Exercices de spécialité en géométrie, Exercices de Géométrie Algorithmique
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercices de spécialité en géométrie, Exercices de Géométrie Algorithmique

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Exercices de spécialité en géométrie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la valeur exacte de l’intégrale I, En déduire les coordonnées des pointsMet N.
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[ Baccalauréat S Géométrie\ Index des exercices de géométrie de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

1 Asie juin 2012 × × 2 Centres étrangers juin 2012 × × 3 Libanmai 2012 × 4 Pondichéry avril 2012 × × 5 Amérique du Sud novembre 2011 × × 6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 7 Polynésie septembre 2011 × × 8 Métropole septembre 2011 × × 9 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 10 Polynésie juin 2011 × × 11 Métropole juin 2011 × × 12 Centres étrangers juin 2011 × × 13 Asie juin 2011 × × 14 Antilles–Guyane juin 2011 × × 15 Liban 30 juin 2011 × × 16 Amérique du Nord mai 2011 × × 17 Pondichéry avril 2011 × × 18 Nouvelle-Calédoniemars 2011 × × 19 Amérique du Sud décembre 2010 × × 20 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × 21 Métropole septembre 2010 × × 22 La Réunion septembre 2010 × × 23 Antilles-Guyane septembre 2010 × × 24 Polynésie juin 2010 × × 25 Liban juin 2010 × × 26 Centres étrangers juin 2010 × × 27 Pondichéry avril 2010 × × 28 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 29 Amérique du Sud novembre 2009 × × 30 Polynésie septembre 2009 × × 31 Métropole & La Réunion sept. 2009 × × 32 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 33 La Réunion juin 2009 × × 34 Centres étrangers juin 2009 × × 35 Liban juin 2009 × × 36 Amérique du Nord juin 2009 × × 37 Pondichéry avril 2009 × × 38 Nouvelle-Calédoniemars 2009 × × 39 Amérique du Sud novembre 2008 × × 40 Nouvelle-Calédonie nov. 2008 × ×

Baccalauréat S

No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

41 Polynésie septembre 2008 × × 42 Métropole & La Réunion sept. 2008 × × × × 43 Polynésie juin 2008 × × 44 Métropole juin 2008 × × 45 Centres étrangers juin 2008 × × 46 Asie juin 2008 × 47 Antilles-Guyane juin 2008 × × 48 Amérique du Nord mai 2008 × × 49 Pondichéry avril 2008 × 50 Nouvelle-Calédoniemars 2008 × × 51 Nouvelle-Calédonie déc. 2007 × 52 Amérique du Sud novembre 2007 × 53 Polynésie septembre 2007 × 54 Polynésie juin 2007 × × 55 Métropole juin 2007 × × 56 Antilles-Guyane juin 2007 × 57 Amérique du Nord juin 2007 × 58 Liban juin 2007 × 59 Pondichéry avril 2007 × 60 Nouvelle-Calédoniemars 2007 × 61 Polynésie septembre 2006 × 62 Métropole septembre 2006 × 63 Polynésie juin 2006 × × 64 La Réunion juin 2006 × × 65 Métropole juin 2006 × × 66 Centres étrangers juin 2006 × × 67 Antilles-Guyane juin 2006 × × 68 Pondichéry avril 2006 × × 69 Amérique du Sud novembre 2005 × 70 Polynésie septembre 2005 × × 71 Métropole septembre 2005 × 72 Antilles-Guyane septembre 2005 × × 73 Asie juin 2005 × × 74 Centres étrangers juin 2005 × × 75 La Réunion juin 2005 × 76 Métropole juin 2005 × × 77 Polynésie juin 2005 × 78 Pondichéry avril 2005 × 79 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × 80 Antilles-Guyane septembre 2004 × 81 Amérique du Nord mai 2004 × 82 Antilles-Guyane juin 2004 × × No Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie Application

Exercices de géométrie 2

Baccalauréat S

83 Métropole juin 2004 × 84 Nouvelle-Calédoniemars 2004 × × 85 Nouvelle-Calédonie nov. 2003 × 86 Polynésie septembre 2003 × 87 Asie juin 2003 × 88 Métropole juin 2003 × 89 La Réunion juin 2003 × 90 Polynésie juin 2003 × 91 Nouvelle-Calédonie déc. 2001 × × 92 Amérique du Nord juin 2001 × 93 Métropole juin 2001 × × 94 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 95 Métropole septembre 2000 × × 96 Polynésie septembre 2000 × 97 Amérique du Nord juin 2000 × 98 Centres étrangers juin 2000 × 99 Nouvelle-Calédonie déc. 1999 × ×

Exercices de géométrie 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Asie juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en

justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte 1 point.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère la droite D dont on

donne une représentation paramétrique, et le plan P dont on donne une équation cartésienne :

D

  

x = 1−2t y = t z = −5−4t

(t ∈R) et P : 3x+2y z−5= 0.

Affirmation 1 : la droite D est strictement parallèle au plan P .

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère le point A(1 ; 9 ; 0) et

le plan P d’équation cartésienne : 4xy z+3= 0.

Affirmation 2 : la distance du point A au plan P est égale à

p 3

2 .

3. Soit la fonction f définie pour tout réel x par : f (x)= 3

1+e−2x .

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère du plan.

Affirmation 3 : la courbe C admet deux asymptotes parallèles à l’axe des abscisses.

4. Pour tout réel x, on pose F (x)= ∫x

1 (2− t )e−t dt .

Affirmation 4 : F (x) est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel x supérieur à 1.

5. On considère l’intégrale I = ∫e

1 t2 ln t dt .

Affirmation 5 : la valeur exacte de l’intégrale I est : 2e3+1

9 .

Exercices de géométrie 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Centres étrangers juin 2012

On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.

On se place dans le repère orthonormal ( A ;

−→ AB ;

−→ AD ;

−→ AE

) .

On considère les points I

( 1 ;

1

3 ; 0

) , J

( 0 ;

2

3 ; 1

) , K

( 3

4 ; 0 ; 1

) et L(a ; 1 ; 0) avec a un nombre réel apparte-

nant à l’intervalle [0 ; 1].

B C

DA

F G

HE

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ).

2. Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique   

x = 3

4 + t

( a

3

4

)

y = t z = 1− t

, t ′ ∈R

3. Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, a = 1

4 .

Partie B

Dans la suite de l’exercice, on pose a = 1

4 .

Le point L a donc pour coordonnées

( 1

4 ; 1 ; 0

) .

1. Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme.

2. La figure ci-dessous fait apparaître l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu’elle a été obtenue à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique. . On désigne parM le point d’intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d’inter-

Exercices de géométrie 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

section du plan (IJK) et de la droite (DH). B C

D A

F G

HE

b

b

b

b

b

b

I

K

J

M

N

L

Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.

1. Prouver que le vecteur −→n de coordonnées (8 ; 9 ; 5) est un vecteur normal au plan (IJK). 2. En déduire que le plan (IJK) a pour équation 8x+9y +5z−11= 0. 3. En déduire les coordonnées des points M et N

Exercices de géométrie 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Libanmai 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d’indiquer sur la

copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en

compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les droites D1 et D2

de représentations paramétriques respectives :

  

x = 4+ t y = 6+2t z = 4− t

, t R , et

  

x = 8+5t y = 2−2t z = 6+ t

, t ′ ∈R .

Affirmation : les droites D1 etD2 sont coplanaires.

2. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les points A(12 ;7 ;−13)

et B(3 ; 1 ; 2) ainsi que le plan P d’équation 3x+2y −5z = 1. Affirmation : le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan P .

3. On considère les suites u et v définies, pour tout entier naturel n, par :

un = n+1 n+2

et vn = 2+ 1

n+2

Affirmation : ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite u définie par son premier terme u0 = 1 et la relation de récurrence :

un+1 = 1

3 un +2, pour tout entier naturel n.

Affirmation : cette suite est majorée par 3.

Exercices de géométrie 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Pondichéry avril 2012

Dans le repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) de l’espace, on considère :

– les plansP et P ′ d’équations :

P : xy z−2= 0 et P ′ : x+ y +3z = 0.

– la droite D ayant pour représentation paramétrique :

  

x = −3−2t y = 2t z = 1+2t

t ∈R.

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une justification est attendue pour chaque réponse.

Proposition 1 La droite D est orthogonale au plan P . Proposition 2 La sphère S de centre O et de rayon 2 est tangente au plan P . Proposition 3 L’intersection des plans P et P ′ est la droite∆ dont une représentation paramétrique est :

  

x = 1− t y = −1−2t z = t

t ′ ∈R.

Proposition 4 Les droites D et ∆ sont coplanaires.

Exercices de géométrie 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de

la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche,

même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) . On considère le point A de coordonnées

(−1 ; −1 ; 1) et les droites D et D′ de représentations paramétriques :

D

  

x = 2t −1 y = −3t +2 z = t

t ∈R D′   

x = 3t y = t ′+2 z = 3t ′−2

t ′ ∈R

Proposition 1 : « Le point A appartient à la droite D ». Proposition 2 : « Le plan perpendiculaire à la droite D passant par le point O a pour équation : 2x−3y + z = 0 ». Proposition 3 : « Les droites D et D′ sont orthogonales ». Proposition 4 : « Les droites D et D′ sont coplanaires ».

Proposition 5 : « La distance du point A au plan d’équation 2x−3y + z = 0 est p 14

7 .

Exercices de géométrie 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points : A(0 ; 0 ; 2), B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a. Vérifier qu’une équation du plan (ABC) est : 2x+ y +2z = 4. b. Calculer la distance du point O au plan (ABC).

2. a. Déterminer une équation du plan P passant par A et orthogonal à la droite (BC).

b. Soit ∆ la droite intersection du plan P et du plan (ABC). Déterminer une représentation pa- ramétrique de la droite ∆. Quel rôle joue cette droite dans le triangle ABC ?

3. a. Soit∆′ la médiane issue de B du triangle ABC.

Montrer qu’une équation paramétrique de ∆′ dans le triangle ABC est :

  

x = t y = 4−4t , z = t

t ∈R.

b. Montrer que le triangle ABC est un triangle isocèle.

4. Soit H le point d’intersection des droites ∆ et ∆′. Montrer que le point H a pour coordonnées( 8

9 ; 4

9 ; 8

9

) .

Que représente le point H pour le triangle ABC ?

5. Montrer que le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). Retrouver alors la distance du point O au plan (ABC).

Exercices de géométrie 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Polynésie septembre 2011

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l’espace, EF2 = −→ EF 2 =

−→ EF ·

−→ EF .

Soient A et B deux points distincts de l’espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout pointM de l’espace, on a :

MA2+MB2 = 2MI2+ 1

2 AB2.

2. Déterminer la nature de l’ensemble (E) des pointsM de l’espace tels que

MA2+MB2 =AB2.

Partie B

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans (P) et (Q) d’équations respectives : 3x+4y + z−1= 0 et x−2y z+5= 0 et les points A et B de coordonnées respectives (−1 ; 0 ; 4) et (3 ; −4 ; 2).

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.

On nomme (∆) la droite d’intersection des plans (P) et (Q).

a. Montrer que le point A appartient à la droite (∆).

b. Montrer que −→ u (1 ; −2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite (∆).

c. Déterminer un système d’équations paramétriques de la droite (∆).

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit (E) l’ensemble des pointsM de l’espace tels queMA2+MB2 =AB2. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de (E) et de la droite (∆). On précisera les coor- données de ces points.

Exercices de géométrie 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Métropole septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

On désigne par a, b, c, d quatre réels tels que le vecteur −→ n = a−→ı +b−→+c

−→ k soit différent du vecteur nul.

On appelle P le plan d’équation ax+by +cz+d = 0. Démontrer que le vecteur

−→ n est un vecteur normal au plan P , c’est-à-dire que le vecteur

−→ n est orthogo-

nal à tout vecteur −−→ AB où A et B sont deux points quelconques du plan P .

Partie B - Questionnaire à choixmultiples

Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie

le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie ainsi que la justification de

ce choix.

Il est attribué 1 point si la réponse est exacte et justifiée.Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

On désigne par P le plan d’équation cartésienne 2xy +3z = 0 et par A et B les deux points du plan P de coordonnées respectives (1 ; 2 ; 0) et (0 ; 3 ; 1).

1. Soient C, D, E les points de coordonnées respectives (1 ; 1 ; −1), (−1 ; 4 ; 2), (1 ; 5 ; 1). a. Les points A, B, C définissent le plan P .

b. Les points A, B, D définissent le plan P .

c. Les points A, B, E définissent le plan P .

2. La droiteD est définie par la représentation paramétrique :

  

x = 1− t y = t , z = 2+ t

t ∈R.

a. La droiteD est perpendiculaire au plan P .

b. La droiteD est strictement parallèle au plan P .

c. La droiteD est incluse dans le plan P .

3. Soit S la sphère de centreΩ, de coordonnées (2 ; 5 ; 1), et de rayon 1

2 . L’ensemble des points com-

muns à la sphère S et au plan P est :

a. vide,

b. constitué d’un seul point,

c. un cercle.

Exercices de géométrie 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les trois points A, B et C de coordonnées respectives : A(−1 ; 2 ; 1) , B(1 ; −6 ; −1) et C (2 ; 2 ; 2).

1. a. Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.

b. Montrer que le vecteur −→ n

 

1 1

−3

  est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

2. Soit P le plan d’équation : xy + z−4= 0. a. Montrer que les plans (ABC) et P sont sécants.

b. Soit D la droite intersection des plans P et (ABC). Déterminer une représentation paramé- trique de la droiteD.

3. On considère la sphère S de centreΩ(3 ; 1 ; 3) et de rayon 3 et on nomme I le point de coordonnées (2 ; −1 ; 1). On admet que la droiteD a pour représentation paramétrique :

  

x = 1+ t y = −3+2t z = t ,

t ∈R.

a. Montrer que le point I appartient à la droiteD.

b. Montrer que le point I appartient à la sphère S.

c. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiativemêmenon fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Montrer que la droiteD coupe la sphère S en un deuxième point.

Exercices de géométrie 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Polynésie juin 2011

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

A B

CD

E F

GH

Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère orthonormal ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) . On note K le bary-

centre des points pondérés (D, 1) et (F, 2).

Partie A

1. Montrer que le point K a pour coordonnées

( 2

3 ; 2

3 ; 2

3

) .

2. Montrer que les droites (EK) et (DF) sont orthogonales.

3. Calculer la distance EK.

Partie B

SoitM un point du segment [HG]. On notem = HM (m est donc un réel appartenant à [0 ; 1]).

1. Montrer que, pour tout réel m appartenant à l’intervalle [0 ; 1], le volume du tétraèdre EMFD, en

unités de volume, est égal à 1

6 .

2. Montrer qu’une équation cartésienne du plan (MFD) est

(−1+m)x+ y mz = 0. 3. On note dm la distance du point E au plan (MFD).

a. Montrer que, pour tout réelm appartenant à l’intervalle [0 ; 1],

dm = 1

p 2m2−2m+2

.

b. Déterminer la position deM sur le segment [HG] pour laquelle la distance dm est maximale.

c. En déduire que lorsque la distance dm est maximale, le point K est le projeté orthogonal de E sur le plan (MFD).

Exercices de géométrie 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

ANNEXE

Cette page ne sera pas à rendre avec la copie

1

1 2-1 x

y

O

Exercices de géométrie 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Métropole juin 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

Partie A – Restitution organisée de connaissances

On désigne parP le plan d’équation ax+by+cz+d = 0 et parM0 le point de coordonnées ( x0 ; y0 ; z0

) .

On appelle H le projeté orthogonal du pointM0 sur le plan P .

On suppose connue la propriété suivante :

Propriété : Le vecteur −→ n = a−→ı +b−→+c

−→ k est un vecteur normal au plan P .

Le but de cette partie est de démontrer que la distance d (M0,P ) du pointM0 au plan P , c’est-à-dire la distanceM0H , est telle que

d (M0, P )= ∣∣ax0+by0+cz0+d

∣∣ p a2+b2+c2

.

1. Justifier que ∣∣∣−→n ·−−−−→M0H

∣∣∣=M0H p a2+b2+c2.

2. Démontrer que −→ n ·

−−−−→ M0H =−ax0−by0−cz0−d .

3. Conclure.

Partie B

On désigne par A, B, C, F les points de coordonnées respectives (4 ; 1 ; 5), (−3 ; 2 ; 0), (1 ; 3 ; 6), (−7 ; 0 ; 4).

1. a. Démontrer que les points A, B, C définissent un plan P et que ce plan a pour équation car- tésienne x+2y z−1= 0.

b. Déterminer la distance d du point F au plan P .

2. Le but de cette question est de calculer la distance d par une autreméthode.

On appelle∆ la droite qui passe par le point F et qui est perpendiculaire au plan P .

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite∆.

b. Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point F sur le plan P .

c. Retrouver le résultat de la question 1. b.

3. Soit S la sphère de centre F et de rayon 6.

a. Justifier que le point B appartient à la sphère S .

b. Préciser le centre et déterminer le rayon du cercle C , intersection de la sphère S et du plan P .

Exercices de géométrie 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Centres étrangers juin 2011

La figure ci-contre représente un cube ABCDEFGH d’arête 1. On désigne par I et J les milieux respectifs des arêtes [BC] et [CD]. SoitM un point quelconque du segment [CE]. Dans tout l’exercice, on se place dans le repère or-

thonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

A

B C

D

E

F G

H

M

I

J

1. a. Donner, sans justification, les coordonnées des points C, E, I et J.

b. Justifier l’existence d’un réel t appartenant à l’intervalle [0 ; 1], tel que les coordonnées du pointM soient (1− t ; 1− t ; t ).

2. a. Démontrer que les points C et E appartiennent au plan médiateur du segment [IJ].

b. En déduire que le triangleMIJ est un triangle isocèle enM .

c. Exprimer IM2 en fonction de t .

3. Le but de cette question est de déterminer la position du pointM sur le segment [CE] pour laquelle la mesure de l’angle ÎMJ est maximale.

On désigne par θ la mesure en radian de l’angle ÎMJ.

a. En admettant que lamesure θ appartient à l’intervalle [0 ; π], démontrer que lamesure θ est

maximale lorsque sin

( θ

2

) est maximal.

b. En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur IM est minimale.

c. Étudier les variations de la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par :

f (t )= 3t2− t + 1

4 .

d. En déduire qu’il existe une unique position M0 du point M sur le segment [EC] telle que la mesure de l’angle ÎMJ soit maximale.

e. Démontrer que le pointM0 est le projeté orthogonal du point I sur le segment [EC].

Exercices de géométrie 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Asie juin 2011

On considère un cube ABCDEFGH, d’arête de longueur 1. On note I le point d’intersection de la droite (EC)

et du plan (AFH).

1. On se place dans le repère ( D ;

−−→ DA ,

−−→ DC ,

−−→ DH

) .

Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées :

A(1 ; 0 ; 0)B(1 ; 1 ; 0)C(0 ; 1 ; 0)D(0 ;0 ; 0)E(1 ;0 ; 1)F(1 ; 1 ; 1)C(0 ; 1 ; 1)H(0 ;0 ; 1)

a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH).

c. En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH).

d. Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à

p 3

3 .

e. Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF).

Que représente le point I pour le triangle AFH ?

2. Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Définitions :

• un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; • il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ; • il est dit de type 3 s’il est à la fois de type 1 et de type 2.

Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Exercices de géométrie 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Antilles-Guyane juin 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la droiteD passant par le point A de coordonnées (3 ; −4 ; 1) et dont un vecteur directeur est

−→ u (1 ; −3 ; 1).

On considère la droiteD ′ dont une représentation paramétrique est :

  

x = −1− t y = 2+ t (t ∈R) z = 1− t

On admet qu’il existe une unique droite ∆ perpendiculaire aux droites D et D ′. On se propose de déter- miner une représentation paramétrique de cette droite∆ et de calculer la distance entre les droitesD et D ′, distance qui sera définie à la question 5. On note H le point d’intersection des droites D et ∆, H ′ le point d’intersection des droites D ′ et ∆. On appelle P le plan contenant la droiteD et la droite∆. On admet que le plan P et la droiteD ′ sont sécants en H ′. Une figure est donnée en annexe 2.

1. Onconsidère le vecteur −→ w de coordonnées (1 ; 0 ; −1). Démontrer que

−→ w est une vecteur directeur

de la droite ∆.

2. Soit −→ n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).

a. Démontrer que le vecteur −→ n est normal au plan P .

b. Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est 3x+2y +3z−4= 0. 3. a. Démontrer que le point H ′ a pour coordonnées (−1 ; 2 ; 1).

b. En déduire une représentation paramétrique de la droite∆.

4. a. Déterminer les coordonnées du point H .

b. Calculer la longueur HH ′.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à D et tout point M ′ appartenant àD ′,MM ′ >HH ′.

a. Montrer que −−−−→ MM ′ peut s’écrire comme la sommede

−−−→ HH ′ et d’un vecteur orthogonal à

−−−→ HH ′ .

b. En déduire que ∣∣∣ ∣∣∣ −−−−→ MM

∣∣∣ ∣∣∣ 2 >

∣∣∣ ∣∣∣ −−−→ HH

∣∣∣ ∣∣∣ 2 et conclure.

La longueur HH réalise donc le minimum des distances entre une point de D et une point de D . On l’appelle distance entre les droites D et D ′.

Annexe (non spé)

Exercices de géométrie 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

D

H

H

D

×

A

P

Exercices de géométrie 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 Libanmai 2011

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on donne les trois points :

A(1 ; 2 ; −1),B(−3 ; −2 ; 3)et C(0 ; −2 ; −3)

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur −→ n (2 ; −1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

2. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est x+ y z+2= 0. Démontrer que les plans (ABC) et (P ) sont perpendiculaires.

3. On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, −1) et (C, 2). a. Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5). b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P ).

c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).

d. Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P ) avec la droite (CG).

4. Démontrer que l’ensemble (S) des pointsM de l’espace tels que∥∥∥−−→MA −−−→MB +2−−→MC ∥∥∥= 12 est une sphère dont on déterminera les éléments caractéristiques.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’intersection du plan (P ) et de la sphère (S).

Exercices de géométrie 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Amérique du Nordmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On considère trois points A, B et C de l’espace et trois réels a,b et c de somme non nulle.

Démontrer que, pour tout réel k strictement positif, l’ensemble des pointsM de l’espace tels que ‖a −−→ MA+

b −−→ MB +c

−−→ MC ‖ = k est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coeffi-

cients respectifs a, b et c.

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n’est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( A ;

−−→ AB ,

−−→ AD ,

−→ AE

) .

1. Démontrer que le vecteur −→ n de coordonnées (1 ; 0 ; 1) est un vecteur normal au plan (BCE).

2. Déterminer une équation du plan (BCE).

3. On note (∆) la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).

Déterminer une représentation paramétrique de la droite (∆).

4. Démontrer que la droite (∆) est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.

5. a. Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients res- pectifs 1,−1 et 2.

b. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (S) des pointsM de l’es-

pace tels que ‖ −−→ MR −

−−→ MB +2

−−→ MC ‖ = 2

p 2.

c. Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l’ensemble (S).

d. Démontrer que l’intersection du plan (BCE) et de l’ensemble (S) est un cercle dont on préci- sera le rayon.

E

A

B

C

G

F

H

D

Exercices de géométrie 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 La Réunion septembre 2010

L’espace est rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les plans P etQ d’équations respectives :

x+ y + z = 0 et 2x+3y + z−4= 0.

1. Montrer que l’intersection des plans P etQ est la droiteD dont une représentation paramétrique est :

  

x = −4−2t y = 4+ t z = t

t est un nombre réel.

2. Soit λ un nombre réel.

On considère le plan d’équation : (1−λ)(x+ y + z)+λ(2x+3y + z−4)= 0.

a. Vérifier que le vecteur −→ n (1+λ ; 1+2λ ; 1) est un vecteur normal du plan .

b. Donner une valeur du nombre réel λ pour laquelle les plans P et sont confondus.

c. Existe-t-il un nombre réel λ pour lequel les plans P et sont perpendiculaires ?

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droiteD ′, intersection des plans P et P−1.

Montrer que les droitesD etD ′sont confondues.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère le point A(1 ; 1 ; 1).

Déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la distance entre le point A et son projeté orthogonal sur la droiteD.

Exercices de géométrie 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Pondichéry avril 2011

Partie 1

Dans cette partie, ABCD est un tétraèdre régulier, c’est-à-dire un solide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux.

A

B

C

D

A′

A′ est le centre de gravité du triangle BCD. Dans un tétraèdre, le segment joignant un sommet au centre de gravité de la face opposée est appelé médiane. Ainsi, le segment [AA′] est unemédiane du tétraèdre ABCD.

1. On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P1) :Dans un tétraèdre régulier, chaque médiane est orthogonale à la face opposée.

a. Montrer que −−→ AA′ ·

−−→ BD = 0 et que

−−→ AA′ ·

−−→ BC = 0. (On pourra utiliser le milieu I du segment [BD]

et le milieu J du segment [BC]).

b. En déduire que la médiane (AA′) est orthogonale à la face BCD.

Un raisonnement analoguemontre que les autresmédianes du tétraèdre régulier ABCD sont également orthogonales à leur face opposée.

2. G est l’isobarycentre des points A, B, C et D.

On souhaite démontrer la propriété suivante :

(P2) : Les médianes d’un tétraèdre régulier sont concourantes en G.

En utilisant l’associativité du barycentre,montrer queG appartient à la droite (AA′), puis conclure.

Partie II

Onmunit l’espace d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points P(1 ; 2 ; 3), Q(4 ; 2 ; −1) et R(−2 ; 3 ; 0).

1. Montrer que le tétraèdre OPQR n’est pas régulier.

2. Calculer les coordonnées de P′, centre de gravité du triangle OQR.

3. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (OQR) est : 3x+2y +16z = 0. 4. La propriété (P1) de la partie 1 est-elle vraie dans un tétraèdre quelconque ?

Exercices de géométrie 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Nouvelle-Calédoniemars 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère les points A(−2 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; −1) et C(−2 ; 2 ; 2).

1. a. Calculer le produit scalaire −−→ AB ·

−−→ AC puis les longueurs AB et AC.

b. En déduire une valeur approchée arrondie au degré près de l’angleBAC. c. En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Vérifier qu’une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2xy +2z+2= 0. 3. Soient P1, et P2 les plans d’équations respectives x+ y −3z+3= 0 et

x−2y +6z = 0. Montrer que les plans P1 et P2 sont sécants selon une droite D dont un système d’équations

paramétriques est

  

x = −2 y = −1+3t z = t

, t ∈R.

4. Démontrer que la droite D et le plan (ABC) sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.

5. Soit S la sphère de centreΩ(1 ; −3 ; 1) et de rayon r = 3. a. Donner une équation cartésienne de la sphère S .

Dans les deux questions suivantes, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative

même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

b. Étudier l’intersection de la sphère S et de la droite D.

c. Démontrer que le plan (ABC) est tangent à la sphère S .

Exercices de géométrie 25

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