Exercices de spécialité sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 April 2014

Exercices de spécialité sur le nombre complexe, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité le nombre complexe. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Écrire le nombre complexe, Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D.
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[ Baccalauréat S Nombres complexes\ Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

1 Asie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Antilles-Guyane juin 2012 × × × 4 Centres étrangers juin 2012 × × × 5 Polynésie juin 2012 × × 6 Amérique du Nord mai 2012 × × × 7 Libanmai 2012 × × × 8 Pondichéry avril 2012 × × × 9 Nouvelle-Calédoniemars 2012 × × 10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 15 Polynésie juin 2011 × × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Libanmai 2011 × × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × 23 Amérique du Sud novembre 2010 × × × 24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × × 25 Polynésie septembre 2010

26 Métropole septembre 2010 × × × 27 Polynésie juin 2010 × × 28 Métropole juin 2010 × 29 La Réunion juin 2010 × 30 Centres étrangers juin 2010 × 31 Asie juin 2010 × 32 Antilles-Guyane juin 2010 × 33 Amérique du Nord juin 2010 × × 34 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 35 Amérique du Sud nov. 2009 × × 36 Polynésie septembre 2009 × ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie juin 2009 × × 39 Métropole juin 2009 × × 40 La Réunion juin 2009 × × 41 Asie juin 2009 × × × 42 Antilles-Guyane juin 2009 × × 43 Liban juin 2009 × × × 44 Amérique du Nord juin 2009 × × × 45 Nouvelle–Calédoniemars 2009 × × × 46 Amérique du Sud décembre 2008 × × 47 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 × × 48 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 49 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 50 Polynésie juin 2008 × × × 51 Liban juin 2008 × × 52 Centres étrangers juin 2008 × × × 53 Métropole juin 2008 × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Asie juin 2008 × × × 56 Antilles–Guyane juin 2008 × × × 57 Amérique du Nord juin 2008 × × × 58 Pondichéry avril 2008 × × × 59 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 60 Amérique du Sud novembre 2007 × × 61 Métropole-La Réunion sept. 2007 × × 62 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 63 Polynésie juin 2007 × × 64 La Réunion juin 2007 × × 65 Métropole juin 2007 × × 66 Centres étrangers juin 2007 × × 67 Asie juin 2007 × × 68 Liban juin 2007 × × 69 Nouvelle-Calédonie déc. 2006 × × 70 Amérique du Sud novembre 2006 × × 71 Polynésie septembre 2006 × × 72 Métropole septembre 2006 × × × 73 Polynésie juin 2006 × × 74 La Réunion juin 2006 × × × 75 Métropole juin 2006 × ×

Exercices sur les complexes 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

76 Centres étrangers juin 2006 × 77 Asie juin 2006 × × 78 Antilles-Guyane juin 2006 × × × 79 Libanmai 2006 × × 80 Pondichéry avril 2006 × × 81 Amérique du Sud novembre 2005 × × 82 Nouvelle–Calédonie nov. 2005 × × 83 Métropole septembre 2005 × × 84 Antilles septembre 2005 × × × 85 Polynésie septembre 2005 × × 86 Amérique du Nord juin 2005 × × 87 Antilles juin 2005 × 88 Asie juin 2005 × × × 89 Centres étrangers juin 2005 × × No Lieu et date Q.C.M. Algébri-

que Géomé- trie

z′ = f (z)

90 Métropole juin 2005 × 91 Liban juin 2005 × 92 La Réunion septembre 2004 × × 93 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × × 94 Polynésie septembre 2004 × × 95 Antilles-Guyane septembre 2004 × × 96 Amérique du Nord mai 2004 × × × 97 Antilles-Guyane juin 2004 × × 98 Asie juin 2004 × × 99 Centres étrangers juin 2004 × × 100 Métropole juin 2004 × × 101 Liban juin 2004 × × 102 Polynésie juin 2004 × 103 La Réunion juin 2004 × × 104 Nouvelle-Calédoniemars 2004 × 105 Pondichéry avril 2004 × × 106 Amérique du Sud nov. 2003 × 107 Antilles septembre 2003 × × 108 Métropole septembre 2003 × 109 Amérique du Nord juin 2003 × × 110 Antilles juin 2003 × 111 Asie juin 2003 × × 112 Métropole juin 2003 × 113 Liban juin 2003 ×

Exercices sur les complexes 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

114 Nouvelle-Calédoniemars 2003 × × 115 Polynésie juin 2003 × 116 Pondichéry mars 2003 × × 117 Amérique du Sud déc. 2002 × × 118 Antilles septembre 2002 × 119 Métropole septembre 2002 × × 120 Nouvelle-Calédonie nov. 2002 × × 121 Polynésie septembre 2002 × × × 122 Amérique du Nord juin 2002 × × 123 Antilles juin 2002 × 124 Asie juin 2002 × × 125 Centres étrangers juin 2002 × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × × 128 Polynésie juin 2002 × × 129 Pondichéry avril 2002 × × 130 Antilles septembre 2001 × 131 Métropole septembre 2001 × × 132 Polynésie septembre 2001 × 133 Amérique du Nord juin 2001 × × 134 Antilles juin 2001 × × 135 Asie juin 2001 × × 136 Métropole juin 2001 × × 137 Liban juin 2001 × 138 Polynésie juin 2001 × × 139 Pondichéry avril 2001 × × 140 Amérique du Sud nov. 2000 × 141 Nouvelle–Calédonie déc. 2000 × × 142 Antilles–Guyane sept. 2000 × × 143 Amérique du Nord juin 2000 × × 144 Antilles juin 2000 × × 145 Asie juin 2000 × 146 Métropole juin 2000 × 147 La Réunion juin 2000 × × 148 Liban juin 2000 × × 149 Polynésie juin 2000 × × 150 Pondichéry avril 2000 × × 151 Métropole septembre 1999 × 152 Nouvelle–Calédonie déc. 1999 ×

Exercices sur les complexes 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs haut-niveau sept. 1999 × ×

Exercices sur les complexes 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On note r la rotation de centre O et d’angle π

6 .

On considère le point A, d’affixe zA =− p 3+ i, le point A1 d’affixe zA1 = zA où zA

désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A1 par la rotation r et zB l’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que zB= 2e− 2iπ 3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre

complexe zB sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire −→ w , tel que

(−→ u ,

−→ w

) =

π

12 , et la droite ∆

passant par O et de vecteur directeur −→ w .

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. Tracer la droite ∆, puis démontrer que ∆ est la bissectrice de l’angle(−−→ OA ,

−−→ OB

) .

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe ( O ;

−→ u

) et B′ l’image de

B1 par la rotation r . Démontrer que B′ = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe p 2(1+ i) et D le symétrique de C par rapport à la

droite ∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D

Exercices sur les complexes 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait correspondre le pointM ′ d’affixe

1

z+1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation

x =− 1

2 .

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1

2 , zB =−

1

2 + i et zC =−

1

2 − 1

2 i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et pla- cer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout pointM d’affixe z, fait corres- pondre le pointM1 d’affixe z+1. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor-

mation g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images res- pectives par g de A, B et C et tracer la droiteD1, image de la droiteD par g .

c. Démontrer que D1 est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z−1| = |z|.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le

pointM2 d’affixe 1

z .

a. Justifier que h (A1)=A′,h (B1)=B′ et h (C1)=C′. b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1

z −1

∣∣∣∣= 1 ⇐⇒ |z−1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices sur les complexes 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Antilles-Guyane 21 juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B etC du plan complexe d’affixes respectives :

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangleOAB .

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z 6= b , associe le pointM ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z+1−2i z+2+ i

.

a. Calculer l’affixe c ′ du pointC ′, image deC par f et placer le pointC

sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z?b tels que∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Justifier que E contient les pointsO et C . Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle −π2 . On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π 2 . On note L le milieu de [JK ].

Démontrer que la médiane issue de O du triangleOJK est la hauteur is- sue deO du triangleOAC .

Exercices sur les complexes 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Centres étrangers juin 2012

1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz+5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle −

π

2 .

2. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’in- connue z :

z2− zz−1= 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −1, b = i et c =p 3+ i(1−

p 3).

Affirmation : le triangleABC possède un angle dont unemesure est égale à 60˚.

Exercices sur les complexes 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6i et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A’ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13

2 − 3

2 i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. Onconstruit de lamêmemanière C’ l’image de C par la rotationde centre

A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de

centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1

2 + 5

2 i et p =

2−5i. a. Démontrer que

sq pa

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercices sur les complexes 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Amérique du Nord juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On considère l’application f du plan dans luimême qui, à tout pointM d’affixe z, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On noteΩ le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des pointsM du plan tels que f (M)=M . 2. Soit A le point d’affixe a =

p 2− i

p 2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du pointM ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des pointsM distincts deΩ pour lesquels le triangleΩMM ′ est rectangle isocèle direct enΩ.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2− iz−1+ i= 0 et z 6= 1.

b. Montrer que z2− iz−1+ i= (z−1)(z+1− i). c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. SoitM un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M etM ′ soient alignés.

Exercices sur les complexes 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Libanmai 2012

On se place dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B etC d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i

p 3 et c = 2i

p 3.

Déterminer unemesure de l’angle ABC . b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au tri-

angle ABC est 1+ i p 3.

2. Une transformation du plan

On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

p 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i p 3, 2+2i

p 3 et 2i

p 3

On remarquera que : A1 = 1, A2 =B et A4 =C . b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].

c. établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1−ω= 1+ i

p 3

2 (znω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une trans- formation dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Détermi- ner l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier natureln, la longueur du segment [AnAn+1].

Exercices sur les complexes 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) , on

désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z 6= 1, associe le pointM ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z−1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i. a. Calculer l’affixe zC′ du point C

′ image de C par la transformation f , et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z 6= 1, z ′−1 z−1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A,M etM ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

Exercices sur les complexes 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

Ob D

Exercices sur les complexes 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Nouvelle-Calédoniemars 2012

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z)= z3− ( 2+ i

p 2 ) z2+2

( 1+ i

p 2 ) z−2i

p 2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i p 2 est solution de l’équation

P (z)= 0. 2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z)=

( z− i

p 2 )( z2+az+b

) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z)= 0.

Partie B :

Le plan complexe estmuni d’un repère orthonormédirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i p 2 et zK = e

3iπ 4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Soit L le symétriquedu point J par rapport au point K.Montrer que l’affixe de L est égale à −

p 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer unemesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? Justifier la réponse.

Exercices sur les complexes 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

1. Résoudre dans C l’équation

z2−2z+5= 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

)

d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA,zB,zC et zD où :

zA = 1+2i, zB = zA, zC = 1+ p 3+ i, zD = zC.

a. Placer les points A et B dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

b. Calculer zB− zC zA− zC

et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C etDdans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) . Expliquer la construc-

tion proposée.

Exercices sur les complexes 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2−2z+2= 0. 2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à unmême cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC−3 zA−3

. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation

de centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image

de C′ par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) . L’unité

graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2− 3i, zB = i et zC = 6− i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. Partie A

1. Calculer zB− zA zC− zA

.

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout pointM d’affixe z distincte de i, associe le pointM ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = i(z−2+3i)

z− i 1. Soit D le point d’affixe zD = 1− i. Déterminer l’affixe du point D′ image du

point D par f .

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’ap- plication f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout pointM distinct du point B, OM ′ = AM

BM .

4. Démontrer que, pour tout pointM distinct du point A et du point B, on a l’égalité :

(−→ u ,

−−−→ OM

) =

(−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 à2πprès.

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M ′ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le pointM appartient à la droite (AB).

Exercices sur les complexes 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On désigne par A le point d’affixe i et par f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z− i z+ i

.

1. Calculer l’affixe du point B′, image du point B d’affixe 2− i par l’applica- tion f .

Placer les points B et B′ sur une figure que l’on fera sur la copie.

2. Démontrer que l’application f n’admet pas de point invariant. On rap- pelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z− i= z+ i. b. Démontrer queOM ′ = 1 et interpréter géométriquement ce résultat. c. Démontrer que pour tout pointM distinct de A,

(−→ u ;

−−−→ OM

) = 2

(−→ u ;

−−→ AM

) +2k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l’image M ′ d’un point quelconqueM distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le

vecteur −→ w d’affixe ei

π 6 .

a. Dessiner la droite (d).

b. Déterminer l’image par l’application f de la droite (d) privée du point A.

Exercices sur les complexes 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Le plan est rapporté à un repère orthonormédirect ( O,

−→ u ,

−→ v

) d’unité graphique

4 cm.

Partie A :

On note P le point d’affixe p =− 1

2 + i

p 3

2 , Q le point d’affixe q =−

1

2 − i

p 3

2 , et K

le point d’affixe −1. 1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O

et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensembleD des pointsM d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Représenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensembleD et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c.

On suppose que l’origineO du repère ( O,

−→ u ,

−→ v

) est à la fois le centre de gravité

et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣ c a

∣∣∣= 1.

b. Montrer que a+b+c = 0.

c. Montrer que

∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣∣ b

a +1

∣∣∣∣= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q −1 p−1

= ei π 3 .

b. Montrer que q −1 p−1

= ca ba

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

Exercices sur les complexes 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 Polynésie 10 juin 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et

donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne

rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou

d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des pointsM d’affixe z telle que |z− i| = |z+2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i p 3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2+ 1

z2 est un nombre

réel.

Exercices sur les complexes 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Métropole 22 juin 2011

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le

candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.

Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée.

Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives zA = 1, zB = i, zC = −1, zD =−i.

1. L’image E dupointD par la rotationde centre A et d’angle π

3 a pour affixe :

z = 1+

p 3

2 (1+ i),

z = 1+

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1− i),

z = 1−

p 3

2 (1+ i),

2. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z+ i| = |z−1| est : • la médiatrice du segment [BC], • le milieu du segment [BC], • le cercle de centre O et de rayon 1, • la médiatrice du segment [AD].

3. L’ensemble des points d’affixe z telle que z+ i z+1

soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C, • le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].

4. L’ensemble des points d’affixe z telle que arg(zi ) = − π

2 +2k ∈ Z

est :

• le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, • la droite (BD), • la demi-droite ]BD) d’origine B passant par D privée de B, • le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

Exercices sur les complexes 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 La Réunion 22 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→ u ,

−−→ AB

) = arg(ba)+2k ∈Z.

* L’image du point B par la rotation de centre A et d’angle θ est le point C défini par :

AC = AB et si A 6=B , (−−→ AB ,

−−→ AC

) = θ+2k ∈Z.

Exprimer l’affixe c du pointC en fonction de a, b et θ.

Partie B

1. Résoudre dans C l’équation 2z2−6z+9= 0. Dans la suite de l’exercice, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respectives

zP = 3

2 (1+ i), zQ =

3

2 (1− i) et zR =−2i

p 3.

2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure de la résolution de l’exercice.

3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q.

Vérifier que l’affixe zS du point S est 3+ i ( 2 p 3−3

) .

4. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer les affixes zA et zC des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation r .

5. Ondésigne par B et D les images respectives des points S et R par la trans-

lation de vecteur 3 −→ v .

Calculer les affixes zB et zD des points B et D.

6. a. Démontrer que zC− zP zB− zP

= i.

b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercices sur les complexes 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Centres étrangers 16 juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou

fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas

prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ ı ,

−→

) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c = (p

3+ 1

2

) + i

(p 3

2 +2

) .

Affirmation

Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2

Onconsidère, dans le plan complexemuni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v

) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ = (

2i p 3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3 On considère le nombre complexe a =

( − p 3+ i

)2011 .

Affirmation

Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évène- ment (X 6 t ) s’exprime par P (X 6 t )= 1−e−λt . Affirmation

Sachant que X > 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Uneurne contient au totaln boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation

La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,9999, est égale à 13.

Exercices sur les complexes 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Asie 21 juin 2011

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2.

1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle π

2 .En

déduire que le point J a pour affixe −7+2i. On admettra que l’affixe du point K est - 2 - 6i.

2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les seg- ments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

3. a. Calculer les affixes des points S et T.

b. Déterminer l’affixe du point U.

c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

4. Déterminer unemesure de l’angle (−→ JC ,

−−→ AU

) .

5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe

v =−0,752+0,864i. a. Établir que les points A, V et U sont alignés.

b. Que représente la droite (AU) pour l’angle BVC ?

Exercices sur les complexes 25

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