Exercices de spécialité sur la probabilité, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercices de spécialité sur la probabilité, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité la probabilité. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Quelle est la probabilité de tirer aumoins un cube rouge ? Quelle est la probabilité de tirer exactement un cubemarqué d’un cercle ...
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[ Baccalauréat S Probabilités\ Index des exercices de probabilité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

1 Polynésie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Centres étrangers juin 2012 × 4 Asie juin 2012 × × × 5 Antilles–Guyane juin 2012 × × 6 Liban juin 2012 × × 7 Amérique du Nord mai 2011 × × 8 Pondichéry avril 2011 × × 9 Nlle-Calédoniemars 2012 × × 10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie nov. 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles–Guyane septembre 2011 × × × 15 Polynésie juin 2011 × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Liban juin 2011 × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × × 23 Pondichéry avril 2011 × × × 24 Nlle-Calédoniemars 2011 × × 25 Amérique du Sud novembre 2010 × × 26 Nouvelle-Calédonie nov. 2010 × × 27 Polynésie septembre 2010 × × × 28 Antilles–Guyane septembre 2010 × × × 29 Polynésie juin 2010 × 30 Métropole juin 2010 × × 31 La Réunion juin 2010 × 32 Centres étrangers juin 2010 × × 33 Asie juin 2010 × × 34 Antilles-Guyane juin 2010 × × 35 Amérique du Nord juin 2010 × × 36 Liban 3 juin 2010 × × × 37 Pondichéry avril 2010 × × 38 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × × 39 Amérique du Sud nov. 2009 ×

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

40 Polynésie septembre 2009 × × 41 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 42 Métropole septembre 2009 × × 43 La Réunion juin 2009 × × × 44 Métropole juin 2009 × 45 Polynésie juin 2009 × 46 Asie juin 2009 × × 47 Centres étrangers juin 2009 × 48 Antilles-Guyane juin 2009

49 Libanmai 2009 × × × 50 Amérique du Nord mai 2009 × 51 Pondichéry avril 2009 × × × 52 Nouvelle-Calédoniemars 2009 × 53 Nouvelle-Calédonie nov. 2008 × × 54 Polynésie septembre 2008 × × 55 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 56 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 57 La Réunion juin 2008 × × 58 Centres étrangers juin 2008 × 59 Asie juin 2008 × × 60 Antilles-Guyane juin 2008 × × 61 Libanmai 2008 × × × × 62 Nlle-Calédoniemars 2008 × × 63 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 64 Polynésie septembre 2007 × × 65 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 66 Polynésie juin 2007 × × 67 Métropole juin 2007 × × 68 Centres étrangers juin 2007 × × 69 Asie juin 2007 × × 70 Antilles-Guyane juin 2007 × × × 71 Amérique du Nord juin 2007 × × × 72 Libanmai 2007 × × 73 Nlle-Calédoniemars 2007 × × 74 Nlle-Calédonie novembre 2006 × × × 75 Amérique du Sud novembre 2006 × × 76 Polynésie septembre 2006 × × 77 Métropole septembre 2006 × × × 78 Polynésie juin 2006 × × 79 La Réunion juin 2006 × × 80 Métropole juin 2006 × × 81 Centres étrangers juin 2006 × × ×

Exercices de probabilités 2

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

82 Asie juin 2006 × × 83 Amérique du Nord juin 2006 × 84 Libanmai 2006 × × 85 Pondichéry avril 2006 × 86 Amérique du Sud novembre 2005 × × 87 Nlle-Calédonie novembre 2005 × × × 88 Polynésie septembre 2005 × × × 89 Antilles-Guyane septembre 2005 × 90 Amérique du Nord juin 2005 × 91 Antilles-Guyane juin 2005 × × 92 Asie juin 2005 × × 93 Centres étrangers juin 2005 × × 94 Métropole juin 2005 × × 95 La Réunion juin 2005 × 96 Libanmai 2005 × × 97 Nlle–Calédoniemars 2005 × 98 Polynésie juin 2005 × × 99 Amérique Sud nov. 2004 × 100 Métropole septembre 2004 × 101 La Réunion septembre 2004 × × 102 Polynésie septembre 2004 × 103 Amérique du Nord juin 2004 × 104 Métropole juin 2004 × 105 Liban juin 2004 × × × 106 Polynésie juin 2004 × × 107 Pondichéry juin 2004 × × 108 La Réunion juin 2004 × × 109 Amérique Sud nov. 2003 × × 110 Nlle-Calédonie nov. 2003 × 111 Antilles-Guyane septembre 2003 × × 112 Métropole septembre 2003 × × × 113 Amérique du Nord juin 2003 × 114 Antilles-Guyane juin 2003 × × 115 Centres étrangers juin 2003 × × 116 La Réunion juin 2003 × × × 117 Liban juin 2003 × × 118 Polynésie juin 2003 × × × 119 Nlle-Calédoniemars 2003 × 120 Amérique Sud déc. 2002 × × 121 Nlle-Calédonie nov. 2002 × 122 Métropole septembre 2002 × × 123 Amérique du Nord juin 2002 × ×

Exercices de probabilités 3

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

No Lieu et date P. condi- Variable Loi bino- Loi uni- Loi expo- Suite tionelle aléatoire miale forme nentielle

124 Antilles-Guyane juin 2002 × × × 125 Asie juin 2002 × × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × 128 Polynésie juin 2002 × 129 Pondichéry juin 2002 × 130 Amérique Sud déc.2001 × 131 Antilles septembre 2001 × 132 Antilles-Guyane juin 2001 × 133 Asie juin 2001 × 134 Centres étrangers juin 2001 × 135 Métropole juin 2001 × 136 Liban juin 2001 × × 137 Polynésie juin 2001 × × 138 Amérique Sud nov. 2000 × 139 Antilles-Guyane septembre 2000 × 140 Métropole septembre 2000 × 141 Polynésie septembre 2000 × 142 Antilles-Guyane juin 2000 × 143 Asie juin 2000 × × 144 Centres étrangers juin 2000 × 145 Métropole juin 2000 × × 146 Liban juin 2000 × 147 Polynésie juin 2000 × 148 Pondichéry juin 2000 × 149 Amérique Sud nov. 1999 × 150 Antilles-Guyane septembre 1999

151 Métropole septembre 1999 × 152 Sportifs ht-niveau sept. 1999 ×

Exercices de probabilités 4

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

On désigne par x un réel appartenant à l’intervalle [0 ; 80]. Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges. Parmi les cubes bleus, 40 % ont leurs faces marquées d’un cercle, 20 % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile. Parmi les cubes rouges, 20 % ont leurs faces marquées d’un cercle, x % ont leurs faces marquées d’un losange et les autres ont leurs faces marquées d’une étoile.

Partie A : expérience 1

On tire au hasard un cube de l’urne.

1. Démontrer que la probabilité que soit tiré un cubemarqué d’un losange est égale à 0,12+0,004x. 2. Déterminer x pour que la probabilité de tirer un cube marqué d’un losange soit égale à celle de

tirer un cubemarqué d’une étoile.

3. Déterminer x pour que les évènements « tirer un cube bleu » et « tirer un cube marqué d’un losange » soient indépendants.

4. On suppose dans cette question que x = 50. Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu’il est marqué d’un losange.

Partie B : expérience 2

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l’urne. Les résultats seront arrondis au millième.

1. Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?

2. Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?

3. Quelle est la probabilité de tirer exactement un cubemarqué d’un cercle ?

Exercices de probabilités 5

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40 % des dossiers re- çus sont validés et transmis à l’entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l’issue duquel 70 % d’entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25 % des candidats rencontrés.

1. On choisit au hasard le dossier d’un candidat.

On considère les évènements suivants :

D : « Le candidat est retenu sur dossier », – E1 : « Le candidat est retenu à l’issue du premier entretien », – E2 : « Le candidat est recruté ».

a. Reproduire et compléter l’arbre pondéré ci-dessous.

D. . . E1. . .

E2. . .

E2. . .

E1. . .

D. . .

b. Calculer la probabilité de l’évènement E1.

c. On note F l’évènement « Le candidat n’est pas recruté ».

Démontrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0,93.

2. Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d’eux soit recruté est égale à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats.

a. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

b. Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à 10−3.

3. Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d’embaucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 ?

Exercices de probabilités 6

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

3 Centres étrangers juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1. On considère l’arbre de probabilités suivant :

b

b

A

0,2

b B0,68

b B

b

A b B

b B0,4

Affirmation : la probabilité de l’évènement A sachant que l’évènement B est réalisé est égale à 0,32.

2. On considère une urne contenant n boules rouges et trois boules noires, où n désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l’urne.

Affirmation : il existe une valeur de n pour laquelle la probabilité d’obtenir deux boules de cou-

leurs différentes est égale à 9

22 .

3. Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal (

O ; −→u ; −→v )

, on considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle − π

2 .

4. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’inconnue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

5. Dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal (

O ; −→u ; −→v )

, on considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−1, b = i et c =

p 3+ i(1−

p 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont unemesure est égale à 60˚.

Exercices de probabilités 7

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

4 Asie juin 2012

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient k boules noires et 3 boules blanches. Ces k+3 boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante :

– un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; – un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; – un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là

qu’il gagne la partie.

Partie A

Dans la partie A, on pose k = 7. Ainsi l’urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher.

1. Un joueur joue une partie. On note p la probabilité que le joueur gagne la partie, c’est-à-dire la probabilité qu’il ail tiré deux boules de couleurs différentes.

Démontrer que p = 0,42. 2. Soit n un entier tel que n > 2. Un joueur joue n parties identiques et indépendantes.

On note X la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et pn la probabilité que le joueur gagne aumoins une fois au cours des n parties.

a. Expliquer pourquoi la variable X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

b. Exprimer pn en fonction de n, puis calculer p10 en arrondissant au millième.

c. Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99 %.

Partie B

Dans la partie B, le nombre k est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note Yk la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur.

1. a. Justifier l’égalité : p (Yk = 5)= 6k

(k+3)2 .

b. Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire Yk

2. On note E(Yk) l’espérance mathématique de la variable aléatoire Yk On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l’espérance E(Yk) est strictement positive.

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur.

Exercices de probabilités 8

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.

On choisit, au hasard, un élève du lycée.

Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons si- multanément.

Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair ? 3.

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1

5 .

Calculer la probabilitéque Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10−3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.

On appelle A l’évènement « l’appareil présente un défaut d’apparence » et F l’évènement « l’appa- reil présente un défaut de fonctionnement ».

On suppose que les évènements A et F sont indépendants.

On sait que la probabilité que l’appareil présente un défaut d’apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l’appareil présente au moins l’un des deux défauts est égale à 0,069.

On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l’appareil présente le défaut F ?

5. On considère l’algorithme :

A et C sont des entiers naturels, C prend la valeur 0 Répéter 9 fois

A prend une valeur aléatoire entière entre 1 et 7. Si A > 5 alors C prend la valeur de C + 1 Fin Si

Fin répéter Afficher C.

Dans l’expérience aléatoire simulée par l’algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.

Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.

Exercices de probabilités 9

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

6 Liban juin 2012

On dispose de deux urnesU1 etU2. L’uneU1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4. L’urneU2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires. Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urneU1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de boules indiqué par le jeton. On considère les évènements suivants :

J1 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 1 »

J2 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 2 »

J3 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 3 »

J4 « le jeton tiré de l’urneU1 porte le numéro 4 »

B « toutes les boules tirées de l’urneU2 sont blanches »

On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b) où une valeur arrondie à 10−2 suffit.

1. Calculer P J1 (B), probabilité de l’évènement B sachant que l’évènement J1 est réalisé.

Calculer de même la probabilité P J2 (B).

On admet dans la suite les résultats suivants :

P J3(B)= 1

30 et P J4(B)=

1

210

2. Montrer que P (B), probabilité de l’évènement B , vaut 1

7 . On pourra s’aider d’un arbre de probabi-

lités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.

a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoireN ?

b. Calculer la probabilité de l’évènement (N = 3).

Exercices de probabilités 10

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

7 Amérique du Nordmai 2012

Dans une association sportive, un quart des femmes et un tiers des hommes adhère à la section tennis. On sait également que 30 % des membres de cette association adhèrent à la section tennis. On choisit au hasard unmembre de cette association et on note : – F l’événement « le membre choisi est une femme », – T l’événement « le membre choisi adhère à la section tennis ».

1. Montrer que la probabilité de l’événement F est égale à 25 .

2. On choisit un membre parmi les adhérents à la section tennis.

Quelle est la probabilité que ce membre soit une femme ?

Pour financer une sortie, les membres de cette association organisent une loterie.

1. Chaque semaine, unmembre de l’association est choisi au hasard demanière indépendante pour tenir la loterie.

a. Déterminer la probabilité pour qu’en quatre semaines consécutives, il y ait exactement deux fois unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

b. Pour tout entier natureln non nul, on note pn la probabilité pour qu’en n semaines consécu- tives, il y ait au moins unmembre qui adhère à la section tennis parmi les membres choisis.

Montrer que pour tout entier n non nul, pn = 1− ( 7 10

)n .

c. Déterminer le nombre minimal de semaines pour que pn > 0,99.

2. Pour cette loterie, on utilise une urne contenant 100 jetons ; 10 jetons exactement sont gagnants et rapportent 20 euros chacun, les autres ne rapportent rien.

Pour jouer à cette loterie, un joueur doit payer 5( puis tire au hasard et de façon simultanée deux jetons de l’urne : il reçoit alors 20 euros par jeton gagnant. Les deux jetons sont ensuite remis dans l’urne.

On note X la variable aléatoire associant le gain algébrique (déduction faite des 5() réalisé par un joueur lors d’une partie de cette loterie.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X et interpréter le résultat ob- tenu.

Exercices de probabilités 11

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Un groupe de 50 coureurs, portant des dossards numérotés de 1 à 50, participe à une course cycliste qui comprend 10 étapes, et au cours de laquelle aucun abandon n’est constaté. À la fin de chaque étape, un groupe de 5 coureurs est choisi au hasard pour subir un contrôle antidopage. Ces désignations de 5 coureurs à l’issue de chacune des étapes sont indépendantes. Un même coureur peut donc être contrôlé à l’issue de plusieurs étapes.

1. À l’issue de chaque étape, combien peut-on former de groupes différents de 5 coureurs ?

2. On considère l’algorithme ci-dessous dans lequel :

– « rand(1, 50) » permet d’obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l’intervalle [1 ; 50] – l’écriture « x := y » désigne l’affectation d’une valeur y à une variable x.

Variables a,b,c,d ,e sont des variables du type entier Initialisation a := 0 ; b := 0 ; c := 0 ; d := 0 ; e := 0 Traitement Tant que (a = b) ou (a = c) ou (a = d) ou (a = e) ou (b = c) ou (b = d) ou (b = e)

ou (c = d) ou (c = e) ou (d = e) Début du tant que

a := rand(1, 50) ; b := rand(1, 50) ; c := rand(1, 50) ; d := rand(1, 50) ; e := rand(1, 50)

Fin du tant que Sortie Afficher a,b,c,d ,e

a. Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme :

L1 = {2 ; 11 ; 44 ; 2 ; 15};L2 = {8,17,41,34,6}; L3 = {12,17,23,17,50};L4= {45,19,43,21,18} ?

b. Que permet de réaliser cet algorithme concernant la course cycliste ?

3. À l’issue d’une étape, on choisit au hasard un coureur parmi les 50 participants. Établir que la probabilité pour qu’il subisse le contrôle prévu pour cette étape est égale à 0,1.

4. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par un coureur sur l’ensemble des 10 étapes de la course.

a. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Préciser ses paramètres.

b. On choisit au hasard un coureur à l’arrivée de la course. Calculer, sous forme décimale ar- rondie au dix-millième, les probabilités des évènements suivants :

– il a été contrôlé 5 fois exactement ; – il n’a pas été contrôlé ; – il a été contrôlé au moins une fois.

Partie B

Dans cette partie, toute trace de recherche même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l’évaluation.

On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible.

Pour un coureur choisi au hasard dans l’ensemble des 50 coureurs, on appelle T l’évènement : « le contrôle est positif », et d’après des statistiques, on admet que P (T )= 0,05. On appelleD l’évènement : « le coureur est dopé ». Le contrôle anti-dopage n’étant pas fiable à 100%, on sait que :

Exercices de probabilités 12

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

– si un coureur est dopé, le contrôle est positif dans 97% des cas ; – si un coureur n’est pas dopé, le contrôle est positif dans 1% des cas.

1. Calculer P (D).

2. Un coureur a un contrôle positif. Quelle est la probabilité qu’il ne soit pas dopé ?

Exercices de probabilités 13

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

9 Nouvelle-Calédoniemars 2012

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. L’urneU1 contient trois boules rouges et une boule noire. L’urneU2 contient trois boules rouges et deux boules noires. Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urneU1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urneU2. On considère les évènements suivants : A : « obtenir 1 en lançant le dé » B : « obtenir une boule noire ».

1. a. Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.

b. Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3

8 .

c. Sachant que l’on a tiré une boule noire, calculer la probabilité d’avoir obtenu 1 en lançant le dé.

2. On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire. Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient. On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

a. Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.

b. Calculer la probabilité de gagner aumoins une partie. On donnera le résultat arrondi aumil- lième.

c. On donne le tableau suivant :

k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (X < k) 0,0091 0,0637 0,2110 0,4467 0,6943 0,8725 0,9616 0,9922 0,9990 0,9999

Soit N un entier compris entre 1 et 10. On considère l’évènement : « la personne gagne au moins N parties ».

À partir de quelle valeur de N la probabilité de cet évènement est-elle inférieure à 1

10 ?

Exercices de probabilités 14

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d’entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6. On prend un dé au hasard dans l’urne et on le lance. On note :

V l’évènement : « le dé tiré est vert » – R l’évènement : « le dé tiré est rouge » – S1 l’évènement : « on obtient 6 au lancer du dé ».

1. On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.

a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités ci-dessous.

V. . .

S1. . .

S1. . .

R . . .

S1. . .

S1. . .

b. Calculer la probabilité P (S1).

2. On tire au hasard un dé de l’urne. On lance ensuite ce dé n fois de suite. On note Sn l’évènement : « on obtient 6 à chacun des n lancers ».

a. Démontrer que :

P (Sn)= 2

3 × (

1

6

)n

+ 1

3 × (

2

3

)n

.

b. Pour tout entier naturel n non nul, on note pn la probabilité d’avoir tiré le dé rouge, sachant qu’on a obtenu le numéro 6 à chacun des n lancers.

Démontrer que :

pn = 1

2× (1 4

)n+1 .

c. Déterminer le plus petit entier n0 tel que pn > 0,999 pour tout n>n0.

Exercices de probabilités 15

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Une grande entreprise dispose d’un vaste réseau informatique. On observe le temps de fonctionnement normal séparant deux pannes informatiques. Ce temps sera appelé « temps de fonctionnement ». Soit X la variable aléatoire égale au temps de fonctionnement, exprimé en heures.

On admet que X suit une loi exponentiellede paramètreλ. Le paramètreλ est un réel strictementpositif.

On rappelle que, pour tout réel t > 0, P (X 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

1. On sait que la probabilité que le temps de fonctionnement soit inférieur à 7 heures est égale à 0,6.

Montrer qu’une valeur approchée de λ à 10−3 près est 0,131.

Dans les questions suivantes, on prendra 0,131 pour valeur approchée de λ et les résultats se- ront donnés à 102 près .

2. Montrer qu’une valeur approchée de la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 5 heures est égale à 0,52.

3. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit supérieur à 9 heures sachant qu’il n’y a pas eu de panne au cours des quatre premières heures.

4. Calculer la probabilité que le temps de fonctionnement soit compris entre 6 et 10 heures.

5. On relève aléatoirement huit temps de fonctionnement, qu’on suppose indépendants. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de relevés correspondant à des temps de fonctionnement su- périeurs ou égaux à 5 heures.

a. Quelle est la loi suivie par Y ?

b. Calculer la probabilité que trois temps parmi ces huit soient supérieurs ou égaux à 5 heures

c. Calculer l’espérance mathématique de Y (on arrondira à l’entier le plus proche).

Exercices de probabilités 16

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :

• « À quel niveau est votre bureau ? » • « Empruntez-vous l’ascenseur ou l’escalier pour vous y rendre ? »

Voici les réponses : • 225 personnes utilisent l’ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1er niveau, 75 vont au 2e niveau

et 100 vont au 3e niveau. • Les autres personnes utilisent l’escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2e niveau, les autres vont

au 1er niveau. On choisit au hasard une personne de cette population. On pourra considérer les évènements suivants :

– N1 : « La personne va au premier niveau. » – N2 : « La personne va au deuxième niveau. » – N3 : « La personne va au troisième niveau. » – E : « La personne emprunte l’escalier. »

1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Montrer que la probabilité que la personne aille au 2e niveau par l’escalier est égale à 1

12 .

b. Montrer que les évènements N1, N2 et N3 sont équiprobables.

c. Déterminer la probabilité que la personne emprunte l’escalier sachant qu’elle va au 2e ni- veau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

On appelle X la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de per- sonnes allant au 2e niveau.

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

b. Déterminer, à 10−4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2e niveau.

c. Enmoyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2e niveau ?

4. Soit n un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais n personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.

Déterminer le plus petit entier n strictement positif tel que la probabilité de l’évènement « au moins un personne va au 2e niveau »soit supérieure ou égale à 0,99.

Exercices de probabilités 17

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Unmagasin vend desmoteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utili- sation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10−3

Partie A

Une entreprise achète 20moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1. Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première an- née d’utilisation ?

2. Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

Partie B

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre λ λ, est un réel strictement positif.

On rappelle que pour tout réel positif t , p(Y 6 t )= ∫t

0 λe−λx dx.

Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3.

1. Exprimer p(Y 6 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,128 . 2. Quelle est la probabilité qu’unmoteur dure plus de 3 ans ?

3. Quelle est la probabilité qu’unmoteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?

4. Onadmet que la durée de viemoyennedm de cesmoteurs est égale à lim t→+∞

F (t ) où F est la fonction

définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par F (t )= ∫t

0 λxe−λx dx.

a. Calculer F (t ) en fonction de t .

b. En déduire la valeur de dm . On arrondira à 10−1.

Exercices de probabilités 18

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Les parties A et B sont indépendantes

Un site internet propose des jeux en ligne. Partie A :

Pour un premier jeu :

• si l’internaute gagne une partie, la probabilité qu’il gagne la partie suivante est égale à 2

5 .

• si l’internaute perd une partie, la probabilité qu’il perde la partie suivante est égale à 4

5 .

Pour tout entier naturel non nul n, on désigne parGn l’évènement « l’internaute gagne la n-ième partie » et on note pn la probabilité de l’évènementGn . L’internaute gagne toujours la première partie et donc p1 = 1.

1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant :

Gnpn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

Gn1−pn

Gn+1. . .

Gn+1. . .

2. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn+1 = 1

5 pn +

1

5 .

3. Pour tout n entier naturel non nul, on pose un = pn − 1

4 .

a. Montrer que (un)n∈N est une suite géométrique de raison 1

5 et de premier termeu1 à préciser.

b. Montrer que, pour tout n entier naturel non nul, pn = 3

4 × (

1

5

)n−1 + 1

4 .

c. Déterminer la limite de pn .

Partie B :

Dans un second jeu, le joueur doit effectuer 10 parties. On suppose que toutes les parties sont indépendantes.

La probabilité de gagner chaque partie est égale à 1

4 .

Soit X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées par le joueur.

1. a. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X ? Justifier.

b. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une partie ? Le résultat sera arrondi à 10−2 près.

c. Déterminer l’espérance de X.

2. Le joueur doit payer 30( pour jouer les 10 parties. Chaque partie gagnée lui rapporte 8 (.

a. Expliquer pourquoi ce jeu est désavantageux pour le joueur.

b. Calculer la probabilité pour un joueur de réaliser un bénéfice supérieur à 40 ( ? Le résultat sera arrondi à 10−5 près.

Exercices de probabilités 19

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

15 Polynésie juin 2011

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que :

• la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul : • Gn l’évènement « le joueur gagne la n-ième partie » ; • pn la probabilité de l’évènement Gn ·

On a donc p1 = 0,1.

1. Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.

3. Calculer la probabilité que le joueur gagne aumoins une partie sur les trois premières parties.

4. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1

5 pn+

3

5 .

5. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,

pn = 3

4 − 13

4

(

1

5

)n

.

6. Déterminer la limite de la suite (

pn )

quand n tend vers +∞.

7. Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3

4 −pn < 10−7 ?

Exercices de probabilités 20

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

16 Métropole juin 2011

Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10−4. Dans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus.

PARTIE A

On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : – La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). – La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du

test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On noteV l’évènement « la personne est contaminée par le virus » et T l’évènement « le test est positif ». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T .

1. a. Préciser les valeurs des probabilités P (V ), PV (T ), PV (T ).

Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

b. En déduire la probabilité de l’évènement V T . 2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,049 2.

3. a. Justifier par un calcul la phrase :

« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40%de « chances » que la personne soit contaminée ».

b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif.

PARTIE B

On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants. On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.

1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les 10.

Exercices de probabilités 21

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

17 La Réunion juin 2011

En vue de sa prochaine brochure d’information sur les dangers d’internet un lycée a fait remplir un questionnaire à chacun des 2 000 élèves, répartis dans les sections de seconde, première et terminale. On obtient la répartition suivante :

• un quart des élèves est en terminale ; • 35% des élèves sont en première ; • tous les autres sont en seconde ; • parmi les élèves de terminale, 70% utilisent régulièrement internet ; • 630 élèves sont des élèves de première qui utilisent régulièrement internet. • 1 740 élèves utilisent régulièrement internet.

Cette enquête permet demodéliser le choix d’un élève du lycée. On choisit au hasard un questionnaire d’élève en supposant que ce choix se fait en situation d’équipro- babilité. On note :

S l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de seconde » • E l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de première » • T l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève en classe de terminale » • I l’évènement « le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet »

1. Compléter le tableau d’effectifs donné en annexe.

2. Déterminer la probabilité d’obtenir le questionnaire d’un élève de seconde qui utilise régulière- ment internet.

3. Calculer la probabilité de I sachant T , notée PT (I ), et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.

4. Calculer la probabilité que le questionnaire choisi soit celui d’un élève qui n’utilise pas internet.

5. Le questionnaire est celui d’un élève qui utilise régulièrement internet.

Montrer que la probabilité que ce soit le questionnaire d’un élève de première est égale à 21

58 .

6. On choisit au hasard, successivement et avec remise, trois questionnaires.

Quelle est la probabilité que, parmi les trois questionnaires, un exactement soit celui d’un élève utilisateur régulier d’internet ?

On en donnera la valeur arrondie au millième.

Exercices de probabilités 22

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

18 Centres étrangers juin 2011

Les questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la

réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètreλ, oùλ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évènement (X 6 t ) s’exprime par P (X 6 t )= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

Exercices de probabilités 23

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

19 Asie juin 2011

On admet que la durée de vie (exprimée en années) d’un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ strictement po- sitif), c’est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l’année t (t positif) s’exprime par :

F (t )= p(X 6 t )= p([0 ; t ])= ∫t

0 λe−λx dx.

1. Restitution organisée de connaissances

Pré-requis :

a. pB (A)= p(AB) p(B)

(où A et B sont deux évènements tels que p(B) 6= 0) ;

b. p (

A )

= 1−p(A) (où A est un évènement) ;

c. p([a ; b])= F (b)−F (a) (où a et b sont des nombres réels positifs tels que a6 b).

Démontrer que, pour tout nombre réel positif s, on a :

p[t ; +∞]([t ; t + s])= F (t + s)−F (t )

1−F (t ) ,

et que p[t ; +∞]([t ; t + s]) est indépendant du nombre réel t .

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ= 0,2. 2. Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières

années est égale à e−0,4.

3. Sachant que le capteur n’est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu’il soit encore en état de marche au bout de six ans ?

4. On considère un lot de 10 capteurs, fonctionnant de manière indépendante.

Dans cette question, les probabilités seront arrondies à la sixième décimale.

a. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années.

b. Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années.

Exercices de probabilités 24

Baccalauréat S A. P.M. E. P.

20 Antilles–Guyane juin 2011

Cet exercice est questionnaire à choix multiples constitué de quatre questions indépendantes. Pour cha-

cune d’elles, une seule des quatre propositions est exacte.

Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse

choisie. Aucune justification n’est demandée.

Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.

1. Dans un stand de tir, la probabilité pour un tireur d’atteindre la cible est de 0,3. On effectue n tirs supposés indépendants. On désigne par pn la probabilité d’atteindre la cible au moins une fois sur ces n tirs.

La valeur minimale de n pour que pn soit supérieure ou égale à 0,9 est :

a) 6 b) 7 c) 10 d) 12

2. On observe la durée de fonctionnement, exprimée en heures, d’un moteur Diesel jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléa- toire X définie sur [0 ; +∞[ et suivant la loi exponentielle de paramètre λ= 0,0002. Ainsi, la pro-

babilité que le moteur tombe en panne avant l’instant t est p(X 6 t )= ∫t

0 λλxdx.

La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 10 000 heures est, au mil- lième près :

a) 0,271 b) 0,135 c) 0,865 d) 0,729

3. Un joueur dispose d’un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. À chaque lancer, il gagne s’il obtient 2, 3, 4, 5 ou 6 ; il perd s’il obtient 1.

Une partie est constituée de 5 lancers du dé successifs et indépendants.

La probabilité pour que le joueur perde 3 fois au cours d’une partie est :

a) 125

3888 b)

625

648 c)

25

7776 d)

3

5 4. Soient A et B deux évènements indépendants d’unemême universΩ tels que p(A)= 0,3 et

p(AB)= 0,65. La probabilité de l’évènement B est :

a) 0,5 b) 0,35 c) 0,46 d) 0,7

Exercices de probabilités 25

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