011 −1 divise 1011n −1. (on rappelle l’égalité an −1 = (a −1)

( an−1 +an−2 +·· ·+a0

) , valable pour tout entier naturel

n non nul).

Déduire de la question précédente l’existence de deux entiers N et M tels que :

( 1011 −1

) N

( 1024 −1

) M = 9.

4. Montrer que tout diviseur commun à 1024 −1 et 1011 −1 divise 9.

5. Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 1024 −1 et 1011 −1.

Exercices de spécialité 162

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Antilles–Guyane juin 2011

1. On considère l’équation (E) : 11x −7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels que

11u −7v = 1. Trouver un tel couple.

2. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

3. Résoudre l’équation (E).

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on considère la droite D d’équa-

tion cartésienne 11x −7y −5 = 0. On note C l’ensemble des points M(x ; y) du plan tels que 0! x ! 50 et 0! y ! 50.

Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble C et dont les coor- données sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 11x2 −7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x2 ≡ 2y2 (mod 5).

2. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y2 par 5 ?

3. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

Exercices de spécialité 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Liban mai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes tels que a *= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A *= B et A′ *= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s. 2. On appelle Ω le centre de la similitude s.

1. En utilisant la relation −−→ DC =

−−→ ΩC −

−−→ ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

2. En déduire la nature du triangle ΩDC.

3. On pose σ= s s. 1. Quelle est la nature de la transformation σ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Déterminer l’image du point D par la transformation σ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle. 5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) ,

choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est : z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un point M et de son image M ′ par s.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que {

x′ = x y +2 y ′ = x + y −1

3. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des points M du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·

−→ AJ = 0, M ′ désignant l’image du point M par s ?

Exercices de spécialité 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

151 Polynésie juin 2001 Retour au tableau

1. On considère x et y des entiers relatifs et l’équation (E) 91x +10y = 1. 1. Énoncer un théorème permettant de justifier l’existence d’une solution à l’équation (E).

2. Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l’équa- tion (E’) : 91x +10y = 412.

3. Résoudre (E’).

2. Montrer que les nombres entiers An = 32n −1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).

3. On considère l’équation (E′′) A3x + A2 y = 3 296. 1. Déterminer les couples d’entiers relatifs (x, y) solutions de l’équation (E′′).

2. Montrer que (E′′) admet pour solution un couple unique d’entiers naturels. Le déterminer.

Exercices de spécialité 161

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

150 Liban juin 2001 Retour au tableau

On suppose le plan rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité graphique 3 cm.

Partie A

Soit trois droites D1, D2 et D3, sécantes en Ω et de vecteurs directeurs respectifs −→ d1 =

−→ u , et

−→ d2 et

−→ d3

supposés unitaires et tels que (−→ d1 ,

−→ d2

) =

π

4 et

(−→ d1 ,

−→ d3

) =−

2π 3

.

On note S1, S2 et S3 les réflexions d’axes respectifs D1, D2 et D3, et f la composée S3◦ S2 ◦S1, de ces trois réflexions.

1. Tracer ces trois droites. 2. 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation r = S2 ◦S1.

2. Caractériser la réflexion S telle que r = S3◦ S . On notera D l’axe de S et on en déterminera un point et un vecteur directeur

−→ d . Tracer la droite D.

3. En déduire la nature de f et ses éléments caractéristiques.

3. Justifier que le point E d’affixe zE = e iπ 12 est un point de la droite D.

Déterminer les nombres complexes a et b tels que la forme complexe de f soit l’application f1 définie sur C par f1(z) = az +b.

Partie B

1. Choisir un point A sur D. On note B l’image de A par S1 et C l’image de B par S2 . Placer les points B et C .

2. Démontrer que A est l’image de C par S3. 3. Que peut-on dire du point Ω pour le triangle ABC ?

Exercices de spécialité 160

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

20 Amérique du Nord mai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n +3n +6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ? 5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop).

2. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulo p).

3. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Exercices de spécialité 25

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