Exercices de spécialité sur les complexes, Exercices de Mathématiques
Eusebe_S
Eusebe_S14 avril 2014

Exercices de spécialité sur les complexes, Exercices de Mathématiques

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Exercices de spécialité sur les complexes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les milieux respectifs des segments, la médiane issue de O du triangle.
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! Baccalauréat S Nombres complexes " Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENIS VERGÈS

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

1 Asie juin 2012 × × 2 Métropole juin 2012 × × × 3 Antilles-Guyane juin 2012 × × × 4 Centres étrangers juin 2012 × × × 5 Polynésie juin 2012 × × 6 Amérique du Nord mai 2012 × × × 7 Liban mai 2012 × × × 8 Pondichéry avril 2012 × × × 9 Nouvelle-Calédonie mars 2012 × ×

10 Amérique du Sud novembre 2011 × × 11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011 × × 12 Polynésie septembre 2011 × × × 13 Métropole septembre 2011 × × × 14 Antilles-Guyane septembre 2011 × × 15 Polynésie juin 2011 × × × 16 Métropole juin 2011 × × × 17 La Réunion juin 2011 × × × 18 Centres étrangers juin 2011 × × × 19 Asie juin 2011 × × × 20 Antilles–Guyane juin 2011 × × × 21 Liban mai 2011 × × × 22 Amérique du Nord mai 2011 × × 23 Amérique du Sud novembre 2010 × × × 24 Nouvelle-Calédonie novembre 2010 × × × 25 Polynésie septembre 2010 26 Métropole septembre 2010 × × × 27 Polynésie juin 2010 × × 28 Métropole juin 2010 × 29 La Réunion juin 2010 × 30 Centres étrangers juin 2010 × 31 Asie juin 2010 × 32 Antilles-Guyane juin 2010 × 33 Amérique du Nord juin 2010 × × 34 Nouvelle-Calédonie nov. 2009 × × 35 Amérique du Sud nov. 2009 × × 36 Polynésie septembre 2009 × ×

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

37 Antilles-Guyane septembre 2009 × × 38 Polynésie juin 2009 × × 39 Métropole juin 2009 × × 40 La Réunion juin 2009 × × 41 Asie juin 2009 × × × 42 Antilles-Guyane juin 2009 × × 43 Liban juin 2009 × × × 44 Amérique du Nord juin 2009 × × × 45 Nouvelle–Calédonie mars 2009 × × × 46 Amérique du Sud décembre 2008 × × 47 Nouvelle-Calédonie novembre 2008 × × 48 Métropole La Réunion sept. 2008 × × × 49 Antilles-Guyane septembre 2008 × × 50 Polynésie juin 2008 × × × 51 Liban juin 2008 × × 52 Centres étrangers juin 2008 × × × 53 Métropole juin 2008 × × 54 La Réunion juin 2008 × × 55 Asie juin 2008 × × × 56 Antilles–Guyane juin 2008 × × × 57 Amérique du Nord juin 2008 × × × 58 Pondichéry avril 2008 × × × 59 Nlle-Calédonie décembre 2007 × × × 60 Amérique du Sud novembre 2007 × × 61 Métropole-La Réunion sept. 2007 × × 62 Antilles-Guyane septembre 2007 × × 63 Polynésie juin 2007 × × 64 La Réunion juin 2007 × × 65 Métropole juin 2007 × × 66 Centres étrangers juin 2007 × × 67 Asie juin 2007 × × 68 Liban juin 2007 × × 69 Nouvelle-Calédonie déc. 2006 × × 70 Amérique du Sud novembre 2006 × × 71 Polynésie septembre 2006 × × 72 Métropole septembre 2006 × × × 73 Polynésie juin 2006 × × 74 La Réunion juin 2006 × × × 75 Métropole juin 2006 × ×

Exercices sur les complexes 2

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs de haut-niveau septembre 1999Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On dé-

signe par E l’ensemble des points M d’affixe z tels que z3 soit un nombre réel positif ou nul.

a. a. Le point A d’affixe a = e−i 2π 3 appartient-il à E ?

b. On note B le point d’affixe b = −1+ i %

3. Calculer un argument de b et montrer que B appartient à E.

b. On suppose z &= 0 et on note θ un argument de z. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur θ pour que z3 soit un nombre réel positif.

c. Après avoir vérifié que le point O appartient à E, déduire des résul- tats précédents que E est la réunion de trois demi-droites que l’on déterminera. Placer les points A et B et représenter E sur une figure.

d. à tout point P d’affixe z &= 0, on associe les points Q d’affixe iz et R d’affixe z4. On note F l’ensemble des points P tels que l’angle

( −−→ OQ ,

−−→ OR ) ait pour mesure −

π

2 . Montrer que F est l’ensemble E

privé du point O.

# Livret réalisé grâce à Cocoa booklet. Merci à son auteur Fabien Cor- nus. $

http ://www.iconus.ch/fabien/cocoabooklet/

Exercices sur les complexes 162

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

76 Centres étrangers juin 2006 × 77 Asie juin 2006 × × 78 Antilles-Guyane juin 2006 × × × 79 Liban mai 2006 × × 80 Pondichéry avril 2006 × × 81 Amérique du Sud novembre 2005 × × 82 Nouvelle–Calédonie nov. 2005 × × 83 Métropole septembre 2005 × × 84 Antilles septembre 2005 × × × 85 Polynésie septembre 2005 × × 86 Amérique du Nord juin 2005 × × 87 Antilles juin 2005 × 88 Asie juin 2005 × × × 89 Centres étrangers juin 2005 × ×

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

90 Métropole juin 2005 × 91 Liban juin 2005 × 92 La Réunion septembre 2004 × × 93 Nouvelle-Calédonie nov. 2004 × × 94 Polynésie septembre 2004 × × 95 Antilles-Guyane septembre 2004 × × 96 Amérique du Nord mai 2004 × × × 97 Antilles-Guyane juin 2004 × × 98 Asie juin 2004 × × 99 Centres étrangers juin 2004 × ×

100 Métropole juin 2004 × × 101 Liban juin 2004 × × 102 Polynésie juin 2004 × 103 La Réunion juin 2004 × × 104 Nouvelle-Calédonie mars 2004 × 105 Pondichéry avril 2004 × × 106 Amérique du Sud nov. 2003 × 107 Antilles septembre 2003 × × 108 Métropole septembre 2003 × 109 Amérique du Nord juin 2003 × × 110 Antilles juin 2003 × 111 Asie juin 2003 × × 112 Métropole juin 2003 × 113 Liban juin 2003 ×

Exercices sur les complexes 3

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

No Lieu et date Q.C.M. Algébri- que

Géomé- trie

z′ = f (z)

114 Nouvelle-Calédonie mars 2003 × × 115 Polynésie juin 2003 × 116 Pondichéry mars 2003 × × 117 Amérique du Sud déc. 2002 × × 118 Antilles septembre 2002 × 119 Métropole septembre 2002 × × 120 Nouvelle-Calédonie nov. 2002 × × 121 Polynésie septembre 2002 × × × 122 Amérique du Nord juin 2002 × × 123 Antilles juin 2002 × 124 Asie juin 2002 × × 125 Centres étrangers juin 2002 × 126 Métropole juin 2002 × × 127 La Réunion juin 2002 × × × 128 Polynésie juin 2002 × × 129 Pondichéry avril 2002 × × 130 Antilles septembre 2001 × 131 Métropole septembre 2001 × × 132 Polynésie septembre 2001 × 133 Amérique du Nord juin 2001 × × 134 Antilles juin 2001 × × 135 Asie juin 2001 × × 136 Métropole juin 2001 × × 137 Liban juin 2001 × 138 Polynésie juin 2001 × × 139 Pondichéry avril 2001 × × 140 Amérique du Sud nov. 2000 × 141 Nouvelle–Calédonie déc. 2000 × × 142 Antilles–Guyane sept. 2000 × × 143 Amérique du Nord juin 2000 × × 144 Antilles juin 2000 × × 145 Asie juin 2000 × 146 Métropole juin 2000 × 147 La Réunion juin 2000 × × 148 Liban juin 2000 × × 149 Polynésie juin 2000 × × 150 Pondichéry avril 2000 × × 151 Métropole septembre 1999 × 152 Nouvelle–Calédonie déc. 1999 ×

Exercices sur les complexes 4

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

152 Nouvelle-Calédonie décembre 1999Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique : 2 cm.

a. Tracer les cercles de centre O et de rayons 1 et 2. Placer les points A,

B, et D d’affixes respectives %

3 + i, %

3 - i et - 1 2 + %

3 2

i.

b. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

3 et la translation

T de vecteur d’affixe 1.

a. Déterminer les affixes zA′ et zB′ des points A ′ et B′, images res-

pectives des points A et B par la rotation R.

b. Déterminer l’affixe zD′ , du point D ′, image du point D par la

translation T.

c. Placer les points A′, B′ et D′.

c. Déterminer un argument du nombre complexe zA′ − zB′

zD′ . Justifier

que la droite (OD′) est une médiatrice du triangle OA′B′.

Exercices sur les complexes 161

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

151 Métropole septembre 1999 Retour au tableau Le plan est rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité gra- phique : 2 cm). On note ZM l’affixe d’un point M . Soit A le point d’affixe 4 et B le point d’affixe 4i.

a. Soit θ un réel de [0, 2π[ et r un réel strictement positif. On considère le point E d’affixe r eiθ et F le point tel que OE F est un triangle rec-

tangle isocèle vérifiant (−−→ OE ,

−−→ OF

) =

π

2 . Quelle est, en fonction de r

et θ, l’affixe de F ?

b. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l’exercice. On choisira, uniquement pour cette figure :

θ = 5 π

6 et r = 3.

c. On appelle P, Q, R , S les milieux respectifs des segments [AB], [BE ], [E F ], [F A].

a. Prouver que PQRS est un parallélogramme.

b. On pose : Z = ZR ZQ ZQ ZP

. Déterminer le module et un argument

de Z . En déduire que PQRS est un carré.

d. a. Calculer, en fonction de r et θ, les affixes respectives des points P et Q.

b. Quelle est, en fonction de r et θ, l’aire du carré PQRS ?

c. r étant fixé, pour quelle valeur de θ cette aire est-elle maximale ? Quelle est alors l’affixe de E ?

Exercices sur les complexes 160

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

153 Sportifs haut-niveau sept. 1999 × ×

Exercices sur les complexes 5

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

1 Asie juin 2012

Le plan est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On note r la rotation de centre O et d’angle π

6 .

On considère le point A, d’affixe zA =− %

3+ i, le point A1 d’affixe zA1 = zA où zA désigne le conjugué de zA. On note enfin B image du point A1 par la rotation r et zB l’affixe du point 8.

1. a. Écrire le nombre complexe zA sous forme exponentielle, puis placer les points A et A1, dans le repère. On prendra 2 cm comme unité graphique.

b. Vérifier que zB = 2e− 2iπ

3 sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe zB sous forme algébrique.

Placer alors le point B dans le même repère.

2. On considère le vecteur unitaire −→ w , tel que

(−→ u ,

−→ w

) =

π

12 , et la droite ∆

passant par O et de vecteur directeur −→ w .

a. Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O.

b. Tracer la droite ∆, puis démontrer que ∆ est la bissectrice de l’angle(−−→ OA ,

−−→ OB

) .

En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite ∆.

3. On note B1 le symétrique de B par rapport à l’axe ( O ;

−→ u )

et B′ l’image de

B1 par la rotation r . Démontrer que B′ = A.

4. Dans cette question, toute trace de recherche ou d’initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l’évaluation.

Soit C le point d’affixe %

2(1+ i) et D le symétrique de C par rapport à la droite ∆.

Construire les points C et D, puis calculer l’affixe du point D

Exercices sur les complexes 6

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

150 Pondichéry mai 2000 Retour au tableau Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

; unité graphique 4 cm. On appelle B le point d’affixe i et M1 le point d’af- fixe :

z1 = %

3−1 2

(1− i).

a. Déterminer le module et un argument de z1.

b. Soit M2 le point d’affixe z2, image de M1 par la rotation de centre O

et d’angle π

2 . Déterminer le module et un argument de z2. Montrer

que le point M2 est un point de la droite (D) d’équation y = x.

c. Soit M3 le point d’affixe z3, image de M2 par l’homothétie de centre O et de rapport

% 3+2.

a. Montrer que z3 = %

3+1 2

(1+ i ).

b. Montrer que les points M1 et M3 sont situés sur le cercle de centre B et de rayon

% 2.

d. Construire, à la règle et au compas, les points M1, M2 et M3 en uti- lisant les questions précédentes ; on précisera les différentes étapes de la construction.

e. à tout point M du plan d’affixe z (distinct de B), on associe le point

M ′, d’affixe Z telle que Z = 1

i− z . Déterminer et construire l’ensemble

(E) des points M du plan (M distinct de B) tels que M ′ appartienne au cercle de centre O et de rayon 1.

Exercices sur les complexes 159

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

149 Polynésie juin 2000 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) , unité gra-

phique 4 cm. Dans l’ensemble des nombres complexesC, i désigne le

nombre de module 1, et d’argument π

2 . On appelle f l’application, qui,

à tout nombre complexe z différent de −2, associe

Z = f (z) = z −2+ i

z +2i .

a. Si z = x + iy, x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y . On vérifiera que

ℜ(Z ) = x2 + y2 −2x +3y +2

x2 + (y +2)2 . En déduire la nature de :

a. l’ensemble E des points M d’affixe z, tels que Z soit un réel ;

b. l’ensemble F des points M d’affixe z du plan, tels que Z soit un imaginaire pur éventuellement nul.

c. Représenter ces deux ensembles.

b. On appelle A et B les points d’affixes respectives zA = 2− i et zB = −2i. En remarquant que Z =

z zA z zB

, retrouver les ensembles E et F

par une méthode géométrique.

c. Calculer | f (z)−1|× |z +2i|, et en déduire que les points M ′ d’affixe Z , lorsque le point M d’affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon

% 5, sont tous sur un même cercle dont on précisera le rayon

et l’affixe du centre.

Exercices sur les complexes 158

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On appelle f l’application qui à tout point M d’affixe z différente de −1, fait

correspondre le point M ′ d’affixe 1

z +1 .

Le but de l’exercice est de déterminer l’image par f de la droite D d’équation

x =− 1 2

.

1. Soient A, B et C les points d’affixes respectives

zA =− 1 2

, zB =− 1 2 + i et zC =−

1 2 −

1 2

i.

a. Placer les trois points A, B et C sur une figure que l’on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unité graphique.

b. Calculer les affixes des points A′ = f (A),B′ = f (B) et C′ = f (C) et pla- cer les points A’, B’et C’ sur la figure.

c. Démontrer que les points A′, B′ et C′ ne sont pas alignés.

2. Soit g la transformation du plan qui, à tout point M d’affixe z, fait corres- pondre le point M1 d’affixe z +1.

a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transfor- mation g .

b. Sans donner d’explication, placer les points A1, B1 et C1, images res- pectives par g de A, B et C et tracer la droite D1, image de la droite D par g .

c. Démontrer que D1 est l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z −1| = |z|.

3. Soit h l’application qui, à tout point M d’affixe z non nulle, associe le

point M2 d’affixe 1 z

.

a. Justifier que h (A1) = A′,h (B1) = B′ et h (C1) = C′.

b. Démontrer que, pour tout nombre complexe non nul z, on a :

∣∣∣∣ 1 z −1

∣∣∣∣= 1 ⇐⇒ |z −1| = |z|.

c. En déduire que l’image par h de la droite D1 est incluse dans un cercle C dont on précisera le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

On admet que l’image par h de la droite D1 est le cercle C privé de O.

4. Déterminer l’image par l’application f de la droite D.

Exercices sur les complexes 7

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

3 Antilles-Guyane 21 juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d’affixes respectives :

a =−1+2i ; b =−2− i ; c =−3+ i

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer b

a , en déduire la nature du triangle OAB .

3. On considère l’application f qui à tout point M d’affixe z &= b , associe le point M ′ d’affixe z ′ définie par :

z ′ = z +1−2i z +2+ i

.

a. Calculer l’affixe c ′ du point C ′, image de C par f et placer le point C

sur la figure.

b. Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z avec z?b tels que∣∣z ′ ∣∣= 1.

c. Justifier que E contient les points O et C . Tracer E .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l’évaluation.

On appelle J l’image du point A par la rotation r de centre O et d’angle −π2 . On appelle K l’image du point C par la rotation r ′ de centre O et d’angle π 2 . On note L le milieu de [JK ].

Démontrer que la médiane issue de O du triangle O JK est la hauteur is- sue de O du triangle OAC .

Exercices sur les complexes 8

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

148 Liban juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère les points A et B d’affixes respectives i et − i. Soit f l’appli- cation qui à tout point M du plan d’affixe z distincte de − i associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que

z ′ = 1+ iz z + i

.

a. Quelle est l’image par l’application f du point O ?

b. Quel est le point qui a pour image par l’application f le point C d’af- fixe 1+ i ?

c. Montrer que l’équation 1+ ii z

z + i = z admet deux solutions que l’on

déterminera.

d. Vérifier que z ′ = i(z − ii )

z + i , en déduire OM ′ =

AM BM

et :

( "u,

−−−→ OM

) = (−−→ MB ,

−−→ MA

) + π

2 +2avec k ∈Z.

e. Montrer que tous les points de l’axe des abscisses ont leurs images par l’application f situées sur un même cercle (C ) que l’on préci- sera.

f. Soit M un point du cercle de diamètre [AB] différent de A et de B, montrer que son image M ′ est située sur l’axe des abscisses.

Exercices sur les complexes 157

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

147 La Réunion juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité : 2 cm). On dit qu’un triangle équilatéral ABC est direct si et seule-

ment si (−−→ AB ,

−−→ AC

) =

π

3 [2π]. On pose j = e2i

π 3 .

a. a. Vérifier que 1 , j et j2 sont solutions de l’équation z3 = 1.

b. Calculer (1− j)(1+ j+ j2) ; en déduire que 1+ j+ j2 = 0.

c. Vérifier que ei π 3 + j2 = 0.

b. Dans le plan complexe, on considère trois points A, B , C , deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c.

a. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seule-

ment si c a b a

= ei π 3 .

b. En utilisant les résultats des questions précédentes, montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si : a+b j + c j 2 = 0.

c. À tout nombre complexe z &= 1 , on associe les points R , M et M

d’affixes respectives 1, z et z̄.

a. Pour quelles valeurs de z les points M et M ′ sont-ils distincts ?

b. En supposant que la condition précédente est réalisée, montrer que l’ensemble (∆) des points M d’affixe z tels que le triangle RM M ′ soit équilatéral direct est une droite privée d’un point.

Exercices sur les complexes 156

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

4 Centres étrangers juin 2012

1. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère la transformation t d’écriture complexe

z ′ =−iz +5+ i.

Affirmation : la transformation t est la rotation de centre A d’affixe 3−2i et d’angle −

π

2 .

2. Dans l’ensemble des nombres complexes, on considère l’équation (E) d’in- connue z :

z2 − zz −1 = 0.

Affirmation : l’équation (E) admet au moins une solution.

3. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −1, b = i et c =% 3+ i(1−

% 3).

Affirmation : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60˚.

Exercices sur les complexes 9

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

5 Polynésie juin 2012

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O ; −→u ; −→v

) , on

considère les points A, B et C d’affixes respectives a =−2+2i, b =−3−6i et c = 1.

La figure de l’exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

1. Quelle est la nature du triangle ABC ?

2. a. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre B et d’angle π

2 .

b. En déduire l’affixe du point A’ image de A par r .

c. Vérifier que l’affixe s du point S milieu de [AA’] est s =− 13 2

− 3 2

i.

d. Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.

3. On construit de la même manière C’ l’image de C par la rotation de centre

A et d’angle π

2 , Q le milieu de [CC’], B’ l’image de B par la rotation de

centre C et d’angle π

2 et P le milieu de [BB’].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont q = 1 2 +

5 2

i et p = 2−5i.

a. Démontrer que s q p a

=−i.

b. En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.

Exercices sur les complexes 10

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

146 Métropole juin 2000 Retour au tableau Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 4 cm, on considère les points A d’affixe zA = 1 et B d’affixe zB = 2. Soit un réel θ appartenant à l’intervalle ]0 ; π[. On note M le point d’affixe z = 1+e2iθ.

a. Montrer que le point M appartient au cercle (C ) de centre A et de rayon 1.

b. Exprimer l’angle ( −→ AB ;

−−→ AM ) en fonction de θ. En déduire l’ensemble

E des points M quand θ décrit l’intervalle ]0 ; π[.

c. On appelle M ′ l’image de M par la rotation de centre O et d’angle − θ et on note z ′ l’affixe de M ′. Montrer que z ′ = z puis que M ′ ap- partient à (C ).

d. Dans toute la suite, on choisit θ = π

3 . On appelle r la rotation de

centre O et d’angle − 2π 3

et A′ l’image de A par r .

a. Définir l’image (C ′) du cercle (C ) par r . Placer sur une figure A, B, (C ), M , (C ′) puis le point M ′ image de M par r .

b. Montrer que le triangle AMO est équilatéral.

c. Montrer que (C ) et (C ′) se coupent en O et en M .

d. Soit le point P symétrique de M par rapport à A. Montrer que M ′ est le milieu de [A′P ].

Exercices sur les complexes 155

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

145 Asie juin 2000 Retour au tableau Dans le plan complexe (P ) muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

d’unité 2 cm, on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :

zA =− i ; zB = 3 ; zC = 2+3i et zD =− 1+2i.

a. Placer sur une figure les points A, B, C et D.

b. a. Interpréter géométriquement le module et l’argument du com-

plexe zC − zA zD − zB

.

b. Calculer le complexe zC − zA zD − zB

.

c. Que pouvez-vous conclure concernant les segments [AC] et [BD] ?

c. a. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier.

b. Calculer l’aire s0 du quadrilatère ABCD.

d. a. Placer sur la figure précédente les points A1, B1, C1 et D1 tels que

−−−→ DA1 =

−−−→ A1B1 =

−−→ B1C , où les points A1 et B1 appartiennent à

[DC], le quadrilatère A1B1C1D1 étant un carré situé àl’extérieur du quadrilatère ABCD.

b. Tracer le carré A1B1C1D1 et déterminer son aire s1.

e. a. On continue par le même procédé : un carré AnBnCnDn étant déterminé, on considère les points An+1, Bn+1, Cn+1 et Dn+1 tels que

−−−−−−→ DnAn+1 =

−−−−−−−→ An+1Bn+1 =

−−−−−−→ Bn+1Cn où les points An+1 et Bn+1

appartiennent à [DnCn], le quadrilatère An+1Bn+1Cn+1Dn+1 étant un carré situé à l’extérieur du carré AnBnCnDn . Tracer le carré A2B2C2D2.

b. Soit sn l’aire du carré AnBnCnDn . Exprimer sn+1 en fonction de sn , puis de n. En déduire sn , en fonction de n.

c. Déterminer, en fonction de n, l’aire Sn de la figure obtenue par la juxtaposition du quadrilatère ABCD et des carrés A1B1C1D1,

A2B2C2D2, . . . et AnBnCnDn .

d. La suite (sn) est-elle convergente ? Préciser sa limite si elle existe.

Exercices sur les complexes 154

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

6 Amérique du Nord juin 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On considère l’application f du plan dans lui même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que : z ′ = z2. On note Ω le point d’affixe 1.

1. Déterminer l’ensemble Γ1 des points M du plan tels que f (M) = M .

2. Soit A le point d’affixe a = %

2− i %

2.

a. Exprimer a sous forme exponentielle.

b. En déduire les affixes des deux antécédents de A par f .

3. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que l’affixe z ′ du point M ′ soit un nombre imaginaire pur.

4. Dans cette question, on souhaite déterminer l’ensemble Γ3 des points M distincts de Ω pour lesquels le triangle ΩM M ′ est rectangle isocèle direct en Ω.

a. À l’aide de la rotation de centre Ω et d’angle π2 , montrer que M est un point de Γ3 si et seulement si z2 − iz −1+ i= 0 et z &= 1.

b. Montrer que z2 − iz −1+ i = (z −1)(z +1− i).

c. En déduire l’ensemble Γ3.

5. Soit M un point d’affixe z différente de 0 et de 1.

a. Exprimer (−−−→ OM ,

−−−→ OM

) en fonction d’un argument de z.

b. En déduire l’ensemble Γ4 des points M distincts de O et de Ω tels que O, M et M ′ soient alignés.

Exercices sur les complexes 11

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

7 Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Un triangle

a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2, b = 3+ i

% 3 et c = 2i

% 3.

Déterminer une mesure de l’angle &ABC . b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au tri-

angle ABC est 1+ i %

3.

2. Une transformation du plan On note (zn) la suite de nombres complexes, de terme initiale zO = 0, et telle que :

zn+1 = 1+ i

% 3

2 zn +2, pour tout entier naturel n.

Pour tout entier naturel n, on note An le point d’affixe zn .

a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives :

3+ i %

3, 2+2i %

3 et 2i %

3

On remarquera que : A1 = 1, A2 = B et A4 =C .

b. Comparer les longueurs des segments [A1 A2], [A2 A3] et [A3 A4].

c. établir que pour tout entier naturel n, on a :

zn+1 −ω= 1+ i

% 3

2 (zn ω),

ω désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).

d. En déduire que le point An+1 est l’image du point An par une trans- formation dont on précisera les éléments caractéristiques.

e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An . Détermi- ner l’affixe du point A2012.

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [An An+1].

Exercices sur les complexes 12

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

144 Antilles–Guyane juin 2000 Retour au tableau

a. Pour tout nombre complexe z, on pose P (z) = z3 −3z2 +3z +7.

a. Calculer P (− 1) .

b. Déterminer les réels a et b tels que pour tout nombre complexe z, on ait :

P (z) = (z +1)(z2 +az +b).

c. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.

b. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

(Unité graphique : 2 cm.) On désigne par A, B , C et G les points du plan d’affixes respectives

zA =−1, zB = 2+ i %

3, zC = 2− i %

3 et zG = 3.

a. Réaliser une figure et placer les points A, B, C et G.

b. Calculer les distances AB, BC et AC. En déduire la nature du tri- angle ABC.

c. Calculer un argument du nombre complexe zA − zC zG − zC

. En déduire

la nature du triangle GAC.

c. Soit (D) l’ensemble des points M du plan tels que : ( − −−→ MA +2

−−→ MB +2

−−→ MC

) · −−→ CG =+12 (1)

a. Montrer que G est le barycentre du système de points pondérés

{(A, −1) ; (B, 2) ; (C, 2)} .

b. Montrer que la relation (1) est équivalente à la relation −−→ GM .

−−→ CG =−4 (2).

c. Vérifier que le point A appartient à l’ensemble (D).

d. Montrer que la relation (2) est équivalente à la relation −−→ AM .

−−→ GC =

0.

e. En déduire l’ensemble (D) et le tracer.

Exercices sur les complexes 153

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

a. Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.

b. Développer (z −2i)2 +3. Déterminer les points M du plan com- plexe pour lesquels l’affixe de I est 2i.

d. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d’affixe z = x + iy (x et y réels).

a. Exprimer en fonction de x et y la partie réelle et la partie imagi- naire de l’affixe de I .

b. Déterminer l’ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des abscisses.

c. Déterminer l’ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l’axe des ordonnées.

Exercices sur les complexes 152

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril 2012

Partie A Restitution organisée de connaissances

Soit z un nombre complexe. On rappelle que z est le conjugué de z et que |z| est le module de z. On admet l’égalité : |z|2 = zz. Montrer que, si z1 et z2 sont deux nombres complexes, alors |z1z2| = |z1| |z2|.

Partie B : Étude d’une transformation particulière

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) , on

désigne par A et B les points d’affixes respectives 1 et −1. Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe z &= 1, associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que :

z ′ = 1− z z −1

1. Soit C le point d’affixe zC =−2+ i.

a. Calculer l’affixe zC′ du point C ′ image de C par la transformation f ,

et placer les points C et C′ dans le repère donné en annexe.

b. Montrer que le point C′ appartient au cercle C de centre O et de rayon 1.

c. Montrer que les points A, C et C′ sont alignés.

2. Déterminer et représenter sur la figure donnée en annexe l’ensemble ∆ des points du plan qui ont le point A pour image par la transformation f .

3. Montrer que, pour tout point M distinct de A, le point M ′ appartient au cercle C .

4. Montrer que, pour tout nombre complexe z &= 1, z ′ −1 z −1

est réel.

Que peut-on en déduire pour les points A, M et M ′ ?

5. On a placé un point D sur la figure donnée en annexe. Construire son image D′ par la transformation f .

Exercices sur les complexes 13

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

Annexe à rendre avec la copie

EXERCICE 4

−→ u

−→ v

OD

Exercices sur les complexes 14

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

143 Amérique du Nord juin 2000 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) . Dans

tout l’exercice, z est un nombre complexe non nul. à tout point M d’af-

fixe z, on associe le point M ′ d’affixe z ′ = − 1 z

, puis le point I milieu du

segment [M M ′] . L’affixe de I est donc 1 2

( z

1 z

) . Note : les questions 2.,

3. et 4. sont largement indépendantes.

a. a. Donner une relation entre les modules de z et z ′. Donner une relation entre leurs arguments.

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M1 d’affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M ′1 , puis le point I1 milieu du segment [M1M ′1]. Effectuer cette construction.

O

M1

M2

−→ u

−→ v

b. Pour cette question, θ est un réel et M est le point d’affixe z = e iθ.

a. Calculer sous forme algébrique l’affixe de I .

b. Sur la figure ci-dessous est placé le point M2 d’affixe z2 sur le cercle C , de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en uti- lisant le résultat de la question 2. a., on peut obtenir géométri- quement le point I2 milieu du segment [M2M ′2] . Effectuer cette construction. Donner (sans justification) l’ensemble décrit par I lorsque M décrit C .

c. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.

Exercices sur les complexes 151

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

142 Antilles–Guyane septembre 2000Retour au tableau a. Pour tout nombre complexe z, on considère

f (z) = z4 −10z3 +38z2 −90z +261.

a. Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f (ib). En déduire que l’équation f (z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

b. Montrer qu’il existe deux nombres réels α et β, que l’on déter- minera, tels que, pour tout nombre complexe z,

f (z) = ( z2 +9

)( z2 +αz +β

) .

c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation f (z) = 0.

b. Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal.

a. Placer dans le plan P les points A, B, C et D ayant respective- ment pour affixes : a = 3i, b =−3i, c = 5+2i et d = 5−2i.

b. Déterminer l’affixe de l’isobarycentre G des points A, B, C, D.

c. Déterminer l’ensemble E des points M de P tels que :

‖ −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD ‖= 10.

Tracer E sur la figure précédente.

Exercices sur les complexes 150

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

9 Nouvelle-Calédonie mars 2012

Partie A :

On considère le polynôme P défini sur C par

P (z) = z3 − ( 2+ i

% 2 )

z2 +2 ( 1+ i

% 2 )

z −2i %

2.

1. Montrer que le nombre complexe z0 = i %

2 est solution de l’équation

P (z) = 0.

2. a. Déterminer les réels a et b tels que P (z) = ( z − i

% 2 )(

z2 +az +b ) .

b. En déduire les solutions dans C de l’équation P (z) = 0.

Partie B :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . On pren-

dra 2 cm pour unité graphique. On considère les points A, B, J et K d’affixes respectives :

zA = 1+ i, zB = 1− i, zJ = i %

2 et zK = e 3iπ

4 .

1. Placer les points A, B, J, K sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

2. Soit L le symétrique du point J par rapport au point K. Montrer que l’affixe de L est égale à −

% 2.

3. Montrer que les points A, B, J et L appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

4. Soit D le point d’affixe zD =−1+ i. On considère !a rotation r de centre O qui transforme J en D.

a. Déterminer une mesure de l’angle de la rotation r .

b. Soit C l’image du point L par la rotation r . Déterminer l’affixe du point C.

5. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier la réponse.

Exercices sur les complexes 15

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

10 Amérique du Sud novembre 2011

1. Résoudre dans C l’équation

z2 −2z +5= 0.

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm.

On considère les points A, B, C et D d’affixes respectives zA, zB, zC et zD où :

zA = 1+2i, zB = zA, zC = 1+ %

3+ i, zD = zC.

a. Placer les points A et B dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

b. Calculer zB − zC zA − zC

et donner le résultat sous forme algébrique.

c. En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C et D dans le repère ( O,

−→ u ,

−→ v ) . Expliquer la construc-

tion proposée.

Exercices sur les complexes 16

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

141 Nouvelle–Calédonie novembre 2000 Retour au tableau

6. a. a. Résoudre dans C l’équation

z2 −2z +2= 0.

Préciser le module et un argument de chacune des solutions.

b. En déduire les solutions dans C de l’équation

(−iz +3i+3)2 −2(−iz +3i+3)+2 = 0.

b. Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respec- tives zA = 1+ i, zB = zA, zC = 2zB.

a. Déterminer les formes algébriques de zB et zC.

b. Placer lespoints A, B et C.

c. Montrer que les points A, B et C appartiennent au cercle (C ) de centre I d’affixe 3 et de rayon

% 5.

d. Calculer zC −3 zA −3

; en déduire la nature du triangle IAC.

e. Le point E est l’image du point O par la translation de vecteur 2 −→ IC . Déterminer l’affixe du point E.

f. Le point D est l’image du point E par la rotation de centre O et

d’angle π

2 .

Déterminer l’affixe du point D.

g. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 149

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

140 Amérique du Sud novembre 2000Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

(unité graphique : 2 cm).

a. a. Donner l’écriture algébrique du nombre complexe de module 2

et dont un argument est π

2 .

b. Résoudre dans C l’équation iz −2 = 4i− z. On donnera la solu- tion sous forme algébrique.

b. On désigne par I, A et B les points d’affixes respectives 1, 2i et 3 + i.

a. Faire une figure que l’on complétera au cours de l’exercice.

b. Calculer l’affixe zC du point C image de A par la symétrie de centre I.

c. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe zC − zB zA − zB

. En

déduire le module et un argument de ce nombre. (zA et zB dési- gnent les affixes des points A et B).

d. Soit D le point d’affixe zD tel que zD − zC = zA − zB. Montrer que ABCD est un carré.

c. Pour tout point M du plan, on considère le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD .

a. Exprimer le vecteur −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD en fonction du vec-

teur −−→ MI .

b. Montrer que le point K défini par −−→ K A +

−−→ K B +

−−→ K C +

−−→ K D = 2

−→ AB

est le milieu du segment [AD].

c. Déterminer l’ensemble Γ des points M du plan tels que

∥∥∥ −−→ MA +

−−→ MB +

−−→ MC +

−−−→ MD

∥∥∥= ∥∥∥2

−−→ AB

∥∥∥ .

Construire Γ.

Exercices sur les complexes 148

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

11 Nouvelle-Calédonie novembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On prendra 1 cm pour unité graphique.

1. Résoudre dans C l’équation z2 −2z +2= 0.

2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :

zA = 1+ i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3.

Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.

3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.

4. Calculer zC −3 zA −3

. En déduire la nature du triangle DAC.

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini- tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On note h l’homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation

de centre D et d’angle π

2 . On appelle C′ l’image de C par h et C′′ l’image

de C′ par r .

Montrer que les droites (AC) et (C′C′′) sont perpendiculaires.

Exercices sur les complexes 17

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

12 Polynésie septembre 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) . L’unité

graphique est 1 cm. On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives zA = 2− 3i, zB = i et zC = 6− i. On réalisera une figure que l’on complétera au fur et à mesure des questions. Partie A

1. Calculer zB − zA zC − zA

.

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l’application f qui, à tout point M d’affixe z distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = i(z −2+3i)

z − i 1. Soit D le point d’affixe zD = 1− i. Déterminer l’affixe du point D′ image du

point D par f .

2. a. Montrer qu’il existe un unique point, noté E, dont l’image par l’ap- plication f est le point d’affixe 2i.

b. Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point M distinct du point B, OM ′ = AM BM

.

4. Démontrer que, pour tout point M distinct du point A et du point B, on a l’égalité :

(−→ u ,

−−−→ OM

) = (−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 à 2πprès.

5. Démontrer que si le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point M ′ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point M ′ appartient à l’axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point M appartient à la droite (AB).

Exercices sur les complexes 18

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

139 Pondichéry mai 2001 Retour au tableau On considère l’application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe

f (z) = 2− iz 1− z

.

L’exercice étudie quelques propriétés de f .

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions 1. et 2.. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe −2i.

a. On pose z = x + iy avec x et y réels. Écrire f (z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z tels que f (z) soit un réel et représenter cet ensemble.

b. On pose z ′ = f (z).

a. Vérifier que i n’a pas d’antécédent par f et exprimer, pour z

différent de i, z en fonction de z ′.

b. M est le point d’affixe z (z différent de 1) et M ′ celui d’affixe z

(z ′ différent de i).

Montrer que OM = M ′C

M ′D où C et D sontles points d’affixes res-

pectives 2 et i.

c. Montrer que, lorsque le point M décrit le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point A, son image M ′ appartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement.

d. Montrer que, si M est un point de l’axe des réels, différent de O et de A, alors M ′ appartient à la droite (CD).

Exercices sur les complexes 147

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

138 Polynésie juin 2001 Retour au tableau Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 2 cm, on considère les points A et B, d’affixes respectives zA = - 1 et zB = 3i. Soit la fonction f de P privée du point A dans P qui à

tout point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ tel que : z ′ = i (

z −3i z +1

)

(1).

a. Soit C le point d’affixe zC = 2 - i. Montrer qu’il existe un seul point D tel que f (D) = C.

b. Déterminer la nature du triangle ABC.

c. à l’aide de l’égalité (1), montrer que, pour tout M distinct de A et de

B : OM ′ = BM et ( −→ u ,

−−−→ OM ′ ) =

π

2 + (

−−→ MA ,

−−→ MB ) (modulo 2π).

d. En déduire et construire les ensembles de points suivants :

a. L’ensemble E des points M tels que l’image M ′ soit située sur le cercle (F) de centre O, de rayon 1.

b. L’ensemble F des points M tels que l’affixe de M ′ soit réelle.

e. On considère la rotation R de centre O et d’angle π

2 . On note C1

l’image de C par R.

a. Déterminer l’affixe de C1.

b. Montrer que C1 appartient à l’ensemble F.

Exercices sur les complexes 146

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

13 Métropole septembre 2011

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A le point d’affixe i et par f l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z, distincte de i, associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = z − i z + i

.

1. Calculer l’affixe du point B′, image du point B d’affixe 2− i par l’applica- tion f .

Placer les points B et B′ sur une figure que l’on fera sur la copie.

2. Démontrer que l’application f n’admet pas de point invariant. On rap- pelle qu’un point invariant est un point confondu avec son image.

3. a. Vérifier que, pour tout nombre complexe z, z − i= z + i.

b. Démontrer que OM ′ = 1 et interpréter géométriquement ce résultat.

c. Démontrer que pour tout point M distinct de A,

(−→ u ;

−−−→ OM

) = 2

(−→ u ;

−−→ AM

) +2k est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l’image M ′ d’un point quelconque M distinct de A.

4. Soit (d) la droite passant par le point A et dont un vecteur directeur est le vecteur

−→ w d’affixe ei

π 6 .

a. Dessiner la droite (d).

b. Déterminer l’image par l’application f de la droite (d) privée du point A.

Exercices sur les complexes 19

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

14 Antilles-Guyane septembre 2011

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct ( O,

−→ u ,

−→ v )

d’unité graphique 4 cm.

Partie A :

On note P le point d’affixe p =− 1 2 + i

% 3

2 , Q le point d’affixe q =−

1 2 − i

% 3

2 , et K

le point d’affixe −1.

1. a. Montrer que les points P et Q appartiennent au cercle Γ de centre O et de rayon 1.

b. Faire une figure et construire les points P et Q.

2. a. Déterminer l’ensemble D des points M d’affixe z tels que |z| = |z+1|. Représenter cet ensemble sur la figure.

b. Montrer que P et Q sont les points d’intersection de l’ensemble D et du cercle Γ.

Partie B :

On considère trois nombres complexes non nuls a, b et c. On note A, B et C les points d’affixes respectives a, b et c. On suppose que l’origine O du repère

( O,

−→ u ,

−→ v )

est à la fois le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

1. a. Montrer que |a| = |b| = |c|. En déduire que ∣∣∣∣ b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣

c

a

∣∣∣= 1.

b. Montrer que a+b +c = 0.

c. Montrer que ∣∣∣∣

b

a

∣∣∣∣= ∣∣∣∣

b

a +1

∣∣∣∣= 1.

d. En utilisant la partie A, en déduire que b

a = p ou

b

a = q .

2. Dans cette question, on admet que b

a = p et

c

a = q .

a. Montrer que q −1 p −1

= ei π 3 .

b. Montrer que q −1 p −1

= c a b a

.

c. Déduire des deux questions précédentes la nature du triangle ABC.

Exercices sur les complexes 20

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

137 Liban juin 2001 Retour au tableau Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

on considère les points A et B d’affixes respectives zA = 3 + i et zB = 1+2i.

a. Exprimer le complexe zB

zA sous forme algébrique puis sous forme tri-

gonométrique.

b. En déduire une mesure en radians de l’angle (−−→ OA ,

−−→ OB

) .

Partie B

Désormais on considère l’espace muni du repère orthonormal direct (O, −→ u ,

−→ v ,

−→ w )

où −→ w =

−→ u

−→ v .

On considère les points A(3, 1, 0), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1) et D(0, 0, d) où d désigne un réel positif ou nul. On a ainsi un tétraèdre ABCD.

a. On pose −→ N =

−→ AB ∧

−−→ AC .

a. Calculer les coordonnées de N .

b. En déduire l’aire du triangle ABC.

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

c. On note H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

a. On pose −−→ DH =λ

−→ N . Calculer λ en fonction de d .

b. En déduire l’expression de la distance DH . Montrer que le vo-

lume du tétraèdre ABCD est Vd = 2d +5

6 .

d. Déterminer pour quelle valeur de d la droite (DB) est perpendicu- laire au plan (ABC).

e. On suppose que d = 0 . Calculer la distance de A au plan (OBC).

Exercices sur les complexes 145

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

136 Métropole juin 2001 Retour au tableau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v )

[unité graphique : 6 cm].

On considère la suite (αn) de nombres réels définie par α0 = π

2 et, pour

tout entier naturel n, αn+1 =αn + 5π 6

.

Pour tout entier naturel n, on appelle Mn le point du cercle C de centre O et de rayon 1 tel que l’angle

(−→ u ,

−−−→ OMn

) ait pour mesure αn .

a. Placer les douze points M0, M1, M2, · · · , M11.

b. On appelle zn l’affixe de Mn . Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité : zn = ei

(π 2 +

512

) .

c. a. Montrer, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : • les points Mn et Mn+6 sont diamétralement opposés ; • les points Mn et Mn+12 sont confondus.

b. Montrer que, pour tout entier naturel n, on a l’égalité zn+4 = e−

2iπ 3 zn . En déduire que la distance Mn Mn+4 vaut

% 3 puis que

le triangle Mn Mn+4Mn+8, est équilatéral. On admettra que tous les triangles équilatéraux ayant pour sommets des points Mn sont de la forme Mn Mn+4Mn+8.

d. Douze cartons indiscernables au toucher, marqués M0, M1, M2, · · · , M11 sont disposés dans une urne. On tire au hasard et simultanément trois cartons de l’urne. Calculer la probabilité d’obtenir les trois som- mets d’un triangle équilatéral.

Exercices sur les complexes 144

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

15 Polynésie 10 juin 2011

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et

donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

1. Soient A le point d’affixe 2−5i et B le point d’affixe 7−3i. Proposition 1 : Le triangle OAB est rectangle isocèle.

2. Soit (∆) l’ensemble des points M d’affixe z telle que |z − i| = |z +2i|. Proposition 2 : (∆) est une droite parallèle à l’axe des réels.

3. Soit z = 3+ i %

3.

Proposition 3 : Pour tout entier naturel n non nul, z3n est imaginaire pur.

4. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 4 : Si π

2 est un argument de z alors |i+ z| = 1+|z|.

5. Soit z un nombre complexe non nul.

Proposition 5 : Si le module de z est égal à 1 alors z2 + 1 z2

est un nombre

réel.

Exercices sur les complexes 21

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

16 Métropole 22 juin 2011

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le

candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte un point. Aucune justification n’est demandée. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

On désigne par A, B, C, D les points d’affixes respectives zA = 1, zB = i, zC = −1, zD =−i.

1. L’image E du point D par la rotation de centre A et d’angle π

3 a pour affixe :

z = 1+

% 3

2 (1+ i),

z = 1+

% 3

2 (1− i),

z = 1−

% 3

2 (1− i),

z = 1−

% 3

2 (1+ i),

2. L’ensemble des points d’affixe z telle que |z + i| = |z −1| est : • la médiatrice du segment [BC], • le milieu du segment [BC], • le cercle de centre O et de rayon 1, • la médiatrice du segment [AD].

3. L’ensemble des points d’affixe z telle que z + i z +1

soit un imaginaire pur est :

• la droite (CD) privée du point C, • le cercle de diamètre [CD] privé du point C, • le cercle de diamètre [BD] privé du point C, • la médiatrice du segment [AB].

4. L’ensemble des points d’affixe z telle que arg(z i ) = − π

2 +2k ∈ Z

est :

• le demi-cercle de diamètre [BD] passant par A, • la droite (BD), • la demi-droite ]BD) d’origine B passant par D privée de B, • le cercle de diamètre [BD] privé de B et D.

Exercices sur les complexes 22

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

135 Asie juin 2001 Retour au tableau Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) . On ap-

pelle f l’application qui, à tout point M d’affixe z (z &= − 1) associe le point M ′ d’affixe z ′ telle que :

z ′ = iz −2 z +1

.

Soient A, B et C les points d’affixes respectives a =− 1, b = 2i et c =i.

a. Soit C′ l’image du point C par f . Donner l’affixe c ′ du point C′ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.

b. Calculer l’affixe d du point D ayant pour image par f le point D′ d’af-

fixe d ′ = 1 2

.

c. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on note p le module de z +1 (c’est-à-dire |z +1| = p) et p ′ le module de z ′+ i (c’est-à-dire |z ′+ i| = p ′).

a. Démontrer que, pour tout nombre complexe z différent de - 1, on a : pp ′ =

% 5.

b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M ′ = f (M) appartient à un cercle (Γ′), dont on précisera le centre et le rayon.

d. Pour tout nombre complexe z différent de - 1, on considère le nombre

complexe ω= z −2i z +1

.

a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe ω.

b. Montrer que z ′ =− iω.

c. Déterminer l’ensemble (F) des points M d’affixe z telle que z

soit un réel non nul.

d. Vérifier que le point D appartient aux ensembles (Γ) et (F).

e. Représenter les ensembles (Γ), (F) et (Γ′) en prenant 4 cm pour unité graphique.

Exercices sur les complexes 143

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

134 Antilles-Guyane juin 2001 Retour au tableau Dans le plan rapporté à un repère orthonormal

( O,

−→ u ,

−→ v ) , on désigne

par M(z) le point M ayant pour affixe z.

a. Placer sur une figure les points A(2 + i), B(2i), C(−4+3i) et D(−8), en prenant 1 cm pour unité graphique.

b. Soit f la transformation du plan qui, à tout point M(z), associe le point M ′(z ′) tel que :

z ′ = (1+2i)z −4−2i.

a. Préciser les images des points A et B par f .

b. Montrer que f admet un unique point fixe Ω, dont on précisera l’affixe ω (M est un point fixe pour f si, et seulement si, f (M) = M).

c. On admet que ω = 1 − 2i. Soit M un point quelconque et M ′ son image par f .

a. Montrer que, pour tout complexe z on a : z ′−z = 2i(wz). Dans toute la suite, M est différent de Ω.

b. Déduire de la question précédente le rapport des distances M M

M ,

et l’angle de vecteurs ( −−−→ MΩ ,

−−−−→ M M ′ ).

c. Déduire des questions précédentes une construction géomé- trique du point M ′, connaissant le point M . Réaliser cette construc- tion sur la figure de la question 1)

Exercices sur les complexes 142

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

17 La Réunion 22 juin 2011

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O,

−→ u ,

−→ v ) .

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient A,B deux points du plan d’affixes respectives a et b. On rappelle que :

* (−→

u , −−→ AB

) = arg(b a)+2k ∈Z.

* L’image du point B par la rotation de centre A et d’angle θ est le point C défini par :

AC = AB et si A &= B , (−−→

AB , −−→ AC

) = θ+2k ∈Z.

Exprimer l’affixe c du point C en fonction de a, b et θ.

Partie B

1. Résoudre dans C l’équation 2z2 −6z +9= 0. Dans la suite de l’exercice, on désigne par P, Q et R les points d’affixes respectives

zP = 3 2

(1+ i), zQ = 3 2

(1− i) et zR =−2i %

3.

2. Placer les points P, Q, R sur une figure que l’on complètera au fur et à mesure de la résolution de l’exercice.

3. On note S le symétrique du point R par rapport au point Q. Vérifier que l’affixe zS du point S est 3+ i

( 2 %

3−3 ) .

4. Soit r la rotation de centre O et d’angle π

2 .

Déterminer les affixes zA et zC des points A et C, images respectives des points R et S par la rotation r .

5. On désigne par B et D les images respectives des points S et R par la trans- lation de vecteur 3

−→ v .

Calculer les affixes zB et zD des points B et D.

6. a. Démontrer que zC − zP zB − zP

= i.

b. En déduire la nature du quadrilatère ABCD.

Exercices sur les complexes 23

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

18 Centres étrangers 16 juin 2011

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse qui n’est pas justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute justification incomplète sera valorisée.

Question 1 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ ı ,

−→ ) ,

les points A, B et C d’affixes respectives :

a = 1+ i, b = 3i, c = (%

3+ 1 2

) + i

(% 3

2 +2

)

.

Affirmation Le triangle ABC est un triangle équilatéral.

Question 2 On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

la transformation f dont une écriture complexe est : z ′ = (

2i %

3+ i

) z.

Affirmation

La transformation f est la rotation de centre O et d’angle π

3 .

Question 3 On considère le nombre complexe a =

( − %

3+ i )2011

. Affirmation Le nombre complexe a est un nombre imaginaire pur.

Question 4 Soit X une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ, où λ est un nombre strictement positif. On rappelle que, pour tout réel t strictement positif, la probabilité de l’évène- ment (X ! t ) s’exprime par P (X ! t ) = 1−e−λt . Affirmation Sachant que X " 2, la probabilité que X appartienne à l’intervalle [2 ; 3] est égale à 1−e−λ.

Question 5 Une urne contient au total n boules dont cinq sont blanches et les autres noires. On effectue 10 tirages successifs indépendants en remettant la boule dans l’urne après chaque tirage. Affirmation La plus petite valeur de l’entier n, pour laquelle la probabilité d’obtenir au moins une boule noire sur les 10 tirages est supérieure ou égale à 0,999 9, est égale à 13.

Exercices sur les complexes 24

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

133 Amérique du Nord juin 2001 Retour au tableau On considère le polynôme P défini par :

P (z) = z4 −6z3 +24z2 −18z +63.

a. Calculer P (i %

3) et P (− i %

3) puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout z ∈C, on ait P (z) = (z2 +3)Q(z).

b. Résoudre dans C l’équation P (z) = 0.

c. Placer dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal ( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

les points A, B, C, D d’affixes respectives zA = i %

3, zB = − i %

3, zC = 3+2i

% 3 et zD = zC, puis montrer que ces quatre points appartiennent

à un même cercle.

d. On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que zC − zB zE − zB

=

e − iπ

3 puis déterminer la nature du triangle BEC.

Exercices sur les complexes 141

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

132 Polynésie septembre 2001 Retour au tableau Dans le plan complexe P rapporté au repère orthonormal direct

( O,

−→ u ,

−→ v ) ,

unité graphique 4 cm, on considère les points A, B, C, D d’affixes respec- tives

zA = 2i, zB = i, zC =−1+ i, zD = 1+ i.

On fera une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.

a. Soit la fonction f de P - {B} dans P qui au point M d’affixe z associe le point M ′ d’affixe z ′ où

z ′ = i z −2i z − i

.

a. Développer (z +1− i)(z −1− i).

b. Chercher les points M vérifiant f (M) = M et exprimer leurs af- fixes sous forme algébrique puis trigonométrique.

b. a. Montrer que, pour tout z différent de i,

|z ′| = AM BM

,

et que, pour tout z différent de i et de 2i,

arg(z ′) = (−−→ BM ,

−−→ AM

) + π

2 (modulo2π).

b. Déterminer et construire l’ensemble (E) des points M d’affixe z tels que |z ′| = 1.

c. Déterminer et construire l’ensemble (F) des points M d’affixe z

tels que arg(z ′) = π

2 (modulo 2π).

c. a. Démontrer que z ′ − i = 1

z − i et en déduire que |z ′ − i|× |z− i| = 1,

pour tout complexe z différent de i.

b. Soit M un point du cercle C de centre B et de rayon 1 2

. Prouver

que le point M ′ d’affixe z ′ appartient à un cerclede centre B et de rayon à déterminer.

Exercices sur les complexes 140

Baccalauréat S A. P. M. E. P.

19 Asie 21 juin 2011

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d’affixes respectives a = −2, b = 5i et c = 4 ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U. La figure est donnée en annexe 2.

1. Donner l’écriture complexe de la rotation r de centre A et d’angle π

2 .En

déduire que le point J a pour affixe −7+2i. On admettra que l’affixe du point K est - 2 - 6i.

2. Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les seg- ments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur.

3. a. Calculer les affixes des points S et T.

b. Déterminer l’affixe du point U.

c. Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.

4. Déterminer une mesure de l’angle (−→ JC ,

−−→ AU

) .

5. On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d’affixe v =−0,752+0,864i.

a. Établir que les points A, V et U sont alignés.

b. Que représente la droite (AU) pour l’angle &BVC ?

Exercices sur les complexes 25

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