Exercices de spécialité en mathématique, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité en mathématique, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité en mathématique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Décoder le message.
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[ Baccalauréat S Spécialité\ Index des exercices de spécialité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

1 Polynésie juin 2012 × 2 Métropole juin 2012 × 3 Centres étrangers juin 2012 × × 4 Asie juin 2012 × 5 Antilles–Guyane 2012 × × 6 Libanmai 2012 × 7 Amérique du Nord mai 2012 × 8 Pondichéry avril 2012 × 9 Amérique du Sud novembre 2011 × × 10 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 11 Métropole septembre 2011 × × 12 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 13 Polynésie juin 2011 × 14 Métropole juin 2011 × 15 La Réunion juin 2012 × × 16 Centres étrangers juin 2011 × × × 17 Asie juin 2011 × × 18 Antilles–Guyane 2011 × 19 Libanmai 2011 × 20 Amérique du Nord mai 2011 × 21 Pondichéry avril 2011 × 22 Amérique du Sud novembre 2010 × 23 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × 24 La Réunion septembre 2010 × 25 Métropole septembre 2010 × 26 Polynésie juin 2010 × 27 La Réunion juin 2010 × 28 Métropole juin 2010 × 29 Centres étrangers juin 2010 × 30 Asie juin 2010 × 31 Antilles-Guyane juin 2010 × 32 Amérique du Nord juin 2010 × × 33 Liban juin 2010 × × 34 Pondichéry avril 2010 × × 35 Nouvelle Calédonie novembre 2009 × 36 Amérique du Sud novembre 2009 × 37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie septembre 2009 ×

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

39 Métropole septembre 2009 × 40 Amérique du Nord juin 2009 × 41 Liban juin 2009 × 42 Polynésie juin 2009 × 43 Centres étrangers juin 2009 × × 44 Asie juin 2009 × 45 Métropole juin 2009 × 46 Antilles - Guyane juin 2009 × × 47 La Réunion juin 2009 × × 48 Pondichéry avril 2009 × × 49 Nouvelle–Calédonie décembre 2008 × 50 Amérique du Sud novembre 2008 × 51 Métropole La Réunion septembre 2008 × × 52 Antilles–Guyane septembre 2008 × × 53 Polynésie juin 2008 × × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Métropole juin 2008 × × 56 Centres étrangers juin 2008 × 57 Asie juin 2008 × 58 Antilles-Guyane juin 2008 × 59 Amérique du Nord mai 2008 × × 60 Libanmai 2008 × × × 61 Pondichéry avril 2008 × 62 Nouvelle-Calédoniemars 2008 × 63 Nouvelle-Calédonie décembre 2007 × 64 Amérique du Sud novembre 2007 × 65 Métropole-La Réunion septembre 2007 × 66 Antilles-Guyane septembre 2007 × 67 Polynésie juin 2007 × 68 La Réunion juin 2007 × 69 Métropole juin 2007 × 70 Centres étrangers juin 2007 × 71 Asie juin 2007 × 72 Antilles-Guyane juin 2007 × 73 Amérique du Nord juin 2007 × 74 Liban juin 2007 × × 75 Pondichéry avril 2007 × 76 Nlle-Calédoniemars 2007 × 77 Nlle-Calédonie novembre 2006 × 78 Amérique du Sud novembre 2006 × 79 Métropole septembre 2006 × 80 Polynésie juin 2006 ×

Exercices de spécialité 2

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

81 La Réunion juin 2006 × 82 Métropole juin 2006 × 83 Centres étrangers juin 2006 × 84 Asie juin 2006 × 85 Antilles-Guyane juin 2006 × 86 Amérique du Nord juin 2006 × 87 Pondichéry avril 2006 × 88 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × 89 Amérique du Sud novembre 2005 × 90 Métropole septembre 2005 × × 91 Amérique du Nord juin 2005 × 92 Antilles-Guyane juin 2005 × 93 Asie juin 2005 × 94 Centres étrangers juin 2005 × 95 Métropole juin 2005 × 96 La Réunion juin 2005 × 97 Liban juin 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × 99 Pondichéry juin 2005 × 100 Nlle-Calédonie nov. 2004 × 101 Amérique du Sud nov. 2004 × 102 Antilles septembre 2004 × × 103 Métropole septembre 2004 × 104 Polynésie septembre 2004 × 105 Amérique du Nord mai 2004 × 106 Antilles-Guyane juin 2004 × 107 Asie juin 2004 × 108 Centres étrangers juin 2004 × 109 Métropole juin 2004 × 110 Liban juin 2004 × 111 Polynésie juin 2004 × 112 Pondichéry avril 2004 × 113 La Réunion juin 2004 × 114 Amérique du Sud nov. 2003 × 115 Nouvelle Calédonie nov. 2003 × 116 Antilles–Guyane sept. 2003 × 117 Métropole septembre 2003 × 118 Polynésie septembre 2003 × 119 Amérique du Nord juin 2003 × 120 Antilles-Guyane juin 2003 × 121 Asie juin 2003 × 122 Centres étrangers juin 2003 ×

Exercices de spécialité 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

123 Métropole juin 2003 × × 124 La Réunion juin 2003 × 125 Liban juin 2003 × 126 Polynésie juin 2003 × 127 Pondichéry juin 2003 × 128 Amérique du Sud déc. 2002 × 129 Nouvelle Calédonie nov. 2002 × 130 Antilles-Guyane sept. 2002 × 131 Métropole septembre 2002 × 132 Amérique du Nord juin 2002 × 133 Antilles-Guyane juin 2002 × 134 Asie juin 2002 × 135 Centres étrangers juin 2002 × 136 Métropole juin 2002 × 137 La Réunion juin 2002 × 138 Polynésie juin 2002 × 139 Pondichéry juin 2002 × 140 Nouvelle Calédonie déc. 2001 × 141 Amérique du Sud déc. 2001 × 142 Antilles-Guyane sept. 2001 × 143 Métropole septembre 2001 × 144 Polynésie septembre 2001 × 145 Amérique du Nord juin 2001 × 146 Antilles-Guyane juin 2001 × 147 Asie juin 2001 × 148 Centres étrangers juin 2001 × 149 Métropole juin 2001 × 150 Liban juin 2001 × 151 Polynésie juin 2001 × 152 Pondichéry juin 2001 × 153 Nouvelle-Calédonie déc. 2000 × 154 Amérique du Sud nov. 2000 × 155 Métropole septembre 2000 × 156 Polynésie septembre 2000 × 157 Amérique du Nord juin 2000 × 158 Antilles-Guyane juin 2000 × × 159 Asie juin 2000 × 160 Centres étrangers juin 2000 × 161 Métropole juin 2000 × 162 La Réunion juin 2000 × 163 Liban juin 2000 × × 164 Polynésie juin 2000 ×

Exercices de spécialité 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date Arithmé- tique

Espace Surfaces

Transfor- mations

165 Pondichéry juin 2000 × 166 Nlle-Calédonie déc. 1999 × 167 Amérique du Sud nov. 1999 × 168 Antilles-Guyane sept. 1999 × 169 Métropole sept. 1999 × 170 Sportifs haut-niveau sept. 1999 ×

Exercices de spécialité 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l’équation (E) : 25x−108y = 1 où x et y sont des entiers relatifs. 1. Vérifier que le couple (13 ; 3) est solution de cette équation. 2. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).

Partie B

Dans cette partie, a désigne un entier naturel et les nombres c et g sont des entiers naturels vérifiant la relation 25g −108c = 1. On rappelle le petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors ap−1 est congru à 1 modulo p que l’on note ap−1 ≡ 1 [p].

1. Soit x un entier naturel. Démontrer que si x a [7] et x a [19], alors x a [133].

2. 1. On suppose que a n’est pas unmultiple de 7. Démontrer que a6 ≡ 1 [7] puis que a108 ≡ 1 [7]. En déduire que

( a25

)g a [7]. 2. On suppose que a est unmultiple de 7.

Démontrer que ( a25

)g a [7]. 3. On admet que pour tout entier naturel a,

( a25

)g a [19]. Démontrer que

( a25

)g a [133].

Partie C

On note A l’ensemble des entiers naturels a tels que : 16 a6 26. Unmessage, constitué d’entiers appartenant à A, est codé puis décodé. La phase de codage consiste à associer, à chaque entier a de A, l’entier r tel que a25 ≡ r [133] avec 06 r < 133. La phase de décodage consiste à associer à r , l’entier r1 tel que r 13 ≡ r1 [133] avec 06 r1 < 133. 1. Justifier que r1 ≡ a [133]. 2. Unmessage codé conduit à la suite des deux entiers suivants : 128 59.

Décoder ce message.

Exercices de spécialité 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives

zA =−1+ i, zB = 2i et zC = 1+3i.

et D la droite d’équation y = x+2.

1. Prouver que les points A, B et C appartiennent à la droite D. Sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique, placer les points A, B, C et tracer la droite D.

2. Résoudre l’équation (1+ i)z+3− i= 0 et vérifier que la solution de cette équation est l’affixe d’un point qui n’appartient pas à la droiteD.

Dans la suite de l’exercice, on appelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z différente de

−1+2i, fait correspondre le pointM ′ d’affixe 1

(1+ i)z+3− i .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D.

3. Soit g la transformation duplan qui, à tout pointM d’affixe z, fait correspondre le pointM1 d’affixe (1+ i)z+3− i. 1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation g .

2. Calculer les affixes des points A1, B1 et C1, images respectives par g des points A, B et C.

3. Déterminer l’image D1 de la droiteD par la transformation g et la tracer sur la figure.

4. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, fait correspondre le point M2 d’affixe 1

z .

1. Déterminer les affixes des points h (A1) , h (B1) et h (A1) et placer ces points sur la figure.

2. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z − 1

2

∣∣∣∣= 1

2 ⇐⇒ |z−2| = |z|.

3. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

4. Démontrer que tout point du cercle C qui est distinct de O est l’image par h d’un point de la droite D1.

5. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices de spécialité 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’équation (E) : 3x−2y = 1, où x et y sont des entiers relatifs.

Affirmation : les solutions de l’équation (E) sont les couples (9+2k ; 13+3k), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

2. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 3n+1 et b = 2n+3.

Affirmation : le PGCD de a et b est égal à 7 si et seulement si n est congru à 2 modulo 7.

3. Soit n un entier naturel. On considère les deux entiers a et b définis par :

a = 2n2+7n+21 et b = 2n+2.

Affirmation : pour tout entier naturel n, le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b sont respectivement égaux à n+2 et n+17.

4. Dans le planmuni d’un repère orthonormal direct, on considère le point A d’affixe 3+4i. On note s la similitude directe s de centre A, de rapport

p 2 et d’angle

π

4 .

Affirmation : la similitude directe réciproque s−1 a pour écriture complexe :

z ′ = 1− i 2

z+ −1+7i

2 .

5. Dans le plan muni d’un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives a = 1+2i, b = 4− i, c = 1−2

p 3+ i(3+

p 3) et d = 4+

p 3+4i

p 3.

Affirmation : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle π

3 .

Exercices de spécialité 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Détermination d’une similitude directe

On considère les points A et B d’affixes respectives :

zA =− 1

2 + i

p 3

2 et zB =−

p 3+ i.

1. 1. Ecrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2. 1. Déterminer l’écriture complexe de la similitude directe f de centre 0 qui transforme le point A en B.

2. Préciser les éléments caractéristiques dc la similitude f .

Partie B. Étude d’une transformation

Le but de cette partie est d’étudier la transformation g = s f , où f désigne la similitude définie dans la partie A et s la réflexion d’axe

( O ;

−→ u ) .

1. SoitM un point quelconque du plan. On désigne parM ′ l’image du pointM par la transformation g .

On note z et z ′ les affixes respectives des pointsM et M ′, et z celle du conjugué de z.

1. Démontrer l’égalité : z ′ = 2e−i π 6 z.

2. On pose C = g (A) et D = g (C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure.

3. Quelle est la nature du triangle OAC ?

4. Démontrer que les vecteurs −−→ OA et

−−→ OD sont colinéaires.

2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative,mêmenon aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer la nature de la transformation g g et préciser ses éléments géométriques.

Exercices de spécialité 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questions sont indépendantes.

1. 1. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l’équation

(E) 11x−5y = 14.

2. Déterminer tous les couples d’entiers relatifs (x ; y) vérifiant l’équation (E).

2. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

23n ≡ 1 (mod 7).

2. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012 par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 3

2 (1− i)z+4−2i.

4. On considère l’algorithme suivant où Ent ( A

N

) désigne la partie entière de

A

N .

A et N sont des entiers naturels Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N6

p A

Si A

N −Ent

( A

N

) = 0 alors Afficher N et

A

N Fin si

N prend la valeur N + 1 Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?

Que donne cet algorithme dans le cas général ?

Exercices de spécialité 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Libanmai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note zn la suite de nombres complexes, de terme initiale z0 = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i 2

zn+1, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

1. Calculer les affixes des points A1, A2 et A3. Placer ces points dans le planmuni du repère (O ; ~u ;~v). 2. 1. Montrer que le point An+1 est l’image du point An par une similitude directe s, dont on défi-

nira le rapport, l’angle et le centreΩ, d’affixeω.

2. Démontrer que le triangleΩAnAn+1 est isocèle rectangle.

3. 1. Établir que, pour tout entier naturel n, on a :ΩAn = (p

2

2

)n−1 .

2. À partir de quelle valeur de n les points An sont-ils situés àă l’intérieur du disque de centreΩ et de rayon 0,001 ?

4. Pour tout entier naturel n, on note an la longueur AnAn+1 et Ln la somme n

k=0 ak .

Ln est ainsi la longueur de la ligne polygonale A0A1 · · ·AnAn+1. Déterminer la limite de Ln quand n tend vers +∞.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points An ,Ω et An+4 sont alignés.

Exercices de spécialité 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Amérique du Nordmai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Soit S la transformation du plan qui, à toutM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = 5iz+6i+4.

Partie A

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformation S. 2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et imaginaires respectives de z et z ′.

Démontrer que : { x′ =−5y +4 y ′ = 5x+6

Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnées x et y du point M sont des entiers relatifs tels que −36 x 6 5 et −36 x6 5. On note E l’ensemble de ces pointsM . On rappelle que les cordonnées (x′ ; y ′) du point M ′, image du point M par la transformation S, sont x′ =−5y +4 et y ′ = 5x+6.

1. 1. Déterminer l’ensemble des couples d’entiers relatifs (a ; b) tels que 4a+3b = 5. 2. En déduire l’ensemble des pointsM de E de coordonnées (x ; y) tels que −3x′+4y ′ = 37.

2. SoitM un point de l’ensemble E etM ′ son image par la transformation S. 1. Démontrer que x′+ y ′ est unmultiple de 5. 2. Démontrer que x′− y ′ et x′+ y ′ sont congrusmodulo 2.

En déduire que si x′2− y ′2 est multiple de 2 alors x′− y ′ et x′+ y ′ le sont également. 3. Déterminer l’ensemble des pointsM de C tels que : x′2− y ′2 = 20.

Exercices de spécialité 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissance

Soit a,b,c,d des entiers relatifs et n un entier naturel non nul. Montrer que si a b (mod n) et c d (mod n) alors ac bd (mod n).

Partie B Inverse de 23modulo 26

On considère l’équation

(E ) : 23x−26y = 1, où x et y désignent deux entiers relatifs.

1. Vérifier que le couple (−9 ; −8) est solution de l’équation (E ). 2. Résoudre alors l’équation (E ). 3. En déduire un entier a tel que 06 a6 25 et 23a ≡ 1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder unmot de deux lettres selon la procédure suivante :

Étape 1 Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisant le tableau ci-dessous :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient un couple d’entiers (x1 ; x2) où x1 correspond à la première lettre du mot et x2 correspond à la deuxième lettre du mot. Étape 2 (x1 ; x2) est transformé en

( y1 ; y2

) tel que :

(S1)

{ y1 ≡ 11x1+3x2 (mod 26) y2 ≡ 7x1+4x2 (mod 26)

avec06 y16 25 et 06 y26 25.

Étape 3 ( y1 ; y2

) est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance

donné dans l’étape 1.

Exemple : TE︸︷︷︸ mot en clair

étape1 =⇒ (19,4)

étape2 =⇒ (13,19)

étape3 =⇒ NT︸︷︷︸

mot codé

1. Coder le mot ST. 2. On veut maintenant déterminer la procédure de décodage :

1. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S1), vérifie les équations du système :

(S2)

{ 23x1 ≡ 4y1+23y2 (mod 26) 23x2 ≡ 19y1+11y2 (mod 26)

2. À l’aide de la partie B, montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S2), vérifie les équations du système

(S3)

{ x1 ≡ 16y1+ y2 (mod 26) x2 ≡ 11y1+5y2 (mod 26)

3. Montrer que tout couple (x1 ; x2) vérifiant les équations du système (S3), vérifie les équations du système (S1)

4. Décoder le mot YJ.

Exercices de spécialité 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Amérique du Sud novembre 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Proposition 1 : « Le reste de la division euclidienne de 20112011 par 7 est 2 ».

• Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Proposition 2 : « S’il existe un couple de nombres entiers relatifs (u, v) tel que ua + vb = 3, alors PGCD(a, b)= 3 ».

• Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 5. Proposition 3 : « L’entier n2−3n−10 n’est jamais un nombre premier ». L’espace est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

• On considère le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2. Soit A le point de coordonnées (−2 ; −1 ; γ). Proposition 4 : « Il existe un unique réel γ tel que le point A appartient au cône Γ ».

• On coupe le cône Γ d’équation x2+ y2 = 5z2 par le plan Pa d’équation x = a a ∈R. Proposition 5 : « Cette intersection peut être la réunion de deux droites ».

Exercices de spécialité 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Nouvelle Calédonie novembre 2011

L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S d’équation : x2+ y2− z2 = 4.

1. 1. Montrer que si le pointM(x ; y ; z) appartient à S alors le point M ′(−x ; −y ; −z) appartient aussi à S. Que peut-on en déduire ?

2. Montrer que la surface S est symétrique par rapport au plan (xOy). On admet de même que la surface S est symétrique par rapport aux plans (xOz) et (yOz).

2. 1. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan (xOy). Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Soit k un réel non nul. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation z = k. Préciser ses éléments caractéristiques.

3. Déterminer la nature géométrique de la section de la surface S par le plan d’équation y = 2. 4. On considère les points A

( 2 p 2 ; 0 ; 2

) et B

( 0 ; 2

p 2 ; −2

) .

1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

2. La droite (AB) est-elle contenue dans la surface S ?

5. Identifier parmi les trois figures proposées en annexe 2 celle qui représente la surface S. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la figure et justifiera la réponse.

6. Soit H la section de la surface S par le plan P d’équation y = 5. 1. Montrer qu’un pointM(x ; y ; z) appartient à H si et seulement si

(xz)(x+ z)=−21 et y = 5. 2. En déduire les coordonnées des points de H dont les coordonnées sont des entiers relatifs.

Exercices de spécialité 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Métropole septembre 2011

Le plan est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note A et B les points de coordonnées respectives (1 ; 0) et (6 ; 1). Pour tout point M de coordonnées (x ; y), on note M ′ l’image du point M par la symétrie orthogonale d’axe (AB) et

( x′ ; y

) ses coordonnées.

1. 1. Justifier l’existence de deux nombres complexes a et b tels que, pour tout pointM d’affixe z, l’affixe z ′ du pointM ′ est donnée par

z ′ = az+b.

2. En utilisant les points A et B, démontrer que

{ 1 = a+b 6+ i = a(6− i)+b

3. En déduire que, pour tout nombre complexe z :

z ′ = 1

13 (12+5i)z+

1

13 (1−5i).

4. Établir que, pour tout pointM de coordonnées (x ; y), les coordonnées ( x′ ; y

) du point M

sont telles que :

x′ = 1

13 (12x+5y +1) et y ′ =

1

13 (5x−12y −5).

2. On désigne par E l’ensemble des pointsM dont les coordonnées (x ; y) sont des entiers relatifs et tels que le pointM ′ associé appartienne à l’axe des abscisses.

1. Justifier queM(x ; y) appartient à E si et seulement si 5(x−1)= 12y . 2. En déduire que E est l’ensemble des points de coordonnées (1+12k ; 5k) où k est un entier

relatif.

3. Dans cette question, on suppose que les coordonnées de M sont des entiers relatifs et que l’abs- cisse deM ′ est un entier relatif.

1. Démontrer que x ≡ 5y +1 [13]. 2. En déduire que 5x−12y −5≡ 0 [13] et que l’ordonnée deM ′ est un entier relatif.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer les pointsM de la droite d’équation x = 2 tels que les coordonnées du pointM ′ soient des entiers relatifs.

On pourramontrer que l’ordonnée y d’un tel point est un entier relatif et utiliser des congruences modulo 13.

Exercices de spécialité 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Antilles-Guyane septembre 2011

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère l’ensemble P des pointsM(x ; y ; z) de l’espace tels que :

z = x2+ y2.

Les trois questions sont indépendantes.

1. 1. Montrer que l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation z = 5 est un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

2. Déterminer la nature de l’intersection de l’ensemble P et du plan d’équation y = 1. 2. On considère la sphère S de centre O et de rayon

p 6.

1. Donner une équation de la sphère S.

2. Montrer que l’intersection de la sphère S et de l’ensemble P est un cercle.

3. Le but de cette question est de déterminer les points M(x ; y ; z) de l’ensemble P , dont les coor- données sont des entiers relatifs, appartenant au plan d’équation−3x+2y = 1 et vérifiant z6 25. 1. Donner un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E) :−3x+2y = 1. 2. Déterminer l’ensemble des couples (x ; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E). Dé-

terminer les points de l’ensemble P dont les coordonnées (x ; y ; z) sont des entiers relatifs vérifiant :

−3x+2y = 1 et z 6 25.

Exercices de spécialité 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Polynésie juin 2011

On rappelle la propriété, connue sous le nom de petit théorème de Fermat : Si p est un nombre premier et a est un entier naturel non divisible par p, alors ap−1 ≡ 1 (modulop).

On considère la suite (un) d’entiers naturels définie par :

u0 = 1et, pour tout entier natureln,un+1 = 10un+21.

1. Calculer u1, u2 et u3. 2. 1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n,

3un = 10n+1−7. 2. En déduire, pour tout entier naturel n, l’ écriture décimale de un

3. Montrer que u2 est un nombre premier. On se propose maintenant d’étudier la divisibilité des termes de la suite (un) par certains nombres premiers.

4. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un n’est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5. 5. 1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 3un ≡ 4− (−1)n (modulo11).

2. En déduire que, pour tout entier naturel n, un n’est pas divisible par 11.

6. 1. Démontrer l’égalité : 1016 ≡ 1(modulo17). 2. En déduire que, pour tout entier naturel k, u16k+8 est divisible par 17.

Exercices de spécialité 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Métropole juin 2011

PARTIE A - Restitution organisée de connaissances

On rappelle ci-dessous le théorème de BÉZOUT et le théorème de GAUSS. Théorème de BÉZOUT : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si, il existe un couple (u ; v) d’entiers relatifs vérifiant au+bv = 1.

Théorème de GAUSS : Soient a, b, c des entiers relatifs. Si a divise le produit bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c.

1. En utilisant le théorème de BÉZOUT, démontrer le théorème de GAUSS. 2. Soient p et q deux entiers naturels tels que p et q sont premiers entre eux.

Déduire du théorème de GAUSS que, si a est un entier relatif, tel que a ≡ 0 [p] et a ≡ 0 [q], alors a ≡ 0 [pq].

PARTIE B

On se propose de déterminer l’ensemble S des entiers relatifs n vérifiant le système :

{ n ≡ 9 [17] n ≡ 3 [5]

1. Recherche d’un élément de S . On désigne par (u ; v) un couple d’entiers relatifs tel que 17u+5v = 1. 1. Justifier l’existence d’un tel couple (u ; v).

2. On pose n0 = 3×17u+9×5v . Démontrer que n0 appartient à S .

3. Donner un exemple d’entier n0 appartenant à S .

2. Caractérisation des éléments de S . 1. Soit n un entier relatif appartenant à S .

Démontrer que nn0 ≡ 0 [85]. 2. En déduire qu’un entier relatif n appartient à S si et seulement si il peut s’écrire sous la

forme n = 43+85k k est un entier relatif. 3. Application

Zoé sait qu’elle a entre 300 et 400 jetons.

Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 9.

Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 3.

Combien a-t-elle de jetons ?

Exercices de spécialité 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 La Réunion juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) ; unité graphique : 8 centimètres.

On considère la transformation f du plan qui à tout pointM d’affixe z associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = p 2

4 (−1+ i)z.

1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f . 2. On définit la suite de points (Mn) de la façon suivante :M0 est le point d’affixe z0 = 1 et, pour tout

nombre entier naturel n, Mn+1 = f (Mn). On note zn l’affixe du pointMn .

1. Justifier que, pour tout nombre entier naturel n, zn = ( 1

2

)n ei ( 3

4

)

2. Construire les pointsM0, M1, M2, M3 etM4.

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative meme non fruc- tueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soient n et p deux entiers naturels. À quelle condition sur n et p les points Mn et Mp sont-ils alignés avec l’origine O du repère ?

Exercices de spécialité 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Centres étrangers juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes. Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte. Toute justification complète sera valorisée.

Question 1 On considère l’équation (E) : 2x+11y = 7, où x et y sont des entiers relatifs. Affirmation Les seuls couples solutions de (E) sont les couples (22k−2 ; −4k+1), avec k appartenant à l’ensemble Z des entiers relatifs.

Question 2 On considère l’entier N = 112011. Affirmation L’entier N est congru à 4 modulo 7.

Question 3 On considère, dans le plan complexe, les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 3i ; c = ( 1−2

p 2 ) + i

( 1−

p 2 ) .

Affirmation

Le point C est l’image du point B par la similitude directe de centre A, de rapport p 2 et d’angle −

π

2 .

Question 4 On considère, dans le plan complexe, les points A et B d’affixes respectives :

a = 1+ i ; b = 2− i.

Soit f la similitude d’écriture complexe : z ′ = ( − 3

5 − 4

5 i

) z+

( 12

5 + 6

5 i

) .

Affirmation La transformation f est la réflexion d’axe (AB).

Question 5

L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) .

On considère la surface S dont une équation est : z = 4xy . Affirmation La section de la surface S par le plan d’équation z = 0 est la réunion de deux droites orthogonales.

Exercices de spécialité 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 Asie juin 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

1. Pré-requis : tout nombre entier n strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier. Démontrer que tout nombre entiern strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l’unicité de cette décomposi- tion).

2. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 629.

Partie B

Dans un repère orthonormal ( O,

−→ ı ,

−→ ,

−→ k ) , on considère les surfaces Γ etC d’équations respectives : Γ :

z = xy et C : x2+ z2 = 1.

1. Donner la nature de la surfaceC et déterminer ses éléments caractéristiques. 2. Points d’intersection à coordonnées entières des surfaces Γ etC

1. Démontrer que les coordonnées (x ; y ; z) des points d’intersection de Γ et de C sont telles que :

x2 ( 1+ y2

) = 1.

2. En déduire que Γ etC ont deux points d’intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

3. Points d’intersection à coordonnées entières de Γ et d’un plan Pour tout nombre entier naturel non nul n, on désigne par Pn le plan d’équation z = n4+4. 1. Déterminer l’ensemble des points d’intersection de Γ et du plan P1 dont les coordonnées

sont des nombres entiers relatifs.

Pour la suite de l’exercice, on suppose n> 2.

2. Vérifier que : ( n2−2n+2

)( n2+2n+2

) = n4+4.

3. Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel n> 2, n4+4 n’est pas premier. 4. En déduire que le nombre de points d’intersection de Γ et du plan Pn dont les coordonnées

sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8.

5. Déterminer les points d’intersection deΓ et duplanP5dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Exercices de spécialité 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Antilles–Guyane juin 2011

1. On considère l’équation (E) : 11x−7y = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs (u ; v) tels que

11u−7v = 1. Trouver un tel couple. 2. En déduire une solution particulière de l’équation (E).

3. Résoudre l’équation (E).

4. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,

−→ ı ,

−→ ) , on considère la droite D d’équa-

tion cartésienne 11x−7y −5= 0. On note C l’ensemble des pointsM(x ; y) du plan tels que 06 x 6 50 et 06 y 6 50.

Déterminer le nombre de points de la droiteD appartenant à l’ensemble C et dont les coor- données sont des nombres entiers.

2. On considère l’équation (F) : 11x2−7y2 = 5, où x et y sont des entiers relatifs. 1. Démontrer que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x2 ≡ 2y2 (mod 5). 2. Soient x et y des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :

Modulo 5, x est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, x2 est congru à

Modulo 5, y est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 2y2 est congru à

Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de x2 et de 2y2 par 5 ?

3. En déduire que si le couple (x ; y) est solution de (F), alors x et y sont des multiples de 5.

3. Démontrer que si x et y sont des multiples de 5, alors le couple (x ; y) n’est pas solution de (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?

Exercices de spécialité 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Libanmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct. Prérequis : L’écriture complexe d’une similitude directe est de la forme z ′ = az +b a et b sont deux nombres complexes tels que a 6= 0.

Démontrer que si A, B, A′ et B′ sont quatre points du plan tels que A 6= B et A′ 6= B′, alors il existe une unique similitude directe transformant A en A′ et B en B′.

Partie B

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

2 modulo2π.

On note D le symétrique de A par rapport au point C. On désigne par s la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de la similitude s. 2. On appelleΩ le centre de la similitude s.

1. En utilisant la relation −−→ DC =

−−→ ΩC −

−−→ ΩD , démontrer que DC2 =ΩD2.

2. En déduire la nature du triangleΩDC.

3. On pose σ= s s. 1. Quelle est la nature de la transformationσ ? Préciser ses éléments caractéristiques.

2. Déterminer l’image du point D par la transformationσ.

4. Démontrer que le quadrilatère ADΩB est un rectangle. 5. Dans cette question, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( A ;

−→ u ,

−→ v ) ,

choisi de manière à ce que les points A, B, C et D aient comme affixes respectives 0, 1, i et 2i.

1. Démontrer que l’écriture complexe de la similitude s est :

z ′ = (1+i)z+2−i où z et z ′ désignent respectivement les affixes d’un pointM et de son image M ′ par s.

2. On note x et x′, y et y ′ les parties réelles et les parties imaginaires de z et z ′.

Démontrer que

{ x′ = xy +2 y ′ = x+ y −1

3. Soit J le point d’affixe 1+3i. Existe-t-il des pointsM du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que −−−→ AM ′ ·

−→ AJ = 0,M ′ désignant l’image du pointM par s ?

Exercices de spécialité 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

20 Amérique du Nordmai 2011

Partie A : Restitution organisée de connaissances

Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.

Partie B

On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat : « Si p est un nombre premier et q un entier naturel premier avec p, alors qp−1 ≡ 1 (modulop) ». On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n non nul par :

un = 2n+3n+6n −1.

1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 3. Montrer que, pour tout entier naturel n pair non nul, un est divisible par 4.

On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l’ensemble (E) ? 5. Soit p un nombre premier strictement supérieur à 3.

1. Montrer que : 6×2p−2 ≡ 3 (modulop) et 6×3p−2 ≡ 2 (modulop). 2. En déduire que 6up−2 ≡ 0 (modulop). 3. Le nombre p appartient-il à l’ensemble (E) ?

Exercices de spécialité 25

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